Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Практикум для лабораторных и практических занятий

Производную по u от фигурной скобки приравниваем к нулю и находим оптимальное управление u* (t) в функции от ∂s / ∂x 2

Решение уравнения Беллмана (13) будем искать в виде квадра-

Вычислив производные и подставив их в уравнение Беллмана, путем приравнивая к нулю всех коэффициентов при фазовых коор- динатах, получим систему уравнений для определения коэффици- ентов k11, k12 и k22:

21

Структурная схема оптимальной системы управления представ- лена на рисунке 1а, схема моделирования, составленная с использо- ванием пакета MATLAB, – на рис. 1б.

УУ

а)

∞

б I = ò(х12 + qх22 + ru2 )dt → min

0

Рис. 1. Структурная схема оптимальнойсистемы управления

22

Перечень используемого оборудования

Перечень используемого оборудования приведен в лаб.работе №1.

Указания по технике безопасности

Указания по технике безопасности приведены в лаб.работе №1.

Указания по порядку выполнения работы

Исследовать оптимальную систему управления, структурная схема которой представлена на рисунке 1. Объект управления опи-

сывается системой в нормальной форме

x1/ = x 2 ; x 2/ = u,

Постоянные r и q являются коэффициентами квадратичной фор-

мы в интегральном критерии

∞

I = ò(x12 + qx 22 + ru 2 )dt.

0

Их численные значения приведены в таблице 1. Номер варианта задается устно преподавателем.

Исследование проводится в следующей последовательности:

1.Рассчитать для заданного варианта коэффициенты k1 и k2 (этот пункт выполняется при подготовке).

2.Собрать структурную схему системы управления (рис. 1) с использованием пакета MATLAB.

3.Установить начальные условия х(0) = x1(0) = 1 и х/(0) = x1/(0) =

x2(0) = 0.

4.Определить перерегулирование и время регулирования при каждой паре постоянных q и r.

5.Найти среди исследованных значений коэффициентов k1 и k2

такие значения k1* и k *2 , при которых время регулирования полу- чается минимальным, а перерегулирование – максимальным.

Содержание отчета

Отчет о выполнении лабораторной работы должен содержать:

1. Исходные данные, расчетные формулы, структурную схему системы управления и схему моделирования.

23

2.Решение задачи синтеза оптимальной системы управления методом динамического программирования.

3.Таблицы со значениями k1 и k2, соответствующими заданному варианту постоянных r и q.

4.Графики переходных процессов, полученные при каждой па- ре постоянных r и q.

5.Выводы о зависимости прямых показателей качества tp, σ и

характера переходных процессов от коэффициентов квадратичного

критерия.

Контрольные вопросы

1.Что такое оптимальная автоматическая система управления?

2.Что такое ограничение, краевые условия и критерий опти- мальности?

3.Как ставится задача синтеза оптимальной автоматической си- стемы управления?

4.Как формулируется принцип оптимальности?

5.Как записывается уравнение Беллмана и что оно выражает?

6.Как определяется оптимальный алгоритм управления линейным объектом с интегральным квадратичным критерием оптимальности?

Литература

1.Ким Д. П. Сборник задач по теории автоматического управ- ления: Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные си- стемы: учебное пособие. М.: Физматлит, 2008. 328 с.

2.Аттетков А. В., Галкин С. В., Зарубин В. С. Методы оптими- зации: учебник для вузов. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 440 с.

3.Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математи- ческая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 574 с.

4.Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник для вузов / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 488 с.

5.Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем автома- тического управления: учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1981. 331 с.

6.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.

7.Пантелеев А. В., Бортаковский А. С., Летова Т. А. Оптималь- ное управление в примерах и задачах: учеб. пособие. М.: Изд-во МАИ, 1996. 212 с.

24

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1

Значение постоянных r и q интегрального квадратичного критерия

25

3. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ПД-РЕГУЛЯТОРА

Цели: получить оптимальный закон управления методом дина- мического программирования; исследовать качество процесса регу- лирования в системе с оптимальным ПД-регулятором.

