Булевы алгебры и булевы функции. Дополнительные главы дискретной математики. Учебное пособие

ко тогда, когда истинно , Ap 1, . . . , q; 3) B “ A.

Через Sub A обозначим совокупность всех подсистем системы A. На совокупности Sub A естественным образом определено отношение частичного порядка — теоретико-множественного включения Ď: для B1 “ x 1; y, B2 “ x 2; y B1 ď B2 тогда и только тогда, когда

1 Ď 2.

Для любого подмножества основного множества системы A “ x ; y существует наименьшая относительно отношения ď подсистема

@D

x yA “ s; системы A включающая в себя множество ( Ď s) —

подсистема системы A порожденная множеством . Будем считать известным определение терма сигнатуры (некоторой программы вычислений в системах сигнатуры с помощью суперпозиций их сигнатурных функций), излагаемое в стандартных курсах дискретной математики. Через p q обозначим совокупность всех термов сигнатуры .Тогда для любого Ď имеет место равенство

s “ x Ap 1, . . . , q | p 1, . . . , q P p q, 1, . . . , P y ,

здесь A — термальная функция соответствующая терму на системе A. Для любой алгебраической системы A “ x ; y совокупность ее подсистем xSub A; ďy является решеточно упорядоченным множеством, при этом: для любых B1 “ x 1; y, B2 “ x 2; y suppB1, B2q “ x 1 Y 2yA, infpB1, B2q “ x 1 X 2; y. Сама же система A — наибольший элемент в xSub A; ďy, а система x 1, . . . , yA — наименьший эле-

мент в xSub A; ďy.

Алгебраическая система A называется плоской, если единственные ее подсистемы это сама A и x 1, . . . , yA, в случае когда сигнатура алгебры включает в себя константы 1, . . . , .

Алгебраические системы A “ x ; y, B “ x ; y одной и той же сигнатуры “ @ p ď q, p ď q, p ď qD называются изоморфными (A – B), если существует биекция (изоморфизм) множества

11

на такая, что:

1)для любого ď и любых 1, . . . , из имеет место равенство

p , Ap 1, . . . , qq “ , B p p 1q, . . . , p qq;

2)для любого ď и любых 1, . . . , из истинность отношения

, B p p 1q, . . . , p qq;

3) для любого ď p Aq “ B.

Существование изоморфизма алгебраической системы A на B означает, что с точки зрения действий сигнатурных функций и истинности сигнатурных отношений на элементах систем A и B эти системы устроены идентично друг другу (при кодировке элементов системы A

элементами p q системы B) и не зависят от природы самих этих элементов (т. е. алгебраические системы в теории алгебраических систем интересуют нас на «абстрактном уровне»).

Изоморфизм алгебраической системы A “ x ; y на самою себя называется автоморфизмом системы A. Алгебраическая система A

называется жесткой, если она не имеет нетривиальных автоморфизмов (т. е. единственный ее автоморфизм — это тождественное отображение на себя).

Отображение системы A “ x ; y в систему B “ x ; y называется гомоморфизмом A в B, если для выполнены указанные выше требования к отображению из определения изоморфизма (при замене в пункте 2) слова «равносильна» на слово «влечет»).

Ядром гомоморфизма системы A в систему B называется отношение эквивалентности ker на множестве , где для любых , P :

Отношение эквивалентности p , q на алгебраической системе A “ x ; y называется конгруэнцией системы A, если для любого P и любых 1, . . . , , , . . . , истинность отношений p , q для

12

ď влечет истинность отношения p p 1, . . . , q, p 1, . . . , qq. Любая конгруэнция на системе A “ x ; y позволяет определить

фактор-систему A{ “ x { ; y, где { — фактор-множество множества по эквивалентности . Здесь для ď и для 1, . . . , P

`˘

p , q истинно A 1, . . . , и A{ “ A{ . При этом отображение : Ñ { такое, что для P p q “ { является гомо-

морфизмом системы A на систему A{ . С другой стороны, ядро любого гомоморфизма алгебраической системы A в систему B является конгруэнцией системы A и фактор система A{ker изоморфна подсистеме x p qyB системы B. Совокупность всех конгруэнций системы A обозначим как Con A. Естественное отношение порядка ď на Con A определяется следующим образом: для , P Con A ď тогда и только тогда, когда истинность отношения p , q для любых , из влечет истинность отношения p , q. Это отношение порядка на Con A является отношением решеточного порядка. При этом infp , qp , q “ И

тогда и только тогда, когда p , q и p , q. Отношение supp , q

определяется на A “ x ; y несколько сложнее. Имеет место

ЛЕММА МАЛЬЦЕВА. Для любой алгебраической системы

A “ x ; y и любых , из следующие условия эквивалентны:

1)supp , qp , q “ И;

2)для некоторого натурального и некоторых термов p , s1q,

. . . , p , s q сигнатуры существуют кортежи s1, . . . , s элементов множества и пары t 1, 1u, . . . , t , u такие, что для любого 1 ď ď либо p , q “ И, либо p , q “ И и такие, что “ 1p 1, s1q, “ p , s q, а для 1 ď ă

p , s q “ `1p `1, s`1q.

