Булевы алгебры и булевы функции. Дополнительные главы дискретной математики. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
А. Г. Пинус
Булевы алгебры
и булевы функции
Дополнительные главы
дискретной математики
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Новосибирск
2022
УДК 512.563 (075.8) П326
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. И. А. Мальцев,
д-р техн. наук А. В. Чехонадских
Работа подготовлена на кафедре алгебры и математической логики НГТУ для студентов младших курсов
IT-специальностей
Пинус А. Г.
П326 Булевы алгебры и булевы функции. Дополнительные главы дискретной математики : учеб. пособие / А. Г. Пинус. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2022. — 83 с.
ISBN 978-5-7782-4733-8
В пособии излагаются основы теории булевых алгебр и булевых функций, лишь частично затрагиваемые в стандартных курсах дискретной математики. От читателя требуется владение основами курса «Дискретная математика», читаемого на младших курсах всех специальностей связанных с различными направлениями информатики и прикладной математики НГТУ.
УДК 512.563 (075.8)
ISBN 978-5-7782-4733-8
© Пинус А. Г., 2022 © Новосибирский государственный
технический университет, 2022
Оглавление
Предисловие |
4 |
|
Глава 1. |
Основные понятия теории алгебраических систем |
7 |
Глава 2. |
Булевы алгебры |
21 |
§ 2.1. Стандартная аксиоматика и альтернативные подходы . |
21 |
|
2.1.1.Булевы решетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2.Булевы кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§2.2. Основные понятия и конструкции . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1.Подалгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2.Идеалы и конгруэнции . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.3.Многообразие булевых алгебр . . . . . . . . . . . . 33
2.2.4.Свободные булевы алгебры . . . . . . . . . . . . . . 34
§2.3. Представления булевых алгебр . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1. Теорема Стоуна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
35 |
2.3.2. Интервальные булевы алгебры . . . . . . . . . . . . |
37 |
Глава 3. Булевы функции |
40 |
§3.1. Резюме ряда результатов о булевых функциях . . . . . . 41
§3.2. Декомпозиции и разложения булевых функций . . . . . 46
3.2.1. Декомпозиции булевых функций . . . . . . . . . . |
46 |
3.2.2. Разложения булевых функций . . . . . . . . . . . . |
49 |
§ 3.3. Клоны булевых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
54 |
3.3.1.Способы задания клонов . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.2.Теорема Поста о полноте и ее непосредственные
следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
58 |
§ 3.4. Решетка Поста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
66 |
§ 3.5. Фрагменты клонов, метрика на совокупностях клонов . |
71 |
Библиографический список |
77 |
Предметный указатель |
82 |
Моей семье с благодарностью
Предисловие
Курс дискретной математики является в настоящее время одним из основных курсов для специальностей связанных с IT, прикладной математикой и целого ряда других. Тем не менее, его содержание существенно варьируется для конкретных специализаций и университетов.
Традиционно в этот курс включается материал основ наивной теории множеств, алгебраических систем, комбинаторики, теории графов, алгебры логики и компьютерной арифметики. В Новосибирском гос. техническом университете написаны и изданы включающие в себя эти разделы учебник С. В. Судоплатова и Е. В. Овчинниковой «Дискретная математика» и задачник Е. Н. Порошенко «Сборник задач по дискретной математике».
Однако для специалистов в области IT и прикладной математики не менее востребованным является и целый ряд иных разделов обширного конгломерата знаний фигурирующего под родовым названием «Дискретная математика», не затронутых в указанных выше учебнике и задачнике. Освещению ряда подобных тем и посвящены учебные пособия написанные автором под общим названием «Дополнительные главы дискретной математики». Первое из них под названием «Дискретные функции», изданное издательством НГТУ в 2016 году, включало в себя материал связанный с функциями на конечных множествах (функциями конечнозначных логик), детерминированными функция-
ми в дискретных процессах, конечными автоматами, языками и грамматиками.
