то есть ď , а т. к. P , то и P в противоречии с выбором элемента .

Таким образом, действительно, 1 R . Пусть теперь

1 “ t P B | для некоторого из имеет место ď u .

Очевидно, что Ď 1 и P 1. Непосредственно замечается, что 1 собственный идеал булевой алгебры B, строго включающий в себя идеал ,

в противоречии с выбором как максимального идеала.

Итак, действительно, для любого максимального идеала булевой алгебры B и любого ее элемента имеет место ровно одно из включе-

ний P или P .

Покажем обратное. Пусть идеал булевой алгебры B и для любого из B либо P , либо P . Допустим, что идеал не является максимальным. Тогда существует собственный идеал 1, включающий в себя идеал и отличный от . Пусть P 1z , но тогда P и, значит, 1 “ _ P , что противоречит собственности идеала . Лемма

доказана.

Двойственным образом доказывается, что любой фильтр произвольной булевой алгебры содержится в некотором максимальном ее фильтре. Максимальные собственные фильтры булевых алгебр называются

так же ультрафильтрами.

Непосредственно замечается, что главный идеал булевой алгебры B максимален тогда и только тогда, когда элемент является коатомом в B и главный фильтр алгебры B является ультрафильтром тогда и только тогда, когда элемент атом в B.

Фиксируем теперь некоторый идеал булевой алгебры

B “ x ; ^, _, , 0, 1y и на основном множестве этой алгебры введем двухместное отношение „ следующим образом: истинность отношения „ (для , P ) означает включение элемента ‘ “ p ^ q_p ^ q в (или, что то же самое, с учетом того, что идеал, включения , в ).

Очевидным образом отношение „ рефлексивно (0 P ) и симмет-

31

рично. Для доказательства его транзитивности достаточно заметить,

что если P и P , то и P . Действительно, если

^ P и ^ P , т. к.

“‰

^ “ p ^ q _ p ^ q ^ “ p ^ ^ q _ p ^ ^ q ď

ďp ^ q _ p ^ q P ,

то и ^ входит в , то есть если „ и „ , то и „ и, значит, отношение „ является отношением эквивалентности на множестве . Точно так же непосредственно проверяется, что отношения „ 1,

„ 1 для элементов , 1, , 1 из влекут отношения ^ „1 ^ 1, _ „ 1 _ 1 и „ 1. То есть отношение „ является конгруэнцией булевой алгебры B.

Заметим, что для “ t0u отношение „ есть отношение равенства

∆B на , а для “ отношение „ есть отношение коллапса B

на .

Для любого идеала булевой алгебры B класс „ -эквивалентности

0{„ совпадает с .

Напомним, что подмножество чума x ; ďy называется выпуклым, если для любых , , из неравенства ă ă и включения , P влекут включение P . Для любого идеала и любого элемента булевой алгебры B “ x ; ^, _, , 0, 1y класс {„ - эквивалентности является выпуклым подмножеством чума x ; ďy.

Непосредственно проверяется, что для любой конгруэнции булевой алгебры B класс -эквивалентности 0{ является идеалом для B и, при этом, отношения и „0{ совпадают. Действительно, пусть , - эквивалентные элементы алгебры B ( ). Тогда ^ 0, ^ 0

и, значит, ‘ 0, т. е. „0{ . Верно и обратное, если „0{ , т. е.

^ P 0{ , то “ p ^ q _ p ^ q 0 _ p ^ q “ ^ . Точно так же имеет место и ^ , а, значит, .

Таким образом любые конгруэнции для булевой алгебры B имеют вид „ для какого-либо ее идеала и, при этом, для любых конгруэн-

32

ций и 1 на B равенство “ 1 равносильно совпадению идеалов 0{ и 0{ 1.

Непосредственно замечается так же, что в решетке Con B буле-

вой алгебры B для любых ее идеалов 1 и 2 имеют место равенства

„ 1 ^ „ 2 “ „ 1X 2 и „ 1 _ „ 2 “ „ 1_ 2 , здесь

1 _ 2 “ t 1 _ 2 | 1 P 1, 2 P 2u.

