Введение в качественный анализ динамических систем. Учебное пособие

Заметим, что точка M ( (t), (t)) при изменении t, двигающаяся

по некоторой траектории L, не может стремиться к какой-либо точке, отличнойотL-траекторииприt, стремящемусяксвоемуконечномузначению (в противном случае интегральные кривые в пространстве x, y, t пересекались бы).

В частности, точка, двигаясь по траектории, отличной от состояния равновесия (отличной от замкнутой траектории), может неограниченно

приближаться к состоянию равновесия (замкнутой траектории) либо при t , либо при t .

Состоянияравновесияизамкнутыетраекторииявляютсятраекториями, представляющими наибольший интерес для приложений. Состоянию равновесия соответствуют состояния той физической системы, которая описывается данной динамической системой, а замкнутые траектории соответствуют периодическим движениям – колебаниям, автоколебаниям.

§ 5. ТЕРМИНОЛОГИЯ

Если решение, соответствующее данной траектории L, определено для всех значений t, t , то траекторию L иногда называют

целой траекторией.

Если M 0 – точка траектории L, которая при выбранном на L движении соответствует значению t t0 , то множество точек L, соответствующих значениям t t0 (или же t t0 ), называется положительной по-

лутраекторией (или же отрицательной полутраекторией), выделяе-

мой из L, и обозначается соответственно через L (или L ) .

Если траектория L не является состоянием равновесия или замкнутой траекторией, то всякая положительная и всякая отрицательная полутраектория, выделяемая из нее, очевидно, совпадает с ней самой. Полутраектория, выделяемаяизнезамкнутойтраектории, называетсянезамкнутойполутраекторией, атраектория, выделеннаяиззамкнутойтраектории, – замкнутой. Параметр t часто называют временем, а решение системы (1.4) – движением, соответствующим траектории, или дви-

жением по траектории (кинематическая интерпретация динамической системы). Точка M ( (t), (t)) называется изображающей точкой.

Существует следующая терминология: «изображающая точка при t t0 проходит через данную точку M 0 траектории L» либо «траекто-

11

рия L при t t0 проходит через точку M 0 », а также «изображающая

точка, двигаясь по L при возрастании t, пересекает данную дугу», «входит в данную область», «стремится к состоянию равновесия», или «траектория при t t0 пересекает данную дугу» или «стремится при t (t ) к состоянию равновесия» и т. д.

Состояние равновесия (особая точка) M(a, b) системы (1.4) называется изолированным (изолированной), если существует окрестность точки M(a, b), в которой кроме M не лежит больше ни одного состояния равновесия.

Если все точки кривой являются состояниями равновесия (особыми точками), т. е. во всех точках этой кривой P(x, y) = Q(x, y) = 0, то такая кривая называется особой линией системы (1.4).

В некоторых статьях и монографиях (в основном классических, например у Пуанкаре и Бендиксона) вместо термина «траектория» используется термин «характеристика».

§ 6. НАПРАВЛЕНИЕ НА ТРАЕКТОРИЯХ. ИЗМЕНЕНИЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ

Ранеебылосказано, чтонавсякойтраекторииL вводитсяопределенноенаправлениевкачествеположительного(именнонаправлениевсторону возрастания t). Это направление не зависит от того, какое из решений, соответствующих траектории L, мы возьмем (так как все такие решения получаются одно из другого заменой t на t + c).

Рассмотрим наряду с системой (1.4) систему

Векторное поле системы (1.4 ) получается из векторного поля системы (1.4) путем изменения направления каждого вектора на противо-

Отсюда очевидно, что системы (1.4) и (1.4 ) имеют одинаковые траектории, но индуцируют на траекториях противоположные направления. Таким образом, переход от (1.4) к (1.4 ) следует рассматривать как

12

изменение параметризации на траекториях именно как замену параметра t на параметр –t.

Рассмотрим более общий случай изменения параметризации. Пусть f(x, y) – аналитическая функция, определенная в той же области плоскости, что и функции P(x, y) и Q(x, y), и пусть функция f(x, y) отлична отнулявовсехточках, отличныхотсостоянияравновесиясистемы(1.4) (и имеет один и тот же знак).

