Глава 2

Булевы алгебры

§ 2.1 Стандартная аксиоматика и

альтернативные подходы

Определение булевой алгебры как универсальной алгебры сигнату-

ры “ x^, _, , 0, 1y удовлетворяющей тождествам:

1)^ “ , _ “ ;

2)^ “ ^ , _ “ _ ;

3)^ p ^ q “ p ^ q ^ , _ p _ q “ p _ q _ ;

4)^ p _ q “ , _ p ^ q “ ;

5)^ p _ q “ p ^ q _ p ^ q, ^ p _ q “ p ^ q _ p ^ q;

6)^ 1 “ , _ 0 “ ;

7)^ “ 0, _ “ 1.

приведено в главе 1. При этом основным, даже, как это будет показано далее, определяющим примером при выработке этой аксиоматики выступал, так называемый булеан произвольного множества :

x p q; X, Y, , , y, где p q — совокупность всех подмножеств множества , X, Y, — операции теоретико-множественного пересечения, объединения и дополнения (в множестве ) подмножств множества и роль 0 играет пустое множество , а роль 1 — множество .

Укажем еще несколько примеров булевых алгебр. Для любого топологического пространства “ x ; y через Reg обозначим совокупность регулярных замкнутых подмножеств пространства , т. е. таких, что “ In (здесь — замыкание, а In — внутренность множеств Ď ). Булеву алгебру Reg определим как

xReg ; ^, _, , , y ,

где для 1, 2 P Reg , 1 ^ 2 “ In p 1 X 2q, 1 _ 2 “ 1 Y 2,

1 “ z 1.

Булеву алгебру образуют «события» с которыми имеет дело теория вероятности (в некотором фиксированном контексте) с операциями соответствующими логическим связкам «и», «или» и «не» и с невозможным и достоверным событиями в качестве констант этой булевой алгебры.

В математической логике, при фиксированной некоторой теории первого порядка какой-либо сигнатуры, совокупность всех замкнутых формул этой сигнатуры, профакторизованная отношением эквивалентности этих формул относительно теории с операциями конъюнкции, дизъюнкции и отрицания и формулами ^ , _ (для любой формулы этой сигнатуры) в качестве констант 0 и 1 также является булевой алгеброй (алгеброй Линдебаума теории ).

Прежде всего отметим, что аксиомы 1)—7) не являются независимыми, т. е. некоторые из них являются логическими следствиями оставшихся. К примеру, каждое из двух тождеств 5) логически вытекает из оставшейся совокупности тождеств (и выше приведены оба варианта тождества 5) просто из эстетических соображений симметрии). Действительно, пусть на универсальной алгебре C “ x ; ^, _, , 0, 1y истинны тождества 1)—4), 6)—7) и тождество ^p _ q “ p ^ q_p ^ q.

22

Покажем, что тогда на алгебре C истинно и тождество _ p ^ q “ p _ q ^ p _ q. Пусть , , , P . В силу предположения об истинности на C первого из тождеств 5) и тождеств 2), 3), 4) имеет место следующая цепочка равенств:

Таким образом на C истинно и второе тождество 5). То есть, действительно, второе из тождеств 5) есть логическое следствие остальных тождеств аксиоматизирующих понятие булевой алгебры.

Отметим ряд свойств булевых алгебр, непосредственно вытекающих из аксиом 1)—7). Дополнение элементов булевых алгебр полностью характеризуется равенствами ^ “ 0 и _ “ 1, т. е. для любого элемента булевой алгебры, если ^ “ 0 и _ “ 1, то “ . Действительно, в силу аксиом булевых алгебр 1)—7) и ра-

венств ^ “ 0, _ “ 1, имеет место цепочка равенств:

“ 0 _ “ p ^ q _ “ p _ q^p _ q “ 1 ^p _ q “ _ “

“ _ p ^ q _ p ^ q “ _ “

То есть это единственный элемент булевой алгебры такой, что

^ “ 0 и _ “ 1. А так как, в силу аксиомы 7) ^ “ 0 и

_ “ 1, то на любой булевой алгебре истинно тождество

“ .