2.2.3 МНОГООБРАЗИЕ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР. В силу того,

что класс булевых алгебр (включая в него одноэлементную алгебру соответствующей сигнатуры) является эквациональным (аксиоматизируемым некоторым набором тождеств), то он является многообразием и, в частности, замкнут относительно перехода к подалгебрам, гомоморфным образам и прямым произведениям.

При этом многообразие M булевых алгебр является арифметическим. Непосредственно проверяется, что роль терма Пиксли p , , q

для M (терма, удовлетворяющего тождествам p , , q “ p , , q “

личная от алгебры 2 “ xt0, 1u; ^, _, , 0, 1y, и произвольный элемент из Bzt0, 1u. Выше уже замечалось, что алгебра B изоморфна (посредством биекции ) прямому произведению Bæď ˆ Bæě , где для P B

p q “ x ^ , ^ y. Таким образом, алгебра 2 является единственной подпрямо неразложимой (более того даже простой) булевой алгеб-

` ˘

рой и M “ M 2 .

Отметим так же, что булева алгебра 2 является дискриминаторной.

Действительно, непосредственная проверка подтверждает, что терм Пикс-

минаторную функцию. Тем самым, так как дискриминаторная алгебра 2 очевидным образом является плоской, жесткой и простой, то она является примальной, т. е. любая функция на множестве t0, 1u определяется некоторым термом булевой алгебры 2. Заметим, что последнее непосредственно доказывается в стандартном курсе дискретной мате-

33

матики при изучении нормальных форм булевых функций.

2.2.4СВОБОДНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. Подмножество

основного множества булевой алгебры B “ x ; ^, _, , 0, 1y называется независимым, если для любых дизъюнктных конечных его подмножеств t 1, . . . , u, t 1, . . . , u справедливо неравенство 1 ^ . . . ^ ^1 ^ . . . ^ ‰ 0.

Имеет место

ТЕОРЕМА 2.2.1. Булева алгебра B “ x yB, порожденная некоторым множеством является свободной над в многообразии M

тогда и только тогда, когда независимо в B.

Доказательство. Пусть B “ x yB, пусть B свободна над в много-

образии M и предположим, что не является независимым. Пусть t 1, . . . , u Ď , t 1, . . . , u Ď , t 1, . . . , u X t 1, . . . , u “ и

1 ^ . . . ^ ^ 1 ^ . . . ^ “ 0. Пусть любое отображение множества в булеву алгебру 2 такое, что p q “ 1 (для 1 ď ď ) и

p q “ 0 (для 1 ď ď ). Очевидно, что подобное не может быть продолжено ни до какого гомоморфизма булевой алгебры B в алгебру 2, т. к. p 1q ^ . . . ^ p q ^ p 1q ^ . . . ^ p q “ 1 ‰ 0. То есть любое множество, порождающее свободную над ним булеву алгебру, обязано быть независимым.

Покажем теперь обратное. Пусть некоторое независимое подмножество булевой алгебры B “ x ; ^, _, , 0, 1y “ x yB и пусть некоторое отображение множества в какую-либо булеву алгебру C. Покажем, существование продолжения отображения , являющееся гомоморфизмом алгебры B в алгебру C. Равенство B “ x yB означает, что для любого P существуют некоторый терм p 1, . . . , q сигнатуры булевой алгебры и элементы 1, . . . , P такие, что “ p 1, . . . , q, а так как любой гомоморфизм (в частности, искомый ) сохраняет

34

мы получаем гомоморфизм алгебры B в алгебру C при условии возможности корректного определения подобного . Таким образом, для существования гомоморфизма достаточно заметить, что если для некоторых термов 1p 1, . . . , q, 2p 1, . . . , q сигнатуры булевых алгебр имеет место равенство 1p 1, . . . , q “ 2p 1, . . . , q для некоторых 1, . . . , , 1, . . . , из , то имеет место и равенство

` ˘ ` ˘

1 p 1q, . . . , p q “ 2 p 1q, . . . , p q . Пусть

сводится к равенствам 1 1 ^. . .^ “ 0B, которые невозможны в силу независимости элементов из и утверждение теоремы 2.2.1 доказано.