Рассмотрим наряду с системой (1.4) систему

dxds P*(x, y) P(x, y) f (x, y);

(1.4*)

dyds Q*(x, y) Q(x, y) f (x, y).

Между параметрами t и s существует следующая зависимость:

При переходе от системы (1.4) к (1.4*) направления на траекториях остаются неизменными, если f(x, y) > 0, и меняются, если f(x, y) < 0.

Предположим, что функция f(x, y) может обращаться в нуль в точках, отличных от состояний равновесия системы (1.4), а также может менять знак в области G. Рассмотрим снова систему (1.4*). Очевидно, состояниями равновесия системы (1.4*) являются все состояния равновесия системы (1.4), а также все точки области G, которые не являются состояниями равновесия системы (1.4), но в которых f(x, y) = 0.

Кривая f(x, y) = 0 будет особой линией системы (1.4*) (каждая точка этой кривой является состоянием равновесия системы (1.4*)).

Теперь рассмотрим траекторию L системы (1.4), отличную от состояния равновесия. Если на траектории L функция f (x, y) 0 , то так же,

как и выше, L является траекторией системы (1.4*) с измененной, вообще говоря, параметризацией. Если же на траектории L имеются точки s1, s2 , s3 кривой f(x, y) = 0, то все точки L, отличные от этих то-

чек, распадаются на конечное или счетное число гладких кривых, являющихся траекториями системы (1.4*) (рис. 1.4). Направление на каждой

13

такой траектории совпадает с направлением на L, если на этой траектории f(x, y) > 0, и не совпадает в противоположном случае.

Таким образом, каждая траектория системы (1.4) либо является траекторией системы (1.4*), либо состоит из конечного или бесконечного множества траекторий системы (1.4*).

В приложениях часто встречаются динамические системы вида

где функция f(x, y) – аналитическая, но может обращаться в нуль в области G (в которой рассматривается система). Очевидно, в точках, где f(x, y) = 0, правые части рассматриваемой системы (1.4**) не определены.

Однако при указанном виде правых частей можно путем замены параметра t привести систему (1.4**) к системе вида (а).

Рис. 1.4. Траектории системы вида (а)

14

Эту же систему мы будем рассматривать и при x и y, обращающих в нуль функцию f(x, y) (что соответствует доопределению по непрерывности), так что система (а) будет определена во всей области G.

Очевидно, что во всякой части области G, в которой f(x, y) не обращается в нуль, траектории системы (1.4**) и (а) совпадают как точечные множества, однако параметры на них различны.

При этом там, где f(x, y) > 0, направление по совпадает с направлением по t, а там, где f(x, y) < 0, – противоположно ему.

Точки с координатами x и y, обращающими в нуль функцию f(x, y), в которых правые части системы (1.4**) не определены, естественно выделять и считать не принадлежащими траекториям системы (а) (к таким точкам точка по траектории может стремиться при t, стремящемся к конечному значению).

§ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

Если разделить одно из уравнений (а) на другое, то получим либо

Если M (x0 , y0 ) – точка области G, для которой P(x0 , y0 ) 0 , существует единственное решение дифференциального уравнения (а), со-

ответствующее начальным значениям x0 , y0 :

Уравнение (1.8) является уравнением в декартовых координатах траектории L, проходящей через точку M (x0 , y0 ) (в окрестности этой

точки). Оно может быть получено из решения системы (а) x (t), y (t), соответствующего траектории L, исключением t (в окрестности точки M 0 ).

15

Если M (x0 , y0 ) – точка, в которой P(x0 , y0 ) 0 , но Q(x0 , y0 ) 0 , то можно использовать уравнение (а2). Точки, в которых одновременно P(x, y) = Q(x, y) = 0, называются особыми точками уравнений (а1)

и (а2).