Известна огромная роль которую играют булевы алгебры и булевы функции в самых разных разделах дискретной математики и ее приложений (распознавании образов, прогнозировании, отпимальном управлении, автоматизации исследований, теоретическом и прикладном программировании), однако систематически изложенный материал им посвященный, как правило отсутствует в учебниках, ориентированных на студентов и аспирантов технических вузов. Ликвидации этого пробела и посвящено настоящее учебное пособие.
Глава 1 «Основные понятия теории алгебраических систем» посвящена конспективному напоминанию основных понятий и конструкций этой теории, уточнению терминологии, необходимых для дальнейшего изложения.
Непосредственно изложение теории булевых алгебр начинается в главе 2 «Булевы алгебры». В параграфе 2.1 излагаются стандартная аксиоматика и альтернативные подходы к теории булевых алгебр. Параграф 2.2 посвящен основным понятиям и конструкциям теории булевых алгебр: их подалгебрам, конгруэнциям, прямым произведениям, вопросам связанным с многообразием булевых алгебр, свободным булевым алгебрам. В параграфе 2.3 излагаются основная теорема о представлении булевых алгебр (теорема Стоуна) и теорема о представлении счетных булевых алгебр как интервальных.
В главе 3 «Булевы функции» излагается материал связанный с булевыми функциями, т. е. функциями на простейшем двухэлементном множестве. В параграфе 3.1 приводится краткое резюме основных результатов излагаемых, как правило в бездоказательной форме, в стандартном втузовском курсе дискретной математики. В параграфе 3.2 подробно с доказательствами излагаются вопросы декомпозиции и разложения булевых функций. Параграф 3.3 посвящен изложению теории булевых клонов: приводится доказательство теоремы Поста о полноте систем булевых функций. Там же формулируются результаты Поста
5
о решетке клонов булевых функций. В параграфе 3.4 вводятся понятия фрагмента клона и топологии на совокупности функциональных клонов над произвольным множеством. Формулируются результаты о соответствующих топологических пространствах клонов и о решетках аппроксимирующих решетку всех клонов над данным множеством.
Хочу поблагодарить Юрия Александровича Гайдова за помощь в подготовке компьютерного макета работы.
6
Глава 1
Основные понятия
теории алгебраических
систем
Наиболее адекватным языком для работы с булевыми алгебрами является язык теории алгебраических систем. Не имея возможности здесь сколько либо обстоятельно излагать необходимый понятийный аппарат и основные утверждения теории алгебраических систем (универсальной алгебры, теории моделей), мы считаем все же необходимым конспективно напомнить (уточнить) читателю основные, необходимые нам в дальнейшем определения, конструкции, результаты теории алгебраических систем, отсылая для систематического освоения этого материала к имеющейся общедоступной специальной литературе [13], [14].
Через обозначим совокупность всех натуральных чисел.
Одну из ключевых ролей при определении понятий «алгебраическая система», «универсальная алгебра», «модель» играет понятие сигнатуры — списка обозначений для основных рассматриваемых в данном контексте функций, отношений и констант на некотором фикси-
рованном множестве. Под сигнатурой мы будем понимать конечный кортеж (последовательность) символов трех типов ( ď ),
( ď ), ( ď ), где , , — некоторые натуральные числа, при этом каждому из символов , будут поставлены в соответствие некоторые положительные натуральные числа и , называемые их местностью или арностью. Итак
“ x 0 , . . . , , 0 , . . . , , 0, . . . y .
0 0
Символы будем называть функциональными, — предикатными (или символами отношений),а — константными. Сигнатура называется функциональной, если в ней отсутствуют предикатные символы и, соответственно, предикатной, если она не содержит функциональных символов.
Под алгебраической системой A “ x ; y сигнатуры мы будем понимать некоторое фиксированное множество (основное множество
системы A) с фиксированном на нем набором -местных функций : Ñ ( ď ), -местных отношений , A : Ñ tИ, Лu ( ď ) и константами 0 A, . . . , A, (фиксированными элементами
множества ). В случае когда сигнатура функциональна система
A “ x ; y называется универсальной алгеброй, а когда она предикатна — моделью. Индекс A при символах , и будем опускать, когда из контекста ясно о какой системе A идет речь.
