Булевы алгебры и булевы функции. Дополнительные главы дискретной математики. Учебное пособие

чает в себя материал о фрагментах клонов и о естественной метрике

на совокупностях функциональных клонов над произвольными множе-

ствами.

§ 3.1 Резюме ряда результатов о булевых

функциях (из стандартного курса

«Дискретной математики»)

Как замечено выше, мы приведем здесь краткое резюме результатов о булевых функциях, излагаемых в стандартных втузовских курсах «Дискретной математики» (см., к примеру, [18]).

Прежде всего остановимся на способах задания функций на двухэлементном множестве t0, 1u. Через 2 обозначим совокупность всех функций на множестве t0, 1u, а для любого натурального через 2 —

совокупность всех -местных функций из t0, 1u. Очевидно равенство

| 2 | “ 22 , где | | — мощность множества . В дальнейшем, будет удобно при работе с функциями p 1, . . . , q из 2 отождествлять их с отображениями : t0, 1u Ñ t0, 1u, когда psq “ p 1, . . . , q дляs P t0, 1u , где s “ x 1, . . . , y и P t0, 1u. То есть булевы функции из 2 это любые отображения булевой алгебры 2 в булеву алгебру 2.

Через |s| будем далее обозначать длину любого кортежа s P t0, 1u .

Расстояние Хэмминга между любыми ортежами s “ x 1, . . . , y

и s “ x 1, . . . , y из t0, 1u определяется как

ÿÿ

— как число отличных друг от друга координат этих кортежей. Кортежи называются соседними, если расстояние между ними равно единице и противоположными, если расстояние между ними равно .

41

любых кортежа s “ x 1, . . . , y и ď через s обозначим кортеж x 1, . . . , ´1, `1, . . . , y.

На совокупности t0, 1u этих кортежей рассмотрим естественный порядок (натуральный):

t0, 1u “ t p0q ă p1q ă . . . ă p q ă . . . ă p2 ´ 1qu ,

где эти кортежи упорядочены как естественным образом упорядоченные натуральные числа при их записи в двоичном исчислении. При

этом p q “ x p q1, . . . , p q y, где “ 1 `

Для любой функции p 1, . . . , q P 2 остаточные функции по -

ому аргументу (функции p 1, . . . , ´1q) определяются следующим образом: для P t0, 1u и x 1, . . . , ´1y P t0, 1u ´1 p 1, . . . , ´1q “p 1, . . . , ´1, , `1, . . . , q. При этом -ый аргумент функции называется фиктивным, если обе остаточные для функции по этому аргументу совпадают: 0 “ 1. Аргументы не являющиеся фиктивными для функции называются существенными для . Через np q обозначим число переменных — аргументов функции , через arg — все аргументы функции , через sarg — ее существенные, а через farg

ее фиктивные аргументы. Число существенных аргументов функции называется ее рангом — rang . Функция называется существенной, если все ее аргументы существенны.

Выше уже было замечено, что число всех функций из 2 равно 22 . Непосредственно индукцией по арности функций (на основе очевидной

формулы “ 22 ´ 1 ´1 ´ 2 ´2 ´ . . . ´ 0, здесь число

существенных функций в 2 ) доказывается, что число существенных

42

Другой способ задания функции на множестве t0, 1u — это опреде-

ление ее как термальной функции (с помощью явного задания соответствующего терма) какой-либо универсальной алгебры A “ xt0, 1u; y, сигнатурные функции которой заданы в каком-либо явном виде на множестве t0, 1u. К этим заданиям восходят, в частности, классические задания булевых функций с помощью их дизъюнктивных и конъюнктивных форм, основанное, в том числе, и на примальности булевой алгебры 2 “ xt0, 1u; ^, _, , 0, 1y (см. п. 2.2.3).

Основные результаты о нормальных формах булевых функций излагаются в стандартных втузовских курсах «Дискретной математики». Напомним, что элементарной конъюнкцией (дизъюнкцией) от переменных 1, . . . , называются функции на t0, 1u вида 11 ^ . . . ^

( 11 _ . . . _ ), где P t0, 1u. Дизъюнкция (конъюнкция) элементарных конъюнкций (дизъюнкций) называется дизъюнктивной (конъ-

43

юнктивной) нормальной формой ДНФ (КНФ). Индукцией по длине термов сигнатуры “ x^, _, , 0, 1y на основе аксиом 1)—7) булевых алгебр доказывается, что любой терм этой сигнатуры на любой булевой алгебре (в том числе и на булевой алгебре 2) эквивалентен (т .е. имеет эквивалентную термальную функцию), что и некоторая дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма. При этом подобные нормальные формы не единственны. Однозначность дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формы, ее «совершенство» связано с дополнительными требованиями к этим формам.

Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма от переменных 1, . . . , называется совершенной, если элементарные конъюнкции (дизъюнкции) ее образующие не повторяются и каждая из них содержит по одному вхождению каждой из переменных 1, . . . , .

С вопросом представления булевых функций совершенной дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формой связаны так называемые разложения Шеннона булевых функций:

1)любая булева функция p 1, . . . , q для любого ď представима в виде

2)любая булева функция p 1, . . . , q для любого ď представима в виде

В частности, имеет место представление булевых функций в виде

44

совершенных нормальных форм:

и p 1,..., q“0

Без труда, непосредственно, замечается единственность совершенной дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формы представляющей булеву функцию не эквивалентную константе 0 (константе 1).

Мы не будем касаться здесь вопросов минимизации дизъюнктивных (конъюнктивных) нормальных форм булевых функций, достаточно подробно рассматриваемых в стандартных втузовских курсах дискретной математики.

Напомним, что двойственной функцией по отношению к булевой функции p 1, . . . , q называется функция

˚p 1, . . . , q “ p 1, . . . , q

иотметим следующий, достаточно очевидный, принцип двойственно-

сти: если p 1, . . . , q “ 1p 1, . . . , q, . . . , p 1, . . . , q , то

˚p 1, . . . , q “ ˚` ˚1 p 1, . . . , q, . . . , ˚ p 1, . . . , q˘.

Не будем касаться здесь вопросов декомпозиции булевых функций и полноты их систем (которые в какой-то мере так же рассматриваются в стандартных курсах), оставляя их для более тщательного рассмотрения в последующих параграфах.

45

§ 3.2 Декомпозиции и разложения булевых

функций

Содержание этого параграфа посвящено вопросам представления булевых функций в виде суперпозиции функций удовлетворяющих тем или иным условиям. При этом, если мы ограничиваем число аргументов составляющих суперпозицию функций, то и сама исходная функция обязана удовлетворять некоторым условиям (теорема 3.2.1), в то время как при отсутствии этих ограничений внешняя составляющая функция может быть чуть ли не произвольной с достаточно большим числом аргументов по отношению к исходной (теорема 3.2.4).

Содержание этого параграфа в значительной мере следует изложению этого материала в монографии[11].

3.2.1 ДЕКОМПОЗИЦИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ. Прежде

всего заметим, что одной из естественных мер сложности функций является число ее (существенных) аргументов. Поэтому достаточно важной является возможность представления булевой функции в виде суперпозиции каких-либо функций зависящих от меньшего числа аргументов, чем сама эта функция.

Для простоты, в дальнейшем мы не будем делать разницы между

терминами константная функция и константа.

В этой связи рассмотрим следующие определения. Пусть функция

`˘

ции и такие, что ps, s, sq “ s, s, ps, sq . При этом функция ( ) называется внешней (внутренней) функцией декомпозиции. Если при этом s— пустой кортеж, то подобная декомпозиция называется

разделительной.

Отметим так же, что для любых кортежей s P t0, 1u|s|, s P t0, 1u| s|

функция ps, s, q, как булева функция одного аргумента либо явля-

46

ется константой, либо тождественной функцией, либо функцией на множестве t0, 1u.

ТЕОРЕМА 3.2.1. Для любой булевой функции ps, s, sq следующие условия равносильны:

1)функция допускает декомпозицию для разбиения ее аргументов на группы s, s, s;

2)для любого кортежа s P t0, 1u|s|, среди всех остаточных для

функции s по ее аргументам s функций, не более двух различ-

s

ных;

Доказательство. Покажем, что имеет место импликация 1)Ñ3). Пусть функция ps, s, sq допускает декомпозицию при разбиении ее аргументов на группы s, s, s, т. е. существуют функции ps, s, q и ps, sq

`˘

Покажем теперь истинность импликации 3)Ñ2). В предположении

истинности утверждения 3) допустим противное утверждению 2). То есть пусть для некоторого кортежа P t0, 1u|s| существуют по край-

ней мере три различных остаточных по аргументам s для функции s

s

функции. Пусть это будут функции s, s1 , s, s2 , s, s3 .

s, s s, s s, s

47

|s| “ и “ 2 ):

48