Введение в качественный анализ динамических систем. Учебное пособие
.pdf
Если k (s0 ) 0 , то совершенно так же можно показать, что всякая
траектория, пересекающая отрезок l достаточно близко к точке Q, и при t стремится к предельному циклу L0 .
Предельный цикл L0 является неустойчивым (нечетно-кратным)
предельным циклом (рис. 5.6, б).
а |
б |
Рис. 5.6. Предельный цикл:
а – устойчивый (нечетно-кратный); б – неустойчивый (нечетно-кратный)
б) k – четное. Тогдапри s s0 взависимостиотзнака k! k k (s0 ) либо (s) 0 , т. е. f(s) > s (если (k) (s0 ) 0 ), либо (s) 0 , т. е. f(s) < s
(если (k) (s0 ) 0 ). Нетруднопоказать, что вслучае, когда (k) (s0 ) 0 , все траектории, проходящие через точки отрезка l, соответствующие
значениям s s0 , стремятся к L0 при t , а все траектории, проходящие через точки отрезка l, соответствующие значениям s s0 , стремятся к L0 при t , и наоборот, когда (k) (s0 ) 0 (рис. 5.7).
В рассматриваемом случае (четное k) предельный цикл L0 неустой-
чив. Однако часто предельный цикл этого типа называют полуустойчивым (четно-кратным), сохраняя термин «неустойчивый» лишь для
цикла, к которому все достаточно близкие траектории стремятся при t .
51
Рис. 5.7. Полуустойчивый (четно-кратный) предельный цикл
3. Производные всех порядков от функции (s) при s s0 равны
нулю, т. е. при всех i, (i) (s0 ) 0 . Тогда (s) 0 , т. е функция последования имеет вид
ss .
Вэтом случае все траектории, проходящие через достаточно близкие к L0 точки, замкнуты (этот случай аналогичен случаю центра).
На рис. 5.3 и 5.4 даны диаграммы Ламерея для случая нечетно-крат- ного предельного цикла (см. рис. 5.4) и четно-кратного предельного цикла (см. рис. 5.3).
Рассмотрение функции последования, в частности условий кратности замкнутой траектории, было проведено при определенном выборе безконтакта. Однако можно показать, что эти условия не зависят от выборадугибезконтактаиотвыборапараметранаэтойдуге(приусловии, конечно, что параметрические уравнения рассматриваемых дуг являются аналитическими функциями).
Далее из проведенного исследования функции последования, в котором существенно использовался тот факт, что функция последования является аналитической функцией, очевидно, вытекает, что у системы
саналитическими правыми частями:
1)неможетсуществоватьбесчисленноемножествопредельныхциклов, накапливающихся к замкнутой траектории;
52
2) не может существовать замкнутая траектория такая, что вне (внутри) ее все траектории не замкнуты, а внутри (вне) ее – замкнуты, т. е. не может осуществляться случай, представленный, например, на рис. 5.8.
Указанные свойства могут быть сформулированы в виде следующего положения: если у динамической системы (а), см. главу 2, правые части которой – аналитические функции, существует замкнутая траектория, то она либо является изолированной, либо все траектории в ее окрестности замкнуты.
Сделаем еще одно замечание, которое бывает весьма полезным в ряде случаев.
Пусть L0 – предельный цикл – устойчивый, неустойчивый (простой
или сложный) или полуустойчивый. В любой достаточно малой его окрестности, именно в любой такой окрестности, которая не содержит ни состояния равновесия, ни отличных от него предельных циклов, всегда могут быть построены циклы без контакта как лежащие вне L0 (со-
держащие L0 внутри), так и лежащие внутри L0 (рис. 5.9).
L0
Рис. 5.8. Неосуществимый цикл |
Рис. 5.9. Построение циклов |
|
без контакта |
53
§ 5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУНКЦИИ ПОСЛЕДОВАНИЯ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОКАЗАТЕЛЬ ЗАМКНУТОЙ ТРАЕКТОРИИ
Пусть
x (t) , |
y (t) |
– движение периодическое с периодом , соответствующее рассматриваемой замкнутой траектории L0 . В окрестности L0 вводится криволинейная система координат с помощью формул
x (u) v (u);
(5.2)
y (u) v (u).
Прямые u = const являются нормалями к замкнутой траектории L0
и, следовательно, неимеютконтактовстраекториями, достаточноблизкими к L0 , а кривые v = const – замкнутыми кривыми (кривая v = 0 сов-
падает с L0 ) (рис. 5.10).
Якобиан преобразования (5.2) при v = 0 отличен от нуля. Функция последования на отрезке нормали u = 0 может быть
найдена совершенно аналогично тому, как это делалось в окрестности фокуса. После перехода в системе (а), см. главу 2, к координатам u и v и исключения t получим соответствующее системе (а), см. там же, дифференциальное уравнение
dv |
(u, v) A (u)v A (u)v2 |
, |
(5.3) |
|
|
||||
du |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
которое дает уравнение траектории в координатах u, v (уравнение за-
мкнутой траектории L0 есть v = 0). Выражение коэффициентов |
Ai (u) |
||||||||
через функции P(x, y) и Q(x, y) может быть найдено. В частности, |
|
||||||||
A1(u) Px ( (u), (u)) Qy ( (u), (u)) |
|
||||||||
|
d |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
du ln ( |
|
(u) |
|
|
(u)) . |
(5.4) |
|||
54
v = 0
L0 |
u = 0 |
|
(u = ) |
Рис. 5.10. Кривая v = 0 совпадает с L0
Решение уравнения (5.3), удовлетворяющее начальным условиям
(0, v0 )
v f (u; 0, v0 ) ,
является аналитической функцией v0 и может быть разложено в ряд по степеням v0 :
v f (u; 0, v0 ) a1(u)v0 a2 (u)v02 .
