Введение в качественный анализ динамических систем. Учебное пособие

§2. ПРИВЕДЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

ККАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

При рассмотрении характера простых состояний равновесия линейные члены в системе (а ) надлежащим образом выбраны неособым линейным преобразованием

можно более простому, так называемому «каноническому», виду. Посмотрим, прежде всего, при каких условиях надлежащим преобразованием (3.1) можно привести систему (а ) к виду (невыписанные члены содержат u и v в степени не ниже второй)

Подставляя в (3.2) выражения (3.1) для u и v, а затем заменяя d / dt и d / dt через их выражения из (а ), мы получаем тождества. Прирав-

ниваявэтихтождествахкоэффициентыприлинейныхчленах, получаем следующие четыре линейные однородные уравнения относительно коэффициентов p11, p12 , p21, p22 искомого линейного преобразования:

Эти уравнения дают для p11, p12 , p21, p22 решения, не равные тождественно нулю только в том случае, когда 1 и 2 являются корнями уравнения

характеристическими корнями состояния равновесия (особой точки).

31

и, следовательно, приведение динамической системы (а), см. главу 2, к виду (3.2) возможно.

2. Корни 1 и 2 – кратные, 1 2 .

В этом случае приведение к виду (3.2), вообще говоря, невозможно. Однако в этом случае можно указать неособые преобразования, с помощью которых система приводится к виду

(В частных случаях может быть равно нулю. Этот вид называется каноническим в случае кратных корней.)

В этом случае при действительных и получим комплексные сопря-

женные u и v, так что приведение к виду (3.2) невозможно. В этом случае, вводя новые переменные u1 , v1 , u u1 iv1 , v u1 iv1 , нетрудно

установить, что система может быть приведена к следующему виду:

который в этом случае считается каноническим видом. Дополнительно отметим, что если рассмотреть линейную систему

которая получается из системы (а ) отбрасыванием нелинейных членов, то, как известно, общее решение этой системы имеет вид

c1e 1t c2e 2t ;

c1 1e 1t c2 2e 2t .

32

Здесь 1 и 2 являются корнями того же характеристического уравне-

ния (3.4).

Характеристические корни не меняются при линейной замене координат (характеристические корни являются инвариантами линейного преобразования координат), т. е. пусть дана система

у которой характеристические корни 1 и 2 , и после линейного преобразования

получаем систему в новых координатах u и v:

Тогда характеристические корни последней системы, т. е. корни характеристического уравнения

равны 1 и 2 .

§ 3. ВОЗМОЖНЫЙ ХАРАКТЕР ПРОСТЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ

ГРУБЫЕ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Характеристическое уравнение (3.4) может быть записано в виде2 0 . Возможны следующие случаи.

33

1.  0 , 2 4 0 , корни характеристического уравнения действительны и одинаковых знаков. В этом случае все траектории, проходящие через некоторую достаточно малую окрестность состояния равновесия О, стремятся к этому равновесию:

при t , когда 1 и 2 отрицательны,

при t , когда 1 и 2 положительны.

Состояние равновесия называется устойчивым узлом, когда 1 0 ,

2 0 , и неустойчивым узлом, когда 1 0 , 2 0 .

2.  0 , корни характеристического уравнения действительны и различных знаков: 1 2 0 . Состояние равновесия является седлом.

3.  0 , 2 4 0 , 0 , корни характеристического уравнения комплексные сопряженные: 1 i , 2 i , причем действи-

тельные части этих корней отличны от нуля.

В этом случае (так же, как и в случае 1) все траектории, проходящие через некоторую достаточно малую окрестность состояния равновесия O, стремятся к такому состоянию:

при t , когда 0 , при t , когда 0 .

Состояние равновесия называется фокусом и при этом устойчивым,

когда 0 , и неустойчивым, когда 0 .

§4. ЗАМЕЧАНИЯ О ГРУБЫХ СОСТОЯНИЯХ РАВНОВЕСИЯ

Пусть O(x0 , y0 ) – состояние равновесия системы (а), см. главу 2,

авыражения для и приведены в § 3, и

– характеристическое уравнение этого состояния равновесия.

Для простого состояния равновесия по самому его определению0 , т. е. корниуравнения(3.7) – характеристическиекорни– отличны

34

от нуля. Уравнение, определяющее направления, по которым траектории стремятся к состоянию равновесия:

Очевидно, что корни k1 и k2 действительны тогда и только тогда, когда действительны 1 и 2 .

В зависимости от того, каковы характеристическиекорни состояния равновесия, система может быть в окрестности этого состояния равновесия приведена линейным преобразованием переменных к одному из следующих видов, которыеназываются каноническими (обозначения переменных сохраняются прежними).

1. Характеристические корни действительны и различны ( 1 2 ). Канонический вид системы:

2. Характеристические корни равны ( 1 2 ). Канонический вид системы:

( может быть как равным, так и не равным нулю).

3.Характеристические корни – комплексно-сопряженные ( 1 i ,

2 i , 0 ). Канонический вид системы:

Таким образом, характеристические корни указывают на состояние равновесия рассматриваемой системы.