Вдальнейшем, в рамках этого текста нам придется иметь дело
счастично упорядоченными множествами — моделями сигнатуры xďy
(здесь ď двухместный предикатный символ); решетками — универсальными алгебрами сигнатуры x^, _y (здесь ^, _ — двухместные функциональные символы) и булевыми алгебрами — универсальными алгебрами сигнатуры x^, _, , 0, 1y (здесь ^, _ — двухместные, — одноместный функциональные символы, а 0, 1 — символы констант).
При этом модель A “ x ; ďy является частично упорядоченным множеством, если:
8
1)для любого P ď ;
2)для любых , P из неравенств ď и ď следует, что “ ;
3)для любых , , P из неравенств ď и ď следует, что
ď .
Универсальная алгебра A “ x ; ^, _y является решеткой, если:
1)для любого P имеют место равенства ^ “ и _ “ ;
2)для любых , P имеют место равенства ^ “ ^ и _ “
_ ;
3)для любых , , P имеют место равенства p ^ q^ “ ^p ^ q
и p _ q _ “ _ p _ q;
4)для любых , P имеют место равенства
^ p _ q “ и _ p ^ q “ .
Универсальная алгебра A “ x ; ^, _, , 0, 1y является булевой ал-
геброй, если:
1)алгебра x ; ^, _y является решеткой;
2)для любых , , P имеет место равенство
^ p _ q “ p ^ q _ p ^ q;
3)для любого P имеют место ^ 1 “ , _ 0 “ ;
4)для любого P имеют место ^ “ 0, _ “ 1.
Напомним, что элемент частично упорядоченного множества x ; ďy
называется наименьшей верхней гранью элементов , P из ( “ sup p , q), если , ď и для любого такого, что , ď имеет
9
место ď . Двойственным образом (заменой отношения ď на отношение ě) вводится определение наибольшей нижней грани ( “ infp , q).
Частично упорядоченное множество x ; ďy называется решеточно упорядоченным, если для любых , P в x ; ďy существуют их наименьшая верхняя и наибольшая нижняя грани.
Если x ; ďy является решеточно упорядоченным множеством, то определяя на множестве операции ^ и _ как: для ^ “ supp , q,
_ “ infp , q, приходим к определению на решетки x ; ^, _y. Верно и обратное, для любой решетки x ; ^, _y, определяя на отношение ď следующим образом: для , P ď Ø ^ “ Ø _ “ , приходим к решеточно упорядоченному множеству x ; ďy. При этом, определяя по этому решеточно упорядоченному множеству x ; ďy решетку, как это было предложено выше, мы возвращаемся к исходной решетке x ; ^, _y.
Естественным образом определяются понятия наименьшей верхней (наибольшей нижней) граней для подмножеств частично упорядоченных множеств. При этом решетка называется полной, если в соответствующем ей частично упорядоченном множестве для любых его подмножеств существуют его наименьшая верхняя и наибольшая нижняя грани. Заметим, что для того, что бы решетка была полной достаточно чтобы в соответствующем ей решеточно упорядоченном множестве любое его подмножество имело наибольшую нижнюю грань.
Решетка x ; ^, _y называется дистрибутивной, если для любых
, , P имеет место равенство ^ p _ q “ p ^ q _ p ^ q. Элемент для любого элемента из булевой алгебры
x ; ^, _, , 0, 1y называется дополнением элемента . Алгебраическая система B “ x ; y называется подсистемой си-
стемы A “ x ; y, если Ď и для любых символов , , из сигнатуры имеют место:
1)для любых 1, . . . , из , Bp 1, . . . , q “ , Ap 1, . . . , q;
2)для любых 1, . . . , из , Bp 1, . . . , q истинно тогда и толь-
10