Доказательство. Допустим противное, пусть psq P X . Тогда

функции по аргументам из , отличным от 1, . . . , функция такая,

функция от всех аргументов из , не вошедших в t 1, . . . , u такая,

функций ` как минимум две не константные, а одна из них зависит от не менее чем двух существенных аргументов, что противоречит неразделимости функции .

Таким образом случай 2 не возможен и теорема доказана.

51

Терм от кортежа переменных s называется бесповторным, если каждая переменная из s входит в него не более одного раза.

Любую разделимую функцию можно представить как суперпозицию двух функций с непересекающимися множествами аргументов (осуществить ее разделительную декомпозицию). Итерируем эту процедуру до тех пор пока все функции участвующие в разложении станут неразложимыми. В результате получаем, что любую функцию можно представить бесповторным термом над множеством неразделимых функций. Заметим далее, что такое представление в некотором смысле единственно (см. теорему 3.2.3).

Два терма и какой-либо сигнатуры называются близкими

( » ), если существует последовательность термов этой сигнатуры1, . . . , такая, что 1 “ , “ и для любого ă `1 получается из с помощью одного из следующих тождеств близости:

1)p 1, . . . , , . . . , q » p 1, . . . , , . . . , q для любых функций , таких, что p 1, . . . , , . . . , q « p 1, . . . , , . . . , q;

2)p 1, . . . , q » p 1, . . . , q для любых функций , таких, что p 1, . . . , q « p 1, . . . , q;

3)p 1, . . . , q » p 1 , . . . , q, где 1, . . . , некоторая перестановка чисел 1, . . . , и для некоторых функций , таких, что

p 1, . . . , q « p 1 , . . . , q;

Имеет место

ТЕОРЕМА 3.2.3. Термальные функции для бесповторных термов над множеством неразделимых функций эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие термы являются близкими.

52

Так как тождества 1)—5) сохраняют эквивалентность функций, то, действительно, термальные функции для близких термов над множеством неконстантных неразделимых функций определяют эквивалентные друг другу функции.

Доказательство утверждения теоремы в другую сторону проводится индукцией по числу переменных терма и мы опустим его, отсылая интересующихся к монографии [11].

Напомним, что ранг булевой функции это число ее существенных аргументов.

Покажем, наконец, что для любой булевой функции существуют разложения, внешней функцией которых может быть любая наперед заданная существенная функция с достаточно большим числом аргументов.

ТЕОРЕМА 3.2.4. Для любой существенной функции ранга и

любого натурального такого, что 2 “ ď существуют функции

1, . . . , такие, что для любой булевой функции ранга при ě

и любого разбиения множества ее аргументов s на s и s, где | | “

имеет место:

где t 1, . . . , u “ t0, 1u .

Доказательство. Так как существенная функция, то для любого

53

(*), а вместе с ней и утверждение теоремы доказаны.

§ 3.3 Клоны булевых функций

Функциональным клоном над произвольным множеством называется любая совокупность функций на множестве , замкнутая относительно суперпозиций и включающая в себя все так называемые селекторные функции p 1, . . . , q “ . Функциональные клоны над множеством называются булевыми клонами.

3.3.1 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ КЛОНОВ. В дальнейшем для упрощения ситуации будем считать множества, над которыми мы будем рассматривать клоны, конечными. Через обозначим совокупность всех функций на множестве , а через — всех -местных функций на . Через — совокупность всех селекторных функций на множестве . Очевидным образом и и являются функциональными клонами над , при этом ( ) является наибольшим (наименьшим) относительно теоретико множественного включения клоном над .

Для любой универсальной алгебры A “ x ; y совокупность ее термальных функций является клоном над ее основным множеством , а, с другой стороны, любой функциональный клон над совпадает с множеством всех термальных функций некоторой универсальной алгебры с основным множеством (достаточно, к примеру, в качестве сигнатурных функций этой алгебры выбрать все функции из ).

Очевидным образом пересечение любой совокупности клонов над

54

и само является клоном над множеством . Таким образом, как это отмечено в главе 1, частично упорядоченная отношением теоретико-мно- жественного включения совокупность всех функциональных клонов над множеством образует полную решетку “ x ; ^, _y. При этом операция ^ на совпадает с операцией теоретико-мно- жественного пересечения клонов. Кроме того для любой совокупности функций на множестве существует наименьший клон x y (клон порожденный совокупностью функций ), включающий в себя совокупность функций — пересечение всех клонов содержащих . Операция же _ на решетке устроена следующим образом: для 1, 2 P1 _ 2 “ x 1 Y 2y. В случае, когда наименьшее по отношению включения Ď множество порождающее клон , то оно называется базисом клона . Таким образом, если базис клона , то для алгебры

A “ x ; y (сигнатурные функции которой суть функции из ) имеет место равенство pAq “ . Клон порожденный конечным множеством называется конечно порожденным.

