Булевы алгебры и булевы функции. Дополнительные главы дискретной математики. Учебное пособие

в) порядок клона равен двум.

Доказательство. a) В § 3.1 отмечено равенство

p 1, . . . , , . . . , q “ ^ p 1, . . . , ´1, 1, `1, . . . , q _

_^ p 1, . . . , ´1, 0, `1, . . . , q. (˚˚)

Всилу же монотонности имеет место неравенство

p 1, . . . , ´1, 0, `1, . . . , q ď p 1, . . . , ´1, 1, `1, . . . , q

и подформулу ^ p 1, . . . , ´1, 0, `1, . . . , q в равенстве (˚˚) можно заменить на формулу p 1, . . . , ´1, 0, `1, . . . , q.

б) Из равенств _ 1 “ 1, ^ 0 “ 0, 0 _ 0 “ 0 следует, что для монотонной функции , отличной от константы, функция

p 1, . . . , ´1, 0, `1, . . . , q

из равенства (˚) не равна константе 1 или хотя бы одна из функций

p 1, . . . , ´1, 0, `1, . . . , q, p 1, . . . , ´1, 1, `1, . . . , q не равна константе 0. С помощью равенств ^ 1 “ и _ 0 “ можно из правой части равенства (˚) исключить все константы 0, 1. К оставшимся монотонным функциям

p 1, . . . , ´1, 0, `1, . . . , q и p 1, . . . , ´1, 1, `1, . . . , q

опять применяем разложение (˚) и все последующие рассуждения. Итерируя эту процедуру должное число раз, получаем включение

P x ^ , _ y и, вследствие него, равенство x0, 1, ^ , _ y “ . в) В силу утверждения б) порядок клона не больше двух. А так как этот клон включает в себя функцию ^ ранга два, то, как это уже замечалось выше, он не может быть порожден системой функций

ранга один.

Существование полинома Жегалкина для булевых функций влечет

61

равенство x‘, ¨, 1y “ 2, а, так как функции ‘ и ¨ входят в клон 0 и

свободные члены полиномов Жегалкина для функций из 0 должны равняться 0, то x‘, ¨y “ 0 и порядок клона 0 равен двум. Равенство

1 “ 0˚ влечет равенство двум порядка клона 1. Равенство x‘, ¨, 1y “

и невозможность равенства единице порядка клона, включающего в себя функцию ранга два, влечет утверждение о том, что порядок и клона равен двум.

Заметим, что все клоны 0, 1, , , попарно различны, более того имеют место следующие непосредственно проверяемые включения:

(

, p ^ q ‘ p ^ q ‘ p ^ q P zp Y Y 0 Y 1q;

(

0, 1, _ P zp Y Y 0 Y 1q;

(

‘ , ^ P 0zp Y Y Y 1q;

(

‘ ‘ 1, _ P 1zp Y Y Y 0q.

Отметим еще пару необходимых нам в дальнейшем равенств

x ^ , _ y “ 0.

Действительно, включения ^ , _ в 0 очевидны, а, с другой стороны, x‘, ¨y “ 0 в то время как ‘ “ p ^ q _ p ^ q и

¨ “ p ^ q ^ .

Переходя к двойственным функциям, получаем равенство

x _ , ^ y “ 1.

ЛЕММА 3.3.2.

а) Если p 1, . . . , q не монотонная функция, то P x , 0, 1y;

б) если p 1, . . . , q не самодвойственная функция, то хотя бы одна из констант 0, и 1 входит в x , y;

62

в) если p 1, . . . , q не линейная функция, то хотя бы одна из функций ¨ или ¨ ‘ 1 входит в x , , 0y.

Доказательство. а) Пусть p 1, . . . , q не монотонная функция и,

значит, существуют кортежи x 1, . . . , y , x 1, . . . , y P t0, 1u такие, что ď для 1 ď ď , но p 1, . . . , q ą p 1, . . . , q. Для 1 ď ďопределим функции p q следующим образом:

$

’0, если “ “ 0,

’

&

p q “ 1, если “ “ 1,

’

’

% , если 1 “ 0, “ 1.

Всилу неравенств ď случай когда “ 1, а “ 0 невозможен.

`˘

Рассмотрим функцию p q “ 1p q, . . . , p q . Тогда

`˘

p0q “ 1p0q, . . . , p0q “ p 1, . . . , q и

`˘

p1q “ 1p1q, . . . , p1q “ p 1, . . . , q.

Но тогда p0q ą p1q и, значит, утверждение а) доказано.

б) Пусть p 1, . . . , q не самодвойственная функция. Тогда суще-

p0q “ ` 1p0q, . . . , p0q˘ “ p0 1 , . . . , 0 q “ p 1, . . . , q,

и, в то же время,

p1q “ ` 1p1q, . . . , p1q˘ “ p1 1 , . . . , 1 q “

“ p 1, . . . , q “ p 1, . . . , q,

то есть p1q “ p0q и функция p q является константной. Утверждение б) леммы доказано.

63

в) Пусть p 1, . . . , q не линейная функция. Тогда в ее представлении полиномом Жегалкина есть не линейное слагаемое. Выберем подобное слагаемое имеющее наименьшую степень. Допустим, что оно имеет вид 1 ¨ 2 ¨ . . . ( ě 2). Заменяя аргумент 1 на , а аргументы 2, . . . , на и, подставляя вместо других аргументов константу 0, получаем функцию p , q. В силу выбора нелинейного слагаемого 1 ¨ 2 ¨ . . . наименьшей степени, для функции p , q имеет место равенство p , q “ ¨ ‘ ‘ ‘ для некоторых , , P t0, 1u.

