Булевы алгебры и булевы функции. Дополнительные главы дискретной математики. Учебное пособие

§ 3.5 Фрагменты клонов, метрика на

совокупностях клонов

Впредыдущих параграфах мы рассматривали вопросы связанные

спростейшей ситуацией относительно дискретных функций на минимальном множестве t0, 1u — с булевыми функциями, именно с этой узостью возможных значений аргументов и самой функции и связаны большинство результатов о булевых функциях. В вопросах актуальных для проблематики, связанной с обработкой информации, приходится рассматривать аналогичные задачи о дискретных функциях на иных как конечных, так и бесконечных множествах. Некоторых аспектов этой ситуации мы касались в учебном пособии [15]. При этом, при переходе от множества t0, 1u к более обширным множествам ситуация резко усложняется. Как было показано Ю. Я. Яновым и А. А. Марковым уже на трехэлементном множестве решетка функциональных клонов становится континуальной и возникают клоны не имеющие базисов. В этой связи необходимы иные подходы к работе с совокупностями функциональных клонов на «больших» множествах.

Внастоящем параграфе мы коснемся некоторых вопросов о функциональных клонах уже на произвольных множествах, не обязательно ограничиваясь множеством t0, 1u. Очевидно, что в реальных вопросах приложений, при работе с дискретными функциями возникают естественные ограничения на число аргументов рассматриваемых функций, на арность последних. Это приводит при изучении функциональных клонов к рассмотрению их «фрагментов» и к введению на совокупностях всех функциональных клонов на данных множествах некоей метрики основанной на этих фрагментах. Материал этого параграфа

отсутствует в современных учебниках и монографиях и изложен лишь в серии статей автора.

1.Пинус, А. Г. Размерности функциональных клонов, метрика на их совокупности / А. Г. Пинус. // Сибирские электронные математические известия. —

71

Мы приводим здесь лишь формулировки основных определений, понятий и утверждений связанных с этой тематикой, отсылая интересующихся к указанным оригинальным работам.

Для любого множества через обозначим совокупность всех клонов над , а через — решетку (относительно теоретико-множе- ственного включения Ď) всех функциональных клонов над множеством . Прежде всего отметим упомянутый выше принципиальный результат Ю. И. Янова и А. А. Мучника о том, что для любых конечных не менее чем трехэлементных множеств решетки (в отличии от решетки 2 булевых клонов) континуальны и, в частности (опять же в отличии от булевых клонов которые все конечно порождены и имеют базисы), над такими существуют не конечно порожденные клоны не имеющие базисов.

Тем самым, для изучения подобных решеток нужны иные, отличные от пригодных для решетки 2, методы. Одним из подобных подходов может служить предложенный автором подход основанный на понятии -фрагмента функционального клона.

Для любого функционального клона над множеством и любого натурального под -фрагментом клона будем понимать совокупность всех функций из , арность которых не превышает числа .

2016. — Т. 13. — С. 366—374.

2.Пинус, А. Г. О фрагментах функциональных клонов / А. Г. Пинус. // Алгебра и логика. — 2017. — Т. 56, № 4. — С. 477—484.

3.Пинус, А. Г. Об окрестностях и изолированных точках в пространствах

функциональных клонов на множествах / А. Г. Пинус. // Алгебра и логика. — 2020. — Т. 59, № 3. — С. 334—343.

4.Пинус, А. Г. О пространствах функциональных клонов / А. Г. Пинус. // Сибирские электронные математические известия. — 2021. — Т. 18, № 2. —

С. 901—904.

5.Пинус, А. Г. Фрагменты функциональных клонов как метод исследования последних / А. Г. Пинус. // Algebra and Model Theory 11—2017. — Новосибирск : Изд-во НГТУ. — С. 118—129.

Янов, Ю. И. О существовании -значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса / Ю. И. Янов, А. А. Мучник. // ДАН СССР. — 1959. — Т. 127, № 1. —

С.144—146.