Подставляя это выражение в уравнение (5.3), получаем тождественное равенство
a1(u)v0 a2 (u)v02 A1(u) a1(u)v0 a2 (u)v02A2 (u) a1(u)v0 a2 (u)v02
55
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях v0 , получим рекуррентные уравнения для определения ai (u) :
a1(u) A1(u)a1(u);
a2 (u) A1(u)a2 (u) A2 (u)(a1(u))2;
(5.5)
a3 (u) A1(u)a3 (u) 2A2 (u)a1(u)a2 (u) A3 (u)(a1(u))2;
...................
Начальные условия для определения ai (u) из этих уравнений получим из очевидного условия f (0; 0, v0 ) v0 , откуда a1(0) 1 , ai (0) 0 .
Функцией последования на отрезке u = 0 является функция v f ( ; 0, v0 ) ,
где – период на замкнутой траектории. Возвращаясь к обозначениям из § 4, можем написать, что
s f ( ; 0, s) f (s) ,
причем s = 0 соответствует замкнутой траектории L0 . Далее
|
i |
a ( ) |
f i (0) |
. |
|
||||
|
i |
i! |
||
|
|
|
||
Для первого коэффициента 1 получаем из уравнений (5.5)
A1(u)du
|
a ( ) e0 |
, |
1 |
i |
|
или, принимая во внимание выражения (5.4) для A1(u) ,
1 exp Px ( (u), (u)) Qy ( (u), (u)) du .
0
56
Выражение
h1 Px ( (u), (u)) Qy ( (u), (u)) du
0
называетсяхарактеристическимпоказателемзамкнутойтраектории L0 .
Если 1 eh , то, следовательно, предельный цикл устойчивый при h < 0, и неустойчивый при h > 0. При этом 1 1 тогда и только тогда, когда h = 0, и только в этом случае ( 1 1) предельный цикл является сложным.
57
Глава 6 ПРИМЕРЫ, ПОЯСНЯЮЩИЕ РАССМОТРЕННЫЕ
ВГЛАВАХ 1–5 ПОЛОЖЕНИЯ
Внастоящей главе приведем ряд простых примеров, на которых проиллюстрируем материал предыдущих глав. Эти примеры в силу их простоты одновременно являются примерами полного качественного исследования динамической системы. Во всех приведенных примерах динамические системы определены на всей плоскости.
Пример 1
dx |
1, |
dy |
0 . |
|
dt |
dt |
|||
|
|
Траектории – прямые, параллельные оси x: y c1 , x t c2 .
Состояний соответствия, очевидно, нет: все траектории (совпадающие с интегральными кривыми) являются целыми траекториями.
Пример 2
|
dx |
1, |
dy |
1 y2 , |
|
dt |
dt |
||
|
|
(6.1) |
||
y tg(t c1), |
x t c2. |
|||
Состояний равновесия нет, траектории не являются целыми траекториями ввиду того, что точки на этих траекториях уходят в бесконечность при t, стремящемся к конечному значению.
58
Именно:
y tg(t c ) при |
t c |
|
(2k 1) . |
|||
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
ax , |
dy |
by , |
(6.2) |
|
|
dt |
dt |
||||
|
|
|
|
|
||
где a и b имеют одинаковые знаки.
На плоскости (x, y) (т. е. на фазовой плоскости системы (6.2)) эта система задает векторное поле, примерно изображенное на рис. 6.1, а при a < 0, b < 0 и на рис. 6.1, б при a > 0, b > 0. Прямые на этом рисунке являются изоклинами.
y |
|
y |
|
||
|
|
|
x |
x |
а |
б |
Рис. 6.1. Векторное поле: |
|
а – при a < 0, b < 0; |
б – при a > 0, b > 0 |
Система (6.2), очевидно, имеет единственное состояние равновесия O(0, 0). Решая систему (6.2) как линейную с постоянными коэффициентами, легко видеть, что решение, соответствующее начальным значениям t0 , x0 , y0 , имеет вид
x x ea(t t0 ) , |
y y |
0 |
eb(t t0 ) . |
(6.3) |
0 |
|
|
|
59
Очевидно, это решение является функцией (t t0 ) . Траектории системы (6.2) проще всего получить, исключая
вуравнениях (6.3), т. е. переходя к декартовым координатам.
Врезультате получаем
|
|
|
xb/a |
||
|
|
y y0 |
|
. |
|
|
|
xb/a |
|||
|
|
0 |
|
||
Полагая при x 0 , |
y0 |
c , получим параболы |
|||
xb/a |
|||||
0 |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
y cxb/a ,
t t0
(6.4)
а при x0 0 (когда выражение |
y0 |
может не иметь смысла) – x = 0. |
xb/a |
||
|
0 |
|
При y0 0 получим y = 0.
Перейдем от системы(6.3) к одномууравнению, например, записанному в виде
dydx byax
или в виде
dx |
|
ax |
. |
(6.5) |
dy |
|
|||
|
by |
|
||
Уравнение (6.5) задает поле линейных элементов и оно представлено на рис. 6.2.
Если проинтегрировать уравнение (6.5), то в качестве интегральных кривых получим параболы (6.4) и две оси координат.
Траекториями системы (6.2) являются те части (половины) парабол (6.4) и координатных осей x = 0 и y = 0, на которые эти кривые разбиваются состоянием равновесия O(0, 0). Из соотношений (6.3) видно, что если a < 0, b < 0, то точка на любой отличной от нуля траектории
стремится к состоянию равновесия O при t , а если a > 0, b > 0, то при t .
60