Помимо задания функциональных клонов через указания порождающих их множеств (или их базисов), другой метод задания клонов связан с, так называемым, Галуа-соответствием между функциональными клонами и клонами отношений.

Через обозначим совокупность всех отношений на множестве , а через — всех -местных подобных отношений. Для -местной функции p 1, . . . , q P и -местного отношения p 1, . . . , q P

будем говорить, что сохраняет отношение (или, что стабильно относительно функции ), если для любой матрицы

¨˛

состоящей из элементов множества такой, что все ее столбцы связаны отношением (то есть p 1 , . . . , q для 1 ď ď ), имеет

` ˘

место и отношение p 11, . . . , 1 q, . . . , p 1, . . . , q . Для любых

55

совокупностей Φ Ď и Ď введем следующие обозначения:

Pol “ t P | сохраняет каждое отношение из u;

Pol Φ “ t P | сохраняет отношения для каждой из Φu,

здесь “ tx 1, . . . , , p 1, . . . , qy | x 1, . . . , y P u; и, наконец,

Inv Φ “ t P | стабильно относительно каждой из Φu.

Введенные операторы Pol и Inv определяют Галуа-соответствие

между подмножествами множества и подмножествами множества . Для любых Φ Ď Pol Inv Φ и Ď Inv Pol Имеют место очевидные,

непосредственно доказуемые соотношения:

˜¸

Имеет место (доказательство этой теоремы см., к примеру, в [14]).

ТЕОРЕМА 3.3.1. Для любой совокупности Φ функций на множестве следующие условия равносильны:

1)Φ является функциональным клоном на (т. е. xΦy “ Φ);

2)Φ “ Pol Inv Φ;

3)существует Ď такое, что “ Pol .

Таким образом, любой функциональный клон над множеством может быть определен как совокупность функций на , сохраняющих некоторые отношения на этом множестве.

56

Через Eq обозначим совокупность всех отношений эквивалентности на множестве . Для P Eqt1, . . . , u, где P , через ∆ обозначим отношение tx 1, . . . , y P | x , y P Ñ “ u на множестве .

На совокупности всех отношений на множестве определим операции , , и ˝ следующим образом: для 1 P и 2 P

положим:

p 1q “ tx 2, 3, . . . , , 1y | x 1, . . . , y P 1u,

p 1q “ tx 2, 1, 3, . . . , y | x 1, . . . , y P 1u,

p 1q “ tx 1, 2, . . . , ´1y | x 1, . . . , y P 1u,

1 ˝ 2 “ tx 1, 2, . . . , ` ´2y | D P x 1, 2, . . . , ´1, y P 1

и x , , `1, . . . , ` ´2y P 2u.

Через Rel обозначим алгебру

x ; , , , ˝, ∆ | P , P Eqt1, . . . , uy

(полную алгебру отношений на множестве ∆), сигнатуры, состоящей из одноместных функций , , , двухместной ˝ и констант ∆ .

Имеет место (доказательство см., к примеру, в [22])

ТЕОРЕМА 3.3.2. Для любого конечного множества , любых совокупностей Φ Ď и Ď :

1)Inv Φ является подалгеброй алгебры Rel ;

2)подалгебра алгебры Rel , порожденная совокупностью , совпадает с Inv Pol ;

3)пусть P , тогда P Inv Pol в том и только том случае, когда для некоторой D-примитивной формулы p 1, . . . , q сиг-

57

натуры имеет место: для любых 1, . . . , P

p 1, . . . , q Ø x ; y |ù p 1, . . . , q.

При этом формула логики первого порядка сигнатуры называется D-примитивной, если получается из предикатов сигнатуры с

помощью конъюнкций и навешивания квантора D.

3.3.2 ТЕОРЕМА ПОСТА О ПОЛНОТЕ И ЕЕ НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ СЛЕДСТВИЯ. Совокупность функций из некоторого клона называется полной в клоне , если она порождает этот клон, если x y “ , т. е. если любую функцию из можно представить как суперпозицию функций из и селекторных функций . Или иначе, если совокупность термальных функций алгебры A “ xt0, 1u; y

(сигнатура которой состоит из функций совокупности ) является клоном . Совокупность булевых функций называется полной, если она является полной в клоне всех булевых функций. Таким образом, совокупность булевых функций полна тогда и только тогда, когда алгебра A “ xt0, 1u; y примальна. В силу критерия примальности алгебр (см. теорему 1.2) для этого достаточно показать жесткость, плоскостность, простоту алгебры A и то, что функция Пиксли p , , q

(такая, что p , , q “ p , , q “ p , , q “ ) является термальной для A.