Столь же непосредственно доказывается истинность на булевых алгебрах тождеств Моргана: p _ q “ _ , p ^ q “ _ , а так же равносильность равенств ^ “ 0 и ^ “ для любых элементов , любой булевой алгебры.

23

2.1.1 БУЛЕВЫ РЕШЕТКИ. Частично упорядоченное множество (ч.у.м.) называется решеточно упорядоченным, если для любой пары элеменов , из в x ; ďy существуют их наименьшая верхняя (наибольшая нижняя) supp , q (infp , q) грани. Решеточно упорядоченное множество x ; ďy дистрибутивно, если для любых , , P

имеет место равенство

` ˘ ` ˘ inf , supp , q “ sup infp , q, infp , q .

На любой булевой алгебре B “ x ; y определим отношение ď следующим образом: для , из отношение ď имеет место тогда и только тогда, когда ^ “ . Прежде всего заметим, что в любой булевой алгебре равенство ^ “ равносильно равенству _ “ . Действительно, в силу аксиомы 5) при истинности равенства ^ “ имеет место _ “ p ^ q_ “ . Обратная импликация _ “ Ñ ^ “

замечается двойственным образом (заменой операций ^ и _ друг на друга).

В силу аксиомы 1) отношение ď рефлексивно: ď . Неравенства

ď и ď (т. е. если ^ “ и ^ “ ) в силу аксиомы 2) влекут равенство “ , то есть отношение ď антисимметрично. Неравенства ď и ď (т. е. если ^ “ и ^ “ ) в силу аксиомы 4) влекут равенство “ ^ “ ^ p ^ q “ p ^ q ^ “ ^ , т. е. ď

и отношение ď транзитивно. Итак, определенное выше отношение ď на булевой алгебре B является отношением частичного порядка для которого, в силу аксиомы 6) элементы 0 и 1 являются наименьшим и наибольшим элементами в чуме x ; ďy.

При этом _ ( ^ ) играют роль супремума (инфинума) для элементов и из : ^ p _ q “ , т. е. ď p _ q и если ď , ď

т. е. ^ “ и ^ “ , то p _ q ^ “ p ^ q _ p ^ q “ _ , то есть _ ď .

Таким образом. в нашем случае, чум x ; ďy является дистрибутивным решеточно упорядоченным множеством с наименьшим и наибольшим элементами, обогащенным операцией такой, что для любо-

24

го P ^ “ 0 и _ “ 0 (является булевой решеткой). Верно и обратное: если x ; ďy дистрибутивное решеточно упорядо-

ченное множество с наименьшим элементом 0 и наибольшим — 1, обогащенное операцией такой, что infp , q “ 0 и supp , q “ 1 то, определяя операции ^ и _ на как ^ “ infp , q и _ “ supp , q

мы получаем булеву алгебру x ; ^, _, , 0, 1y, порядок определенный на которой подобно тому как это было сделано выше, совпадает с исходным порядком чума x ; ďy. В дальнейшем, говоря о порядке ď на основном множестве булевой алгебры B “ x ; ^, _, , 0, 1y будем иметь ввиду этот, введенный выше, порядок на .

2.1.2БУЛЕВЫ КОЛЬЦА. Напомним, что кольцом с единицей

называется универсальная алгебра C “ x ; y сигнатуры “ x`, ´, ¨, 0, 1y

(здесь `, ¨ символы двухместной, ´ — одноместной операции, 0, 1 —

констант), если на ней истинны тождества: 1) ` “ ` ; 2) ` p ` q “ p ` q ` ; 3) ` 0 “ ; 4) ` p´ q “ 0; 5) ¨ “ ¨ ; 6) ¨ p ¨ q “ p ¨ q ¨ ; 7) ¨ 1 “ ; 8) ¨ p ` q “ ¨ ` ¨ .

Кольцо с единицей x ; `, ´, ¨, 0, 1y называется булевым кольцом,

если дополнительно на нем истинно тождество ` “ 0.

Для любой булевой алгебры B “ x ; ^, _, , 0, 1y введем следующие обозначения для ряда термальных операций алгебры B:

1)“ ^ (операция разности);

2)‘ “ p q _ p q (операция симметрической разности).