35

где m 1 , Pm (x, y) и Qm (x, y) – однородные многочлены, состоящие

из всех членов m-го порядка соответствующих разложений, а функции(x, y) и (x, y) – ряды, состоящиеизчленовболеевысокихпорядков.

При этом полагаем, что многочлены Pm (x, y) и Qm (x, y) одновре-

менно не равны тождественно нулю (в противном случае мы бы взяли m m ).

Рассмотрим выражение

а также выражение

Qm (1, k) kPm (1, k) ,

которое получим из предыдущего, если поделим его на xm 1, и введем обозначения

k xy .

Рассмотрим также выражение

cos Qm (cos , sin ) sin Pm (cos , sin ) .

Имеет место следующее утверждение: всякая полутраектория системы

dxdt Pm (x, y) (x, y) ; dydt Qm (x, y) (x, y)

(Pm и Qm неравны тождественнонулю), стремящаясяк состояниюравновесия O(0, 0), либо является спиралью, стремящейся к О при t

(или t ), либо стремится к О в определенном направлении * . При этом:

1) если хоть одна из траекторий системы является спиралью, стремящейся к О при t (или t ), то все траектории, проходящие

37

через точки некоторой окрестности состояния равновесия О, являются такими же спиралями (т. е. точка есть устойчивый или неустойчивый «фокус высшей сложности»);

2) если выражение (4.2) не обращается тождественно в нуль, то наклоны k, с которыми траектории стремятся к состоянию равновесия O, удовлетворяют уравнению

или, иначе, направления * , скоторымитраектории стремятсяк О, удовлетворяют уравнению

3) если

xQm (x, y) yPm (x, y) 0

и, следовательно,

Pm (x, y) xQm 1(x, y) , Qm yQm 1(x, y) ,

где Qm 1(x, y) – некоторыйнеравныйнулютождественнооднородный

многочлен степени m – 1, то какое бы направление , не удовлетворяющее уравнению

мы не взяли, существует в точности одна полутраектория, стремящаяся

к O в направлении . Для особого же направления * , удовлетворяющего (4.5), может оказаться, что не существует ни одной полутраекто-

рии, стремящейсяк O вэтом направлении * , либоестьконечноечисло такихтраекторий, либо, наконец, такихтраекторийможетсуществовать бесчисленное количество.

Заметим, чтоеслисуществуеттраектория, стремящаясяксостоянию

равновесия O и имеющая определенный наклон k* , то этот наклон является действительным корнем уравнения Qm (1, k) kPm (1, k) 0 .

38

Однако если это уравнение имеет действительные корни, то это еще не означает, что существуют траектории, стремящиеся к O с этим наклоном: возможны случаи, когда при этом все траектории являются спира-

лями, или замкнутыми траекториями.

§2. СЛОЖНОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ (ОСОБАЯ ТОЧКА)

СНУЛЕВЫМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМИ КОРНЯМИ

Рассмотрим систему

где P(x, y) и Q(x, y) – аналитические функции, не имеющие общего множителя, отличного от постоянного.

Пусть начало координат является сложным состоянием равновесия этой системы, т. е. мы имеем

и, следовательно, хотя бы один из характеристических корней этого состояния равновесия равен нулю. Рассмотрим такие сложные состояния равновесия, когда в разложениях по степеням x и y функций P(x, y) и Q(x, y) хотя бы один из линейных членов не равен нулю, т. е. когда

Px (0, 0) Py (0, 0) Qx (0, 0) Qy (0, 0) 0 .

Рассмотрим наряду с величиной (0, 0) величину

Px (0, 0) Qy (0, 0) .

Среди состояний равновесия, для которых выполняется условие (4.6), естественным образом выделяются два случая в зависимости от того, чтоимеетместо (0, 0) 0 или (0, 0) 0 . Таккакхарактеристическое

уравнение имеет вид

2 0 ,

39

то, очевидно, вслучае, когда 0 , толькоодинхарактеристическийкорень равен нулю, второй же равен . Если же 0 , то оба характеристических корня равны нулю.

1.  (0, 0) 0 , (0, 0) 0 . В этом случае существует неособое ли-

нейное преобразование, с помощью которого система в окрестности начала O(0, 0) может быть представлена в следующем каноническом виде:

y (x) ,

являющуюся решением уравнения

by Q*(x, y) 0 .

Подставим функцию y (x) в P*(x, y) и введем обозначение

(x) P*(x, (x)) .

Так как предположили, что функции P(x, y) и Q(x, y) не имеют общего множителя, отличного от постоянного, то функция P*(x, (x)) не

может быть тождественно равна нулю и, следовательно, в разложении функции (x) по степеням x заведомо будут отличные от нуля члены.

Таким образом, мы можем написать, что

(x) P*(x, (x)) m xm ,

где m 2 (так как разложение P*(x, y) по степеням x и y начинается с членов не ниже второй степени и m 0 ). Число m, очевидно, характеризует кратность общей точки кривых

40