13

Отношение равенства ∆A (∆Ap , q “ И Ø “ ) и коллапса A ( Ap , q для любых , из ) являются конгруэнциями алгебры A. При этом ∆A ( A) есть наименьший (наибольший) элемент решеточно упорядоченного множества Con A.

Система A называется простой, если она имеет только две конгруэнции: ∆A и A.

Поскольку в дальнейшем нам придется иметь дело преимуществен-

но с универсальными алгебрами (за исключением моделей — частично упорядоченных множеств), то дальнейшие определения и конструкции мы будем формулировать лишь для универсальных алгебр (а не для алгебраических систем произвольной, смешанной функциональнопредикатной сигнатуры). Одноэлементные алгебры будем далее называть тривиальными.

śś

;

2)ś P A p q “ A для любого P .

Имеет место следующий критерий разложимости алгебры A в прямое произведение нетривиальных (неодноэлементных) алгебр: алгеб-

14

ра A изоморфна алгебре C1 ˆ C2 ( Pt1, 2u A ) для некоторых неодно-

проекция , ограниченная на подалгебру B (обозначим это ограничение как ), является гомоморфизмом алгебры B на алгебру A , т. е. если p q “ . Алгебра C разложима в подпрямое произведение алгебр A ( P ), если C изоморфна некоторому подпрямому произведению алгебр A ( P ). Заметим, что так же как для случая прямого произведения, если B подпрямое произведение алгебр A ( P ), то inf pker | P q “ ∆B. Верно и обратное, если для каких либо конгруэнций ( P ) алгебры A имеет место равенство inf p | P q “ ∆A, то алгебра A разложима в подпрямое произведение алгебр A{ ( P ).

Алгебра A подпрямо неразложима, если любой изоморфизм алгебры A на подпрямое произведение алгебр A ( P ) влечет изоморфность алгебр A и A для некоторого P . В силу замеченного выше алгебра A подпрямо неразложима тогда и только тогда, когда для лю-

бых ее конгруэнций ( P ) равенство inf p | P q “ ∆A влечет равенство 0 “ ∆A для некоторого 0 из A. Таким образом алгебра A

подпрямо неразложима тогда и только тогда, когда совокупность конгруэнций алгебры A, отличных от ∆A имеет наименьшую конгруэнцию (монолит A подпрямо неразложимой алгебры A):

A ‰ ∆A и A “ inf p | P Con Azt∆Auq .

При этом, любая универсальная алгебра представима (изоморфна) как некоторое подпрямое произведение подпрямо неразложимых алгебр.

Под тождеством сигнатуры “ x p ď q, p ď qy имеется в

15

некоторая совокупность тождеств этой сигнатуры.

На классах K алгебр сигнатуры рассмотрим следующие операторы:

K Ñ pKq “ tA | A изоморфна некоторой K-алгебреu ,

K Ñ pKq “ tA | A является подалгеброй некоторой K-алгебрыu ,

K Ñ pKq “ A | A является гомоморфным образом некоторой

(

K-алгебры ,

K Ñ pKq “ A | A является прямым произведением некоторой

(

совокупности K-алгебр ,

K Ñ pKq “ A | A является подпрямым произведением

(

некоторой совокупности K-алгебр .

Через MpKq обозначим наименьший (относительно теоретико-мно- жественного включения Ď) эквациональный класс включающий в себя все K-алгебры. Класс алгебр K некоторой фиксированной сигнатуры называется многообразием алгебр, если он замкнут относительно операторов , , ( pKq, pKq, pKq Ď K).

16

ТЕОРЕМА БИРКГОФА. Эквациональные классы и только они являются многообразиями алгебр. При этом, для любого класса алгебр K имеет место равенство MpKq “ pKq.

Через K обозначим класс подпрямо неразложимых алгебр из произвольного класса алгебр K.

Для любого многообразия M алгебр сигнатуры имеет место равенство: M “ MpM q. При этом любое многообразие M алгебр однозначно определимо своим подклассом M подпрямо неразложимых алгебр. То есть, для любых многообразий алгебр M1 и M2 равенства M1 “ M2 и M1 “ M2 равносильны.

Заметим, что в силу формулы MpKq “ pKq, любое тождество, истинное на алгебрах из класса K, будет истинно и на всех алгебрах

Многообразие универсальных алгебр M называется арифметическим, если оно конгруэнц-дистрибутивно (решетка ConpAq дистрибутивна для любой алгебры A из M) и конгруэнц-перестановочно (т. е. для любой алгебры A из M и любых ее конгруэнций 1, 2 имеет место равенство 1 ˝ 2 “ 2 ˝ 1). Известна следующая термальная характеризация арифметических многообразий.