Без труда, непосредственно замечается, что для любой булевой алгебры B “ x ; ^, _, , 0, 1y универсальная алгебра

1pBq “ x ; `, ´, ¨, 0, 1y

(где операции `, ¨ на множестве определены как термальные операции алгебры B с помощью термов ‘ и ^ соответственно, операция

´ определена как тождественное отображение на множестве , а константы 0 и 1 остаются прежними) является булевым кольцом.

25

С другой стороны, для любого булевого кольца C “ x ; `, ´, ¨, 0, 1y, определяя на термальные операции ^, _, с помощью термов ¨ ,

` ` ¨ , 1 ` p´ q алгебры C соответственно, получаем булеву алгебру 2pCq “ B “ x ; ^, _, , 0, 1y. При этом для любых булевой алгебры B и булева кольца C имеют место равенства 2 p 1pBqq “ B

и 1 p 2pCqq “ C. Другими словами, многообразия булевых алгебр и булевых колец рационально эквивалентны.

§ 2.2 Основные понятия и конструкции

2.2.1 ПОДАЛГЕБРЫ. Прежде всего заметим, что любая нетри-

виальная булева алгебра B “ x ; ^, _, , 0, 1y содержит наименьшую подалгебру xt0, 1u; ^, _, , 0, 1y обозначаемую далее как 2. Для любого элемента булевой алгебры B отличного от 0 и 1 подалгебра xt uyB, порожденная этим элементом, четырехэлементна с основным

(

множеством , , 0, 1 .

В дальнейшем нам будет удобны следующие степенные обозначения для элементов булевой алгебры B: 1 “ , 0 “ .

Для любой совокупности элементов булевой алгебры

B “ x ; ^, _, , 0, 1y элементы подалгебры x yB, отличные от 0 и 1, имеют вид

менты вида (1) входят в основное множество подалгебры x yB, а, с другой стороны, в силу тождеств 1)—7) аксиоматики булевых алгебр, тождеств Моргана и тождества “ , совокупность элементов вида (1) замкнута относительно операций ^, _, и включает в себя множество Y t0, 1u, т. е. образует подалгебру алгебры B. Таким образом, в частности, для конечных множеств мощности мощность подалгебры x yB не превышает числа 22 .

26

Для любых элементов , булевой алгебры B таких, что ă через

констант 0 “ и 1 “ превращают интервал r , s в булеву алгебру

алгебру B1 . При этом B – Bæď ˆ Bæě .

Минимальные (максимальные) элементы частично упорядоченного множества x zt0u; ďy (множества x zt1u; ďy) называются атомами (коатомами) булевой алгебры B “ x ; ^, _, , 0, 1y. Непосредственно замечается, что если атом булевой алгебры B, то для любого P

либо ď , либо ^ “ 0. Двойственная ситуация имеет место для

коатомов.

Булева алгебра B называется атомной, если для любого P zt0u

существует атом алгебры B такой, что ď . Булевы алгебры не имеющие атомов называются безатомными. Очевидно, что все конечные булевы алгебры атомны, а все безатомные булевы алгебры бесконечны. Столь же непосредственно замечается, что если конечная булева алгебра B имеет атомов 1, . . . , , то ее элементы отличные от 0 имеют

вид 1 _ . . . , где t 1, . . . , u Ď t1, . . . , u и, значит, мощность алгебры B равна 2 . Таким образом, мощности конечных булевых алгебр

суть степени двойки и обратно для любого натурального существует булева алгебра мощности 2 — t1, . . . , u ; X, Y, , , t1, . . . , u .

любой биекции множества атомов одной из них на множества атомов второй, естественным образом продолженной до биекции между основными множествами этих алгебр).

Булеву алгебру мощности 2 называют -мерным кубом.

27

‚

Рис. Диаграммы Хассе булевых решеток мощности 1, 2, 4, 8, 16 (кубы размерностей 0, 1, 2, 3, 4)

2.2.2 ИДЕАЛЫ И КОНГРУЭНЦИИ. Подмножество основного множества булевой алгебры B называется идеалом в алгебре B, если:

1)для любых , P , если P и ď , то и P ;

2)для любых , P элемент _ так же входит в .