§2.3 Представления булевых алгебр

В§ 2.1 в качестве основного и, в каком-то смысле, принципиального примера булевых алгебр отмечен булеан x p q; X, Y, , , y произвольного множества — совокупность всех подмножеств множества

с операциями теоретико-множественного пересечения, объединения и дополнения подмножеств множества в множестве . Обоснованию подобного утверждения (доказательству так называемой теоремы Стоуна) и посвящено начало этого параграфа.

2.3.1 ТЕОРЕМА СТОУНА. Через St B обозначим совокупность всех ультрафильтров произвольной булевой алгебры B.

ТЕОРЕМА СТОУНА. Для любой булевой алгебры B существует

35

для любого элемента булевой алгебры B, отличного от 0, p q ‰ . Действительно, в силу леммы Цорна, главный фильтр , порожденный элементом , содержится в некотором ультрафильтре и, значит,

P p q. С другой стороны, в силу определения ультрафильтров, имеют место равенства p0q “ и p1q “ St B.

Пусть 1, 2 P B. Покажем, что p 1 _ 2q “ p 1qY p 2q, p 1 ^ 2q “p 1qX p 2q, p q “ St Bz p q. Действительно, если P p 1q, то 1 P, но 1 ď 1 _ 2 и, значит, 1 _ 2 P , т. е. p 1q Ď p 1 _ 2q. Точно так же имеет место включение p 2q Ď p 1 _ 2q. Включение p 1qY p 2q Ď

p 1 _ 2q доказано. Пусть теперь P p 1 _ 2q и R p 1qY p 2q, тогда1_ 2 P и 1 R , 2 R . Так как ультрафильтр, то 1 P , 2 P и, значит, p 1 _ 2q “ 1 ^ 2 P . Но одновременные включения1 _ 2 P и p 1 _ 2q P невозможны. Тем самым p 1 _ 2q Ďp 1q Y p 2q и первое равенство p 1 _ 2q “ p 1q Y p 2q доказано. Доказательство равенств p 1 ^ 2q “ p 1qX p 2q и p q “ St Bz p q

проводится аналогично.

Для доказательства теоремы остается доказать, что если 1 ‰ 2, то p 1q ‰ p 2q. Действительно, если 1 ‰ 2, то либо 1 ^ 2 ‰ 0, либо 1 ^ 2 ‰ 0. Допустим первое (второй случай рассматривается аналогично). Тогда главный фильтр 1^ 2 содержится в некотором

воречии с тем что ультрафильтр собственный. Итак, действительно является изоморфным вложением булевой алгебры B в булеан

@ ` ˘ D

St B ; X, Y, , , St B . Теорема доказана.

Основной смысл утверждения теоремы Стоуна сводится к тому, что работая с произвольной булевой алгеброй, мы можем считать элементы

36

этой алгебры подмножествами некоторого фиксированного множества, а операции сигнатуры “ x^, _, , 0, 1y теоретико-множественными операциями пересечения, объединения и дополнения соответственно.

Другое доказательство теоремы Стоуна следует из приведенной в главе 1 теоремы Биркгофа о представимости любой универсальной алгебры подпрямым произведением подпрямо неразложимых алгебр и замеченного в пункте 2.2.3 утверждения о том, что единственной подпрямо неразложимой алгеброй многообразия M булевых алгебр является двухэлементная алгебра 2 “ xt0, 1u; ^, _, , 0, 1y. Действительно, считая (при отождествлении изоморфных алгебр) булеву алгебру

B “ x ; ^, _, , 0, 1y подпрямым произведением подпрямо неразло-

ś

жимых алгебр B “ 2 (B Ď P B ) и, сопоставив элементу P

подмножество p q множества так, что p q “ t P | p q “ 1u, получаем вложение алгебры B в булеан x p q; X, Y, , , y. Непосредственно, без труда, проверяется, что будет изоморфным вложением алгебры B в этот булеан.

