Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Практикум для лабораторных и практических занятий

и тогда задача минимизации функционала (3.2) при наличии урав- нений связи (3.1) станет эквивалентна задаче об оптимальном быст- родействии для расширенной системы n+1 уравнений (3.1) и (3.3).

Отметим еще, что в принципе максимума оптимальное управление Uj(t) отыскивается сразу в классе кусочно-непрерывных или просто

измеримых функций в отличие от классического вариационного исчисления, где экстремум функций определяется сначала в более узком классе кусочно-гладких функций; это означает, что допуска- ется мгновенное изменение U(t). На первый взгляд это противоре- чит физическому смыслу задачи, ибо реальное управление инерци- онно. Однако за управление U(t) можно взять скорость, причем, для

любого реального объекта можно всегда найти такие управляющие воздействия, которые в пределах разумной точности можно считать безынерционными.

В принципе максимума вводят вспомогательные функции ψi(t) и функцию H (называемую гамильтонианом), причем

n

H = åyi × fi (x1,K, xn ;u1,K, uk ) . (3.4)

i=1

При помощи функции H основная система уравнений (3.1) и уравнения, необходимые для определения вспомогательных функ- ций, записываются в виде

Теперь основное необходимое условие, которому должно удо- влетворять управление U(t), для того чтобы быть оптимальным, можно записать в виде теоремы о максимуме: если Uj(t) – опти- мальное управление, то оно доставляет максимум функции Гамиль- тона (3.4). Кроме того, в конечный момент времени t1 должно вы-

полняться условие

Если анализировать оптимальное управление, то введенная для

характеристики оптимальных процессов функция Н имеет вполне определенный физический смысл. Действительно, уравнения (3.5) и (3.6) можно рассматривать как уравнения Гамильтона консерватив-

81

ной системы, в которой xi соответствует «координатам положения» (степени свободы) и ψi «координатам скорости». В фиктивной си- стеме отрезок времени прохождения пути между двумя положения- ми предполагается минимальным, если энергия Н системы макси- мальна везде вдоль пути. Таким образом, функция Н – есть не что иное, как полная энергия системы, которая должна быть макси- мальна в процессе управления. Для неконсервативных систем, например, электрических, функция Н является мощностью, а функ- ция ψi – импульсами. Отсюда ясен физический смысл оптимального управления: в объект необходимо вводить такое количество энер- гии, чтобы обеспечить экстремум функционала и заданный закон движения. Поскольку энергия вводится с помощью управляющих воздействий, то Н зависит от управления U.

Решим задачу оптимального быстродействия для линейной си- стемы, описываемой дифференциальным уравнением второго по- рядка &x& = u , которое можно записать в виде системы двух уравне- ний первого порядка:

Для этой системы функция H имеет вид

откуда следует y1 = С1 и ψ2 = С2 - С1 × t .

Следовательно, оптимальная по быстродействию система будет

релейной с особым специальным законом переключения реле по

знаку вспомогательной функции ψ2 = С2 - С1 ×t .

Для наглядности изобразим процесс на фазовой плоскости. Ис- ключив из уравнений (3.8) время, получим при U = 1 дифференци-

альное уравнение

82

Это параболы, симметричные относительно оси абсцисс x1. Про-

цесс должен заканчиваться в начале координат

( x1 ≡ 0, x 2 ≡ dxdt = 0 ).

Рис. 3.1. График процесса управления на фазовой плоскости

Нанесем теперь и все остальные параболы с различными значе- ниями С в формулах (3.12) и (3.13) до точек их вливания в изобра- женные ранее две ветви параболы, идущие к началу координат.

Как видим, из произвольной точки M0(x10, x20) процесс идет по некоторой параболе М0Д при управляющем сигнале U= –1 (в дру- гой области было бы U = +1). В точке Д происходит переключение реле на сигнал U = +1, после чего процесс идет по параболе ДО и заканчивается в точке О за конечное время, которое согласно прин-

83

ципу максимума является минимальным из всех возможных для перехода данной системы из состояния M0(x10,x20) в равновесное состояние О(0, 0).

Пример. Используя принцип максимума для объекта, описывае-

мого уравнением k&x& = u , определить алгоритм оптимального управления, который обеспечивает перевод объекта из начального

действие наложено ограничение u ≤ Umax .