Формируемые компетенции (или их части)

-ОК-1 – способность совершенствовать и развивать свой интел- лектуальный уровень;

-ОК-8 – способность самостоятельно приобретать с помощью информационных технологий и использовать в практической дея- тельности новые знания и умения;

-ПК-21 – способность выбирать оптимальные решения;

-ПК-39 – способность проводить математическое моделирова- ние систем автоматизации с использованием современных техноло- гий проведения научных исследований.

Теоретическая часть

Сущность теории аналитического конструирования регуляторов состоит в том, что закон изменения управляемой координаты и управляющего воздействия задается аналитически в виде некоторо- го функционала J(X,U), который нужно минимизировать подбором управляющего воздействия. Зная алгоритм управления U(t) или U(X), конструируют регулятор.

Особое значение при аналитическом конструировании регулято- ров принимает выбор критериев оптимальности. Общих критериев оптимальности для любых объектов управления быть не может. Каждый объект управления имеет свои критерии качества. Крите-

рий качества должен полностью соответствовать наилучшей работе объекта и в то же время быть достаточно простым для того, чтобы

вариационная задача не оказалась слишком сложной или вообще аналитически неразрешимой.

В качестве критериев оптимальности можно выбрать минимум квадратичной ошибки

26

или минимум абсолютной ошибки

Однако оценки (1) и (2) не учитывают того, что в системах имеет место ограничение мощности управляющего сигнала, а также его насыщение при определенных значениях ошибки. Эти ограничения можно задать в интегральном виде:

Таким образом, ставится задача обеспечения минимума (1) или

(2) при заданных интегральных ограничениях (3).

Как известно, минимизация критериев J1 и J2 при условии (3) от-

носится к решению задачи на условный экстремум вариационного исчисления. Поэтому функционалы (1) и (2) при наличии ограниче- ний на управление и на координаты приводится к одному функцио- налу. Например,

где сi – множители Лагранжа.

27

Ограничение управляющего сигнала приводит к ограничению всех координат объекта. Поэтому системы, синтезированные по этим оценкам, обеспечивают плавные процессы с небольшим пере- регулированием.

Применение квадратичных оценок дает в результате расчетов линейный закон управления

называются линейными оптимальными системами, а определение закона управления, доставляющего минимум J(U), – аналитическим конструированием регулятора.

Аналитическое решение задачи синтеза оптимальных систем выполняют методами теории оптимального управления. В данной работе произведем аналитическое конструирование регулятора ме- тодом динамического программирования.

Пусть объект управления представлен нормальной системой уравнений:

28

Чтобы определить закон управления u как функцию координат хi, нужно найти функцию S. Подставим в первое уравнение системы (12) выражение для u из (13):

Получим нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных.

Для линейных объектов управления и квадратичных критериев оптимальности функция S представляет собой положительно опре-

деленную квадратичную форму вида

Для определения коэффициентов этой формы составим следую-

при соответствующих степенях x1 и x2, составим систему алгебраи- ческих уравнений для определения А11, А12 и А22:

29

Из возможных решений А11, А12 и А22 выбираем только положи- тельные значения, так как для получения устойчивого решения функция S должна быть положительно определенной. Зная А11, А12 и А22, определяем закон управления:

В отличие от классического вариационного исчисления и прин- ципа максимума метод динамического программирования позволя- ет получить решение сразу в замкнутой форме, т. е. в виде u = f (xi), что является его достоинством.

Однако применение этого метода также требует большого объе- ма вычислений, связанных с решением системы алгебраических уравнений для определения коэффициентов Аij квадратичной фор- мы S. В аналитическом виде это не всегда возможно сделать и по- этому приходится применять метод подбора значений Аij. Как видно из (21), оптимальная по минимуму функционала (11) система долж- на реализовывать ПД-закон регулирования.

Структурная схема оптимальной системы управления представ- лена на рис. 1а, схема моделирования, составленная с использова- нием пакета MATLAB, – на рис. 1б.

УУ

а)

30