Рассмотрим теперь функцию p , q “ p ‘ , ‘ q “ ¨ ‘ ‘ , то есть p , q либо равна ¨ , либо равна ¨ ‘ 1. А так как “ ‘ 1, то получаем включение в клон x , , 0y либо функции ¨ , либо функции ¨ ‘1. Утверждение в) леммы, а, вместе с ним, и вся лемма доказаны.

Перейдем, наконец, к формулировке и доказательству теоремы Поста — критерия полноты систем булевых функций.

ТЕОРЕМА ПОСТА. Совокупность булевых функций является полной тогда и только тогда, когда она включает в себя хотя бы по одной функции не входящей в следующие клоны: 0, 1, , , .

Доказательство. Необходимость следует из неравенств 0 ‰ 2,1 ‰ 2, ‰ 2, ‰ 2, ‰ 2, уже отмеченных ранее.

Докажем достаточность. Пусть некоторая совокупность функций такая, что Ę 0, Ę 1, Ę , Ę , Ę и пусть функции 1,2, 3, 4, 5 из таковы, что 1 R 0, 2 R 1, 3 R , 4 R , 5 R . Заметим, что сами эти функции не обязаны быть попарно различными. Рассмотрим клон Φ, порожденный этими функциями, то есть пусть Φ “ x 1, 2, 3, 4, 5y и покажем, что Φ “ 2.

Прежде всего заметим, что в Φ входят обе константы. Действительно, т. к. 2p 1, . . . , q P Φ и 2p1, . . . , 1q “ 0, то функция одного аргумента 2p , . . . , q либо есть константа 0, либо функция (так как существует всего четыре одноместных функции аргумента : ,

и константы 0 и 1). В первом случае с помощью функции 1, не сохра-

64

няющей 0, то есть такой, что 1p0, . . . , 0q “ 1 получаем, что функция

и 5p 1, . . . , q, по лемме 3.3.2 б), дает одну из констант 0, либо 1. Вторую константу в клоне Φ получим подстановкой уже полученной константы либо в функцию 1, либо в функцию 2.

Тем самым обе константы 0 и 1 входят в Φ, но тогда, по лемме 3.3.2 а), в Φ входит и функция . А по утверждению леммы 3.3.2 в)

вΦ входит одна из функций ¨ или ¨ ‘ 1. Но тогда, так как во втором случае в Φ входят и и ¨ ‘ 1, а p ¨ ‘ 1q “ ¨ , то в Φ

влюбом случае входит функция ¨ .

Сдругой стороны, как хорошо известно, и уже отмечалось ранее совокупность t ^ “ ¨ , u является полной и, значит Φ “ 2, что и доказывает теорему Поста.

Совокупность булевых функций Φ называется предполной, если клон 2

покрывает клон xΦy, то есть, если xΦy Ă 2 и не существует клонов лежащих между xΦy и 2.

Отмеченная выше непустота множеств zp Y Y 0 Y 1q, zp Y

Y 0 Y 1q, zp Y Y 0 Y 1q, 0zp Y Y Y 1q, 1zp Y Y Y

0q вкупе с утверждением теоремы Поста очевидным образом влечет следующее утверждение.

СЛЕДСТВИЕ 3.3.1. Любой клон булевых функций отличный от клона 2 всех булевых функций содержится в одном из пяти предполных клонов , , , 0, 1 и других предполных клонов не существует.

Изложение материала этого раздела в значительной мере следует монографии [8].

65

§ 3.4 Решетка Поста

Решеткой Поста называется решетка 2 всех булевых клонов. В работе [23] Е. Пост доказал счетность этой решетки, получил ее диаграмму Хассе и исчерпывающее описание входящих в нее клонов.

В предыдущем параграфе мы отметили, что наименьшим элементом этой решетки является клон 01, состоящий из всех селекторных функций p 1, . . . , q “ на множестве t0, 1u. Наибольшим же клоном является клон 2 всех булевых функций. В качестве следствия из доказанной в § 3.3 теоремы Поста мы получили описание верхней части решетки 2:

2

Рис. Верхняя часть пешетки 2

Не имея возможности здесь изложить в доказательной форме Постовское описание решетки 2, мы отсылаем читателя к современным доказательным изложениям этого материала в монографии [8] и в учебном пособии [12], отмечая, при этом, что в последнем описание Поста представлено как результат решения последовательности локальных задач (адресованных читателям) о различных булевых клонах и входящих в них функциях. В настоящем параграфе мы ограничимся лишь описанием булевых клонов (включая указания на примеры их базисов и на их порядок) и демонстрацией строения решетки Поста — решетки всех булевых клонов. В данном изложении мы используем более современные и удобные (по сравнению с оригинальным Постовским изложением) обозначения булевых клонов и более прозрачную для восприятия диаграмму Хассе решетки Поста (в том числе и по сравнению с изложением этого материала в предыдущем учебном пособии автора [15], посвященном дополнительным главам дискретной математи-

66

67

и их порядки.

Таблица 3.1: Клоны, включающие в себя константы 0 и 1

Наконец, приведем диаграмму Хассе решетки Поста, решетки — ре-

шетки всех булевых клонов.

68

Таблица 3.3: Клоны, включающие в себя 0 и не содержащие 1

69

Рис. Диаграмма Хассе решетки Поста

70