72

Через обозначим клон всех функций на множестве . Для любых клона над множеством и любых натуральных ď имеют

место включения и равенства “ X , Ď , “ Ť .

P

Через 1 обозначим совокупность всех фрагментов функциональных клонов над множеством . Отношение строгого порядка ă на 1

определим следующим образом: для Φ1, Φ2 P 1 положим Φ1 ă Φ2 тогда и только тогда, когда для некоторых 1, 2 P и натуральных

ă имеет место Φ1 “ 1 , Φ2 “ 2 и 1 Ď 2 . Упорядоченная совокупность x 1 ; ăy является лесом, то есть объединением некоторой совокупности деревьев, а клоны над множеством отождествим с ветвями леса x 1 ; ăy фрагментов клонов из 1 .

Далее, говоря об -ограниченной суперпозиции функций из , будем считать, что при суперпозиции этих функций их аргументы входят в некоторую фиксированную совокупность переменных t 1, . . . , u и, тем самым, совокупность замкнута относительно -ограниченной

суперпозиции и включает в себя селекторные функции (для ď

ď ).

Имеет место следующая очевидная характеризация -фрагментов клонов из : совокупность Φ функций на множестве от не более чем аргументов является -фрагментом некоторого клона над множеством тогда и только тогда, когда она замкнута относительно - ограниченных суперпозиций и включает в себя все функции (для

ď ď ).

Понятие фрагмента клона служит основой для определения некоторой естественной меры отличия клонов над множеством друг от друга и на основе этой меры столь же естественных понятий метрики и размерности клонов.

Определим расстояние между клонами над множеством , метрику на их совокупности (для 1, 2 P ) следующим образом:

$

&pmint P 1 | 1 ‰ 2 uq´1 , если 1 ‰ 2,

p 1, 2q “

%0, в случае когда 1 “ 2.

73

Здесь 1 “ zt0u.

Очевидно, что x ; y является метрическим пространством в котором системой окрестностей клона служит множество

“ t 1 P | 1 “ u, где P 1.

Для любого P под размерностью dim клона будем понимать наименьшее натуральное (если подобное существует) такое, что для любого 1 P равенство 1 “ влечет совпадение клонов 1 и . В противном случае (в случае отсутствия подобного ) будем считать, что размерность клона бесконечна.

Таким образом изолированные точки пространства x ; y суть клоны конечной размерности и только они.

Отметим основные свойства пространств x ; y.

ТЕОРЕМА 3.5.1.

а) Для любого неодноэлементного множества в пространстве x ; y существуют предельные точки (то есть клоны бесконечной размерности). При этом для двухэлементного этих предельных точек восемь: 18, 28, . . . , 88 в обозначениях § 3.4;

б) все пространства x ; y полны;

в) пространство x ; y компактно тогда и только тогда когда множество конечно;

г) для любых Ď пространство x ; y является ретрактом пространства x ; y;

д) для любого не менее чем трехэлементного множества существует подрешетка решетки , образующая совершенное подмножество пространства x ; y, гомеоморфное канторову дисконтинууму.

Отметим так же, что решеточные операции ^ и _ на совокупности (операции решетки ) непрерывны на пространстве x ; y,

74

так что решетку всех клонов над множеством можно рассматривать как топологическую решетку.

Размерность dim клона (наряду с минимальным числом его порождающих и порядком клона) является одной из возможных ха-

рактеристик сложности строения клона .

Напомним, что порядком p q клона называется минимальный из порядков конечных базисов этого клона (если конечно базируем), а порядок конечного множества функций это максимум рангов входя-

щих в это множество функций.

`˘

“ max p 1q, p 2q и 1 “ 2 , то 1 “ 2.

Укажем так же на следующее условие конечной размерности клона из в терминах решетки : если для конечно порожденного клона из существует лишь конечное число его покрытий 1, . . . ,

Через обозначим совокупность всех -фрагментов функциональ-

ных клонов над . Эта совокупность очевидным образом представляет

собой некоторую решетку “ x ; ^ , _ y относительно теоретико-

множественного включения.