Отметим еще раз полноту сигнатурных функций булевой алгебры 2 “ xt0, 1u; ^, _, , 0, 1y, указав на ее примальность: ее простота очевидна как простота любой двухэлементной алгебры, жесткость и плоскостность вытекает из наличия констант 0, 1 и функция Пиксли определяется на ней термом ‘ ‘ ^ ‘ ^ ‘ ^ , где ‘

“ p ^ q _ p ^ q. С другой стороны полнота совокупности функций x^, _, , 0, 1y вытекает из существования для любой булевой функции отличной от 0 (отличной от 1) ее совершенной дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формы. В то же время тождества

_ “ p ^ q и ^ “ p _ q влекут то, что совокупность

58

t^, _, , 0, 1u не является базисом клона 2 всех булевых функций. Без труда замечается что таковыми (базисами для 2) являются, в частности, совокупности t^, u и t_, u.

Однако же более удобным (чем доказательство примальности соответствующей алгебры) для установления факта полноты некоторой совокупности булевых функций и более перспективным для исследования строения верхней части решетки булевых клонов является утверждение так называемой теоремы Поста о полноте.

Булева функция p 1, . . . , q называется сохраняющей 0 (сохраняющей 1), если p0, . . . , 0q “ 0 ( p1, . . . , 1q “ 1). Очевидно, что класс функций сохраняющих 0 (сохраняющих 1) замкнут относительно суперпозиции и включает в себя все селекторы, то есть является клоном. Обозначим его как 0 (как 1).

Напомним, что двойственной для булевой функции p 1, . . . , q называется функция ˚p 1, . . . , q “ p 1, . . . , q. Функцияp 1, . . . , q называется самодвойственной, если она совпадает со своей двойственной функцией (если ˚p 1, . . . , q “ p 1, . . . , q). Очевидно, что селекторные функции самодвойственны, а, в силу отмеченного в § 3.1 принципа двойственности, самодвойственной является и любая суперпозиция самодвойственных функций. Таким образом, совокупность всех самодвойственных булевых функций образует клон, обозначаемый далее как . Отметим, к примеру, что функция входит в клон , а функции 0, 1, ^ , _ в него не входят.

Заметим также, что если совокупность булевых функций образует клон, то клоном является и совокупность

˚ “ ˚p 1, . . . , q | p 1, . . . , q P (.

При этом 0˚ “ 1, 1˚ “ 0 и ˚ “ .

Булева функция p 1, . . . , q называется монотонной, если для любых кортежей s “ x 1, . . . , y и s “ x 1, . . . , y таких, что ď для 1 ď ď имеет место неравенство psq ď psq. Столь же очевидно, что совокупность всех монотонных функций замкнута относительно

59

суперпозиций и включает в себя все селекторные функции, то есть образует клон, обозначаемый далее как .

Наконец, назовем булеву функцию p 1, . . . , q линейной, если она может быть представлена некоторым линейным многочленом над булевым кольцом xt0, 1u; ‘, ´, ¨, 0, 1y, то есть если существуют P t0, 1u

( “ 0, 1, . . . , ) такие, что p 1, . . . , q “ 0 ‘ 1 ¨ 1 ‘ . . . ‘ ¨ . Напомним известный из стандартного втузовского курса дискрет-

ной математики факт, что любая булева функция представима некоторым многочленом (полиномом Жегалкина) над булевым кольцом (это так же следует из отмеченной в § 3.1 рациональной эквивалентности булевой алгебры и булева кольца и из уже отмеченной выше полноты системы функций t^, _, , 0, 1u на множестве t0, 1u.

Очевидна замкнутость относительно суперпозиции всех линейных функций и вхождение в эту совокупность всех селекторов. Таким образом совокупность эта является клоном, обозначаемым далее как .

Напомним, что рангом функции называется число ее существенных аргументов. Порядком совокупности Φ функций называется максимальный ранг функций входящих в Φ. Порядок клона — это минимальный из порядков совокупностей функций, порождающих этот клон . Непосредственно замечается (так как ранги функций из клона порожденного функциями ранга один так же равны единице), что порядок клона 2 всех булевых функций равен двум.

Отметим теперь ряд особенностей функций из клонов , и .

ЛЕММА 3.3.1. Для любой монотонной функции p 1, . . . , q: а) для любого 1 ď ď имеет место равенство

p 1, . . . , q “ ^ p 1, . . . , ´1, 1, `1, . . . , q _

_ p 1, . . . , ´1, 0, `1, . . . , q; (˚)

б) если отлична от константы, то P x ^ , _ y и, в частности, x ^ , _ , 0, 1y “ ;

60