ТЕОРЕМА ПИКСЛИ. Для любого многообразия M эквивалентны: следующие условия:

1)M — арифметично,

2)существует терм p , , q (терм Пиксли) сигнатуры многообразия M такой, что на M истинны тождества

p , , q “ p , , q “ p , , q “ .

Функция p , , q называется дискриминаторной на множестве ,

17

если для любых , , из имеет место

$

& , если ‰ ,

p , , q “

% , если “ .

Класс алгебр K называется дискриминаторным, если существует терм

p , , q сигнатуры класса K, термальные функции которого на основном множестве любой алгебры из K являются дискриминаторными (дискриминаторный терм для K). Многообразие M называется дискриминаторным, если для некоторого дискриминаторного класса K Ď M

имеет место равенство M “ MpKq.

Отметим так же, что если терм p , , q является дискриминаторным для класса алгебр K, то терм

`˘

p , , , q “ p , , q, p , , q,

определяет так называемую функцию нормальной трансформации на основных множествах K-алгебр, т. е. для любой A P K и любых

, , , P A имеет место

$

& , если “ ,

p , , , q “

% , если ‰ .

Любая неодноэлементная дискриминаторная алгебра является простой. Так как, если p , , q — дискриминаторный терм для класса алгебр K, то для любой алгебры A из K на A истинны тождества:

p , , q “ , p , , q “ , p , , q “ , то, в силу теоремы Пиксли, многообразие MpKq арифметично. Пусть класс K является дискриминаторным с дискриминаторным термом p , , q. Через MpKq обозначим совокупность алгебр многообразия MpKq, на которых терм p , , q

определяет дискриминаторную функцию. Тогда имеет место равенство MpKq “ MpKq . Таким образом, подпрямо неразложимые алгебры дискриминаторного многообразия M (с дискриминаторным тер-

18

мом p , , q) суть те M-алгебры, на основных множествах которых терм p , , q определяет дискриминаторную функцию. Более того, для дискриминаторных многообразий имеет место равенство

M “ M “ tсовокупность простых алгебр из Mu .

То есть понятия подпрямо неразложимой и простой алгебры для дисриминаторных многообразий эквивалентны.

Конечные дискриминаторные алгебры называются квазипримальными. Имеет место следующая характеризация квазипримальных алгебр.

ТЕОРЕМА 1.1. Конечная алгебра A квазипримальна тогда и только тогда, когда многообразие MpAq арифметично и алгебра A наследственно проста (т. е. простыми являются все ее подалгебры).

Конечная алгебра A “ x ; y называется примальной, если любая функция на множестве является термальной функцией алгебры A.

ТЕОРЕМА 1.2. Конечная алгебра A примальна тогда и только тогда, когда она простая, плоская, жесткая и многообразие MpAq арифметично.

Другими словами, примальные алгебры это плоские и жесткие квазипримальные алгебры.

Алгебра A “ x ; y из многообразия алгебр M, порожденная некоторым множеством Ď (т. е. когда A “ x yA) называется свободной над в многообразии M, если любое отображение множества в

любую M-алгебру C продолжимо до (единственного) гомоморфизма алгебры A в алгебру C (т. е. если существует и при этом единственный гомоморфизм алгебры A в C, ограничение которого до множества совпадает с отображением ). Для любого многообразия M и любого множества существует M-алгебра Mp q свободная над в многообразии M. При этом для любых равномощных множеств и

19

алгебры Mp q и Mp q изоморфны и могут быть обозначены просто как Mp q, где — мощность множества . Очевидно, что любая

M-алгебра мощности не более чем является гомоморфным образом алгебры Mp q. Кроме того M “ M p Mp 0qq, где 0 — счетный кардинал.

В силу многого изложенного выше, очевидно, что целый ряд свойств универсальных алгебр зависит не от их сигнатурных функций, а от совокупности термальных функций этих алгебр. То есть даже при различных наборах сигнатурных функций двух алгебр с общим основным множеством, но при совпадении совокупностей их термальных функций, свойства этих алгебр будут во многом идентичны. Это замечание лежит в основе следующего определения.

Два класса универсальных алгебр K1 и K2 сигнатур, соответственно,

1 и 2 называются рационально эквивалентными, если существуют отображения 1 ( 2), ставящие в соответствие символам сигнатуры 1

термы сигнатуры 2 (символам сигнатуры 2 термы сигнатуры 1) с сохранением их арности (числа аргументов символа P и терма p q

совпадают) и такие, что:

а) для любой K2-алгебры A “ x ; 2y алгебра 1pAq “ x ; 1y входит в класс K1, здесь 1-операции алгебры 1pAq на множестве определяются соответствующими 1p 1q-термами алгебры A;

б) для любой K1-алгебры A “ x ; 1y алгебра 2pAq “ x ; 2y входит в класс K2, здесь алгебра 2pAq определяется аналогично алгебре 1pAq из пункта а);

в) для любой K2-алгебры A имеет место равенство 2p 1pAqq “ A;

г) для любой K1-алгебры A имеет место равенство 1p 2pAqq “ A.

20