Столь же естественно для ď определяются ретрактивные пары отображений: — гомоморфизм решетки на решетку и вложе-

Клон P называется ограниченно порожденным, если он порожден некоторым своим фрагментом ( “ x y для некоторого P ) или, что то же самое, существует система порождающих клон функций, арности которых ограничены в совокупности. В случае конечности множества понятия конечной и ограниченной порожденности клонов

75

над совпадают. Через обозначим совокупность всех ограниченно порожденных клонов над . Эта совокупность образует подрешетку

решетки всех клонов над . Имеет место

ТЕОРЕМА 3.5.2. Решетка всех клонов над изоморфна обратному пределу, а решетка ограниченно порожденных клонов над — прямому пределу ретрактивного спектра

“ x ; , , ď P y .

и сама решетка является ретрактом решетки .

Заметим, что в силу отмеченной в § 3.3 конечной порожденности всех булевых клонов решетки 2 и 2 совпадают. В случае же ко-

гда | | ě 3 решетка является собственной счетной подрешеткой континуальной решетки .

Отметим наконец ряд следствий теоремы 3.5.2.

Решетка локально конечна для любого конечного множества , в то время как решетка (при | | ě 4) таковой не является. При этом

решетка @D-эквивалентна решетке для любых множеств и является всюду плотной в пространстве x ; y. Таким образом, решетка в некотором смысле аппроксимирует ряд свойств решетки . Однако следует заметить, что для не менее чем трехэлементных множеств решетка так же как и решетка не удовлетворяет никакому решеточному тождеству, то есть нельзя сказать, что решетка

кардинально проще устроена чем решетка .

76

8.Марченков, С. С. Замкнутые классы булевых функций /

С.С. Марченков. — М. : Наука, 2000.

9.Марченков, С. С. Замкнутые классы булевых функций /

С.С. Марченков, А. Б. Угольников. — М. : Изд-во ИПМ МН

СССР, 1990.

10.Нигматулин, Р. Г. Сложность булевых функций / Р. Г. Нигматулин. — М. : Наука, 1991.

11.Перязев, Н. А. Основы теории булевых функций / Н. А. Перязев. — М. : Изд-во «Физматлит», 1999.

12.Перязев, Н. А. Замкнутые множества булевых функций / Н. А. Перязев, А. С. Казимиров. — Иркутск : Изд-во В-СГАО, 2010.

13.Пинус, А. Г. Производные структуры универсальных алгебр / А. Г. Пинус. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2007.

14.Пинус, А. Г. Основы универсальной алгебры / А. Г. Пинус. — М. : Изд-во КНОРУС, 2021.

15.Пинус, А. Г. Дискретные функции. Дополнительные главы дискретной математики / А. Г. Пинус. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2016.

16.Порошенко, Е. Н. Сборник задач по дискретной математике / Е. Н. Порошенко. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2018.

17.Сикорский, Р. Булевы алгебры / Р. Сикорский. — М. : Мир, 1969.

18.Судоплатов, С. В. Дискретная математика / С. В. Судоплатов, Е. В. Овчинникова. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010.

19.Яблонский, С. В. Функции алгебры логики и классы Поста /

С.В. Яблонский, Г. П. Гаврилов, В. Б. Кудрявцев. — М. : Наука, 1979.

78

20.Яблонский, С. В. Введение в дискретную математику / С. В. Яблонский — М. : Наука, 1979.

21.Koppelberg, S. Handbook of Boolean Algebras / S. Koppelberg. — Amsterdam—New York—Oxford—Tokyo : Nort-Yolland Publ., 1989.

22.Poschel, R. Funktionenand Relationen-algebras / R. Poschel, L. Kaluznin. — Berlin : Deutscher Verlag d. Wissensch., 1978.

23.Post, E. Two-valued iterative systems of mathematical Logic / E. Post. — Princeton—London : Princeton Univ. Press, 1941.

79

Предметный указатель

80