Единственным, но существенным, недостатком теоремы Стоуна при представлении с помощью изоморфизма булевой алгебры B подалгеброй некоторого булеана x p q; X, Y, , , y является отсутствия четкого критерия о том, какие подмножества множества входят в изоморфный образ алгебры B, а какие нет.

Более определенным образом на этот вопрос отвечает возможность представления счетных булевых алгебр как интервальных, рассмотренная в следующем пункте.

Более полную версию теоремы Стоуна как двойственность категории булевых алгебр и категории проконечных топологических пространств см., к примеру, в [21].

2.3.2 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ. Частично упорядоченное множество x ; ďy называется линейным (лум), если для любых , P имеет место либо ď , либо ď . Для любых ă из множества x ; ďy через r , q обозначим соответствующий полуоткрытый интервал t P | ď ă u. Будем считать, что

37

лум x ; ďy имеет наименьший элемент, обозначаемый далее как ´8, и пусть ˚ “ Y t8u, для некоторого элемента 8, не входящего в . Считаем ˚ линейно упорядоченным отношением, являющимся продолжением порядка ď на лум x ˚; ďy, и таким, что 8 — наибольший элемент в x ˚; ďy.

В булеане x p q; X, Y, , , y рассмотрим булеву подалгебру B , порожденную полуоткрытыми интервалами вида r , q, где ď в x ˚; ďy. Булевы алгебры подобного вида называются интервальными.

Множество элементов булевой алгебры B называется линейным порождающим алгебру B, если x yB “ B, линейно упорядоченно

для любых ă из .

С другой стороны, если некоторое линейно упорядоченное порядком из булевой алгебры B множество x ; ďy, включающее в себя 0, есть линейно порождающее эту алгебру множество, то без труда замечается,

, P Yt0, 1u и ă . Достаточно непосредственно проверить, что совокупность элементов подобного вида замкнута в булевой алгебре B

относительно операций ^, _ и . Тем самым, в силу замеченного выше о представимости элементов булевой алгебры B , получаем совпадение алгебр B и B при отождествлении элемента с интервалом r0, q в лум x ˚; ďy.

То есть интервальные булевы алгебры суть булевы алгебры с линейными порождающими.

Докажем теперь следующее утверждение о представимости счетных булевых алгебр интервальными.

38

ТЕОРЕМА 2.3.1. Для любой счетной булевой алгебры

B “ x ; ^, _, , 0, 1y существует линейно порождающее ее множество Ď .

Доказательство. Пусть “ t 0, 1, . . . , , . . .u. Индукцией по натуральным индексам построим возрастающую цепочку конечных линейно упорядоченных порядком булевой алгебры B подмножеств Ď

( P ) ее основного множества .

Положим 0 “ t0, 1u и пусть уже построено множество “ t0 “0 ă 1 ă . . . ă ă `1 “ 1u. Для 0 ď ď рассмотрим элементы

`1 “ _p `1 ^ q. Тогда 0 ă 1 ă 1 ď 2 ď 2 ď . . . ď ď `1 ď

`1. Положим `1 “ Y t | 1 ď ď ` 1u. При этом линейно

Ž

упорядоченно в алгебре B и “ p `1 q. Положим “ Y P

“0

и тогда для любого P x yB и линейно упорядоченно в B. То есть булева алгебра B линейно порождается множеством Ď .

Наконец заметим, что интервальная булева алгебра B безатомна тогда и только тогда, когда плотный линейный порядок (для любых

ă из существует такой, что ă ă ). Элемент покрывает

элемент в лум x ; ďy тогда и только тогда, когда для любого P

неравенства ď ď влекут одно из равенств или “ или “ . Интервальная булева алгебра B является атомной тогда и только

тогда, когда для любого элемента из в x ; ďy существует покрывающий его элемент.

39