Определить число переключений и моменты переключений. По- строить кривые управления U(t), координат x(t) и x&(t) и фазовую

траекторию изменения координат x(t), x&(t) объекта. Исходные данные: x(0) = 6,x&(0) = 2 , x(T) = 0, x& (T) = 0 .

Параметры системы k = 1; Umax = 1.

Решение:

Производим замену переменной:

где K = 1k

n

Составляем функцию Гамильтона вида H = åyifi .

i=1

Для данной задачи: H = y1f1 + y2f2 ,

где f1 = x& 1 = x2 ;f2 = x& 2 = Ku;

Тогда функцию Гамильтона можно записать в виде:

H = y1 × x2 + y2 × KU .

Составляем систему сопряженных уравнений:

84

В соответствии с теоремой о максимуме запишем:

u = signKy2 = ìUmax ,-KC1t + C2K > 0 íî- Umax ,-KC1t + C2K < 0

Таким образом, оптимальное управление U(t) является кусочно- постоянной функцией, принимающей значения ±Umax, и имеет не более двух интервалов постоянства, так как линейная функция (C2K - KC1t) меняет знак не более одного раза.

Для построения кривых x(t) и x&(t) в системе воспользуемся ме- тодом «сшивания» решений.

Рассмотрим I участок, на котором u = −Umax ; а значит k&x& = -U max ;

&x& = - U max . k

Выражаем x(t), x&(t) :

Исходя из начальных условий, можно записать:

Откуда находим коэффициенты С3 и С4 : С3 = 2 и С4 = 6. Тогда уравнения кривых x(t) и x&(t) на I участке примут вид

Для момента переключения t = t1 уравнения примут вид

85

Рассмотрим II участок, на котором u = Umax; а значит k&x& = U max ;

С учетом численных значений

Исходя из начальных условий в момент переключения, можно

записать

Уравнения кривых x(t) и x&(t) на II участке примут вид:

86

Для момента времени t2 = Т, соответствующего приходу системы в конечное состояние x(T) = 0, x& (T) = 0 , уравнения кривых x(t) и

x&(t) примут вид

Из первого уравнения системы выразим t 2 = 2t1 - 2 . Подставим его во второе уравнение системы и получим:

Выражение для координат движения системы на II участке

управления с учётом значений моментов переключения примет вид

87

На основании этих уравнений строим кривые оптимальных управлений в системе (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Графики кривых управления u(t), координат x(t) и x&(t)

Для построения фазовых траекторий исключим из уравнений движения x(t) и x&(t) аргумент времени и получим

Тогда второе уравнение примет вид: x(t) = -0.5(2 - x&(t))2 + 2 ×(2 - x&(t)) + 6 =

= -2 + 2x&(t) - 0.5x&(t)2 + 4 - 2x&(t) + 6 = 8 - 0.5x&(t)2.

Координаты точки в момент переключения t1 = 4,83 найдутся из

уравнений

ìx&(t1 ) = -4,83 + 2 = -2,83; íîx(t1 ) = -11,66 + 9,66 + 6 = 4

88

и будут равны М2(4; –2,83).

на II участке ìïíx&(t) = t - 7,66;

ïx(t) = 0.5t 2 - 7.66t + 29,33;

î

из первого уравнения выразим: t = 7.66 + x& (t) .

Тогда второе уравнение примет вид

x(t) = 0.5(7.66 + x&(t))2 - 7.66(7.66 + x&(t)) + 29.33 =

= 29.34 + 7.66x&(t) + 0,5x&(t)2 - 58,67 - 7.66x&(t) + 29.33 = 0,5x&(t)2.

Координаты точки в момент переключения t2 = Т = 7,66 найдутся

из уравнений

и будут равны М3(0; 0). Фазовые траектории показаны на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Фазовые траектории изменения координат x(t), x&(t) объекта

Вопросы и задания для самостоятельного решения

1. Используя принцип максимума для объекта, описываемого уравнением k&x& = u , определить алгоритм объекта управления, кото-

рый обеспечивает перевод объекта из начального состояния

89

минимальное время Т. На управляющее воздействие наложено ограничение u ≤ Umax . Определить число переключений и моменты

переключений. Построить кривые управления U(t), координат x(t) и

90