Одновременное задание уравнений (a1) и (a2) определяет все траекториисистемы(a), отличныеотсостоянийравновесия. Новтовремя как из системы (a) уравнения траекторийнаходятся впараметрической форме, из дифференциальных уравнений (a1) и (a2) они находятся в декартовых координатах. Вместо написания двух уравнений (a1) и (a2) часто используются следующие симметричные относительно x и y записи:

P(x, y)dy – Q(x, y)dx = 0,

Уравнения (а1) и (а2) определяют угловой коэффициент касательной к траектории, который в каждой точке может быть намечен с помощью ненаправленного отрезка (в то время как система (а) в каждой точке определяет вектор). Так, уравнение (а3) или пара уравнений (a1) и (a2) задают поле «линейных элементов».

Кривые

(c1 и c2 – постоянные), во всех точках которых направление касатель-

ных к траекториям одинаково, называются изоклинами (линиями равного наклона) системы (a) (или уравнения (a3)).

В частности, при c1 0 мы получаем кривую

Q(x, y) = 0

– изоклину горизонтальных наклонов, а при c2 0 – кривую P(x, y) = 0 – изоклину вертикальных наклонов.

16

§8. ПОНЯТИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЙ КРИВОЙ И ИНТЕГРАЛА

ВСЛУЧАЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ

P(x, y) И Q(x, y) СИСТЕМЫ (a)

Термины «решение», «интегральная кривая» употреблялись выше в случае, когда правые части рассматриваемой системы уравнений существуют и единственны.

Вклассическойлитературеприрассмотрениисистемыдифференциальных уравнений, правые части P(x, y) и Q(x, y) которых – аналитические функции, в термин «решение» и «интегральная кривая» вкладывается несколько иное содержание.

Вэтомслучаерешениемуравнения(a1) (илиa(2)) называетсяаналитическая функция y = f(x), определенная на некотором интервале значе-

ний x, x1 x x2 и удовлетворяющая уравнению (a1) (или (a2)) во всех

неособых точках, но которая может принимать при некотором значении a такое значение b = f(a), что a, b являются координатами особой точки. Далее, если F(x, y) – функция, аналитическая во всех неособых точках уравнения (могущая, в частности, оставаться аналитической

такжеи в особых точках) и такая, что Fx2 Fy2 0 (не равно нулю тождественно), и имеет место тождественное равенство

то соотношение

F(x, y) = c

называется общим интегралом уравнения (a3) или системы (a). Если равенство

Fx2 (x, y)P(x, y) Fy2 (x, y)Q(x, y) 0 ,

где Fx2 Fy2 0 , удовлетворяется тождественно при частном значении c c0

то соотношение (1.10) называется частным интегралом уравнения (a3), или просто интегралом системы (а).

17

Если y (x) , решением

(x, y) 0

является интеграл уравнения (a3), тогда соответствующая кривая называется интегральной кривой уравнения (а3).

В случае, когда функция F(x,  y), удовлетворяющая соотношению (1.9), являетсяаналитическойвовсехточкахобластиG какособых, так и не особых, то говорят, что уравнение (a3) или система (a) имеют аналитический интеграл.

18

§ 1. ДУГА БЕЗ КОНТАКТА

Пусть l – простая гладкая дуга, целиком лежащая в области G, в которой определена система (а).

Если траектория системы (а), проходящая через точку M дуги l, в этой точке не касается дуги l, то можно сказать, что «дуга l в точке M не имеет контакта с траекториями системы (а)». Если же проходящая через точку M траектория касается дуги, то следует говорить, что «дуга l в точке M имеет контакт с траекторией системы (а)». Простая гладкая дуга называется «дугой без контакта» для траекторий системы (а), если:

а) на l не лежит ни одно состояние равновесия;

б) ни в одной своей точке дуга l не имеет контакта с траекториями

(рис. 2.1).

l

M

Рис. 2.1. Дуга l не имеет контакта с траекториями

Можно сказать, что «дуга l проведена через точку M» (или «в точке M»), если точка M является точкой дуги без контакта l, отличной от концов этой дуги. Очевидно, через каждую неособую точку можно провести дугу без контакта (например, достаточно малый отрезок нормали к траектории будет отрезком без контакта – дугой без контакта).

20