Двойственным образом определяется понятие фильтра булевой ал-

гебры.

Прежде всего заметим, что для любой булевой алгебры

B “ x ; ^, _, , 0, 1y и элемента из интервал r0, s (r , 1s) является идеалом (фильтром) булевой алгебры B. Будем обозначать его в дальнейшем как ( ) и называть главным идеалом (фильтром), порожденным в B элементом .

В качестве примера неглавного идеала (фильтра) в булеане x p q; X, Y, , , y для бесконечного множества укажем на так на-

28

зываемый идеал (фильтр) Фреше:

(

| Ď и — конечно ( — коконечно, т.е. конечно множество z ) .

Идеалы (фильтры) отличные от основного множества булевой алгебры будем называть собственными.

Отметим так же, что для любого идеала (фильтра ) булевой алгебры B множество “ t | P u ( “ t | P u) является фильтром (идеалом) для B.

Заметим теперь, что любой идеал любой конечной булевой алгебры является главным, а, значит, в силу отмеченной выше взаимосвязи идеалов и фильтров, то же верно и для фильтров. Действительно, пусть некоторый идеал конечной булевой алгебры B. В силу конечности множества в чуме x ; ďy (здесь ď порядок, индуцированный на порядком булевой алгебры B) найдутся максимальные элементы. Заметим лишь, что подобный элемент в единственен. Действительно, если 1 ‰ 2 пара различных максимальных элементов из , то, т. к.

1, 2 ă 1 _ 2 P , приходим к противоречию с максимальностью элементов 1 и 2 в . Но тогда, если — единственный максимальный (а в нашем случае и наибольший) элемент в , то имеет место равенство, т. е. “ и идеал — главный идеал булевой алгебры B.

Пусть x ; ďy некоторое частично упорядоченное множество. Подмножество Ď называется цепью, если для любых , P либо

ď , либо ď .

Напомним, что под леммой Цорна имеется в виду следующее утверждение: если для некоторого чума x ; ďy любая его цепь имеет в x ; ďy

некоторую верхнюю грань, то для любого элемента из найдется некоторый максимальный в x ; ďy элемент такой, что ď .

Напомним так же, что утверждения леммы Цорна и аксиомы выбора логически эквивалентны относительно традиционных, общепринятых аксиом ZF теории множеств. Тем самым, в алгебре, как и в основном массиве «работающих» математических дисциплин (не связанных с обсуждением оснований математики) общепринято считать

29

утверждение леммы Цорна истинным.

Для любой булевой алгебры B через x B; Ďy обозначим совокупность собственных идеалов алгебры B, упорядоченную теоретико-мно- жественным отношением Ď. Идеал булевой алгебры B называется максимальным, если он некоторый максимальный элемент в чуме x B; Ďy. Покажем теперь, что в предположении справедливости утверждения леммы Цорна верно и следующее утверждение: любой собственный идеал произвольной булевой алгебры B содержится в некотором ее максимальном идеале. Прежде всего отметим, что идеал булевой алгебры является собственным тогда и только тогда, ко-

гда 1 R . Пусть t | P u некоторая цепь идеалов из x B; Ďy. Оче-

собственный идеал булевой алгебры содержится в некотором ее максимальном идеале.

Имеет место следующее утверждение, характеризующее максимальные идеалы булевых алгебр.

ЛЕММА 2.2.1. Идеал булевой алгебры B является максимальным тогда и только тогда. когда для любого элемента булевой алгебры ровно один из элементов и входит в .

Доказательство. Пусть некоторый собственный идеал алгебры B. Заметим, что для любого из B включения , в не могут быть выполнены одновременно, т. к. иначе 1 “ _ входит в в противоречии с предположением о собственности идеала .

Пусть теперь некоторый максимальный идеал алгебры B. Допустим теперь, что для некоторого элемента из B ни , ни не входят в . Рассмотрим множество “ t _ | P u. Очевидно, что для любых 1, 2 из элемент 1 _ 2 так же входит в . Кроме того 1 R , т. к. иначе найдется P такой, что 1 “ _ . Но тогда

“ ^1 “ ^p _ q “ p ^ q_p ^ q “ 0 _p ^ q “ ^ ,

30