Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Практикум для лабораторных и практических занятий

5. СИНТЕЗ И АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО ТОЧНОСТИ СИСТЕМ

ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛАХ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ

Цели: изучение метода определения управления, обеспечиваю- щего оптимальную стабилизацию режима работы одномерного объ- екта, из условия минимизации квадратичного функционала при де- терминированных сигналах.

Формируемые компетенции (или их части)

-ОК-1 – способность совершенствовать и развивать свой интел- лектуальный уровень;

-ОК-8 – способность самостоятельно приобретать с помощью информационных технологий и использовать в практической дея- тельности новые знания и умения;

-ПК-21 – способность выбирать оптимальные решения;

-ПК-39 – способность проводить математическое моделирова- ние систем автоматизации с использованием современных техноло- гий проведения научных исследований.

Теоретическая часть

Известны традиционные задачи разработки автоматических си- стем: для заданного объекта управления методами теории автома- тического управления определяют структуру и параметры регуля- тора, обеспечивающего заданные значения точности, перерегулиро- вания, колебательности и времени переходного процесса. Однако синтезированные при этом типовые регуляторы с различными зако- нами регулирования (П-, ПИ- и ПИД-регуляторы) в большинстве случаев не обеспечивают оптимальных режимов работы объекта.

Дальнейшее развитие методов синтеза автоматических систем основано на принципе оптимальности, что позволяет поставить об- щую задачу: найти закон оптимального управления U0(X), обеспе- чивающий наилучшие режимы работы объекта по заданным крите- риям качества. Закон оптимального управления определяется мето- дами теории оптимального управления.

41

Требования к повышению качества автоматических систем в большинстве случаев сводятся к увеличению точности. Оптималь- ные по точности автоматические системы рассматривают при де- терминированных и случайных сигналах.

Оптимальные по точности системы при детерминированных сиг- налах имеют минимальную динамическую (интегральную) ошибку за время переходного процесса. При этом обеспечивается минимальное отклонение координат объекта от заданных значений с учетом огра- ничения сигнала управления. По терминологии акад. Н. Н. Красов-

ского в таких системах обеспечивается оптимальная стабилизация режимов работы. Синтез рассматриваемых систем можно выпол- нять любым методом теории оптимального управления с использо- ванием квадратичных минимизируемых функционалов.

При оптимизации объектов по точности обычно используют: ∙ квадратичные интегральные оценки типа

где ε(t) = y3 – y(t) – отклонение выходной переменной y(t) от задан- ного значения y3, характеризующие качество переходных процессов (первый частный критерий);

∙ функционалы типа

где u(t) и i(t) – напряжение и ток нагрузки источника; r = 1/R – ко- эффициент пропорциональности, причем R – сопротивление элек- трической цепи, характеризующие расход энергии на управление (второй частный критерий), а также накладывают ограничение на

вектор управления u £ Umax .

В зависимости от того, какие из этих частных критериев опти- мальности приняты при оптимизации по точности, могут быть раз- личные задачи:

∙ векторной оптимизации, если использованы квадратичные ин- тегральные оценки и функционалы типа (2);

42

∙ скалярной оптимизации, если использованы квадратичные ин- тегральные оценки и наложено ограничение на координату управ-

ления u £ U max .

Чтобы получить оптимальные детерминированные процессы при наличии измеряемых внешних возмущений, необходимо рассматривать задачу векторной оптимизации по частным критериям типа (1), (2).

Пусть задан объект оптимизации, динамика которого определя- ется дифференциальными уравнениями состояния, и известны начальное и конечное значения векторов состояния:

задан также квадратичный функционал в скалярной или векторной форме:

где Q – диагональная матрица весовых коэффициентов qii > 0, qij = 0 для i ¹ j;

R – диагональная матрица весовых коэффициентов rl > 0. Требуется определить оптимальное управление U0(X), при кото-

ром функционал (5) имеет минимальную величину. Краевые усло- вия в данном случае имеют вид:

X(0) = X0; X (∞) = 0, (6)

где X0 – произвольный заданный вектор.

Функционал (5) является обобщенным скалярным критерием, по- лученным в результате объединения обобщенной квадратичной инте- гральной оценки, используемой в теории автоматического управления для косвенной оценки качества переходных процессов, и критерия ти- па (2), характеризующего расход энергии при управлении.

Весовые коэффициенты qii > 0 и rl > 0 накладывают «штрафы» на величину и длительность отклонения координат в переходном про- цессе. Положительность этих коэффициентов обеспечивает поло- жительную определенность подынтегральной функции, что исклю-

чает возможность больших и длительных отклонений координат состояния и управлений при оптимальном переходном процессе.

43

Составим функциональные уравнения Беллмана:

Исключим из первого уравнения системы (7) параметр управле- ния, используя подстановку:

Вычисляя частные производные от S по параметрам X и t и под- ставляя их в первое уравнение системы (7), получим алгебраическое уравнение Риккати:

Оптимальному алгоритму управления соответствует решение уравнения (10), которое удовлетворяет условию

При выполнении условия (11) в соответствии с критерием Силь-

вестра матрица К вида

будет определенно положительной.

Если система является асимптотически устойчивой и при tk → ∞ неуправляемая составляющая фазового вектора стремится к нулю, то оптимальное управление будет являться только функцией фазо- вых координат:

44

Рассмотрим пример синтеза оптимальной системы, когда объект

x&1 = x2 ,

Краевые условия имеют вид: X (0) = X0, X (∞) = 0; координата управления не ограничена.

Функционал обобщенного скалярного критерия оптимальности имеет вид:

Для данной задачи уравнение состояния в матричной форме бу- дет иметь вид:

45

Коэффициенты k12 и k22 находим из алгебраического уравнения Риккати типа (10):

Перемножив матрицы из уравнения (18), запишем три алгебраи- ческих уравнения:

Так как матрица К должна быть положительно определенной,

принимаем k12=rи k22 = r(q + 2× r) .

При этом закон оптимального управления на основании (17) за-

писывается как

Таким образом, для оптимальной стабилизации режимов объекта в соответствии с (22) необходимо применить отрицательную обрат-

ную связь в виде параллельного соединения безынерционного и дифференцирующего звеньев:

46

Структурная схема оптимальной по точности системы в данном случае представлена на рис. 1а, а схема моделирования, составлен- ная с использованием пакета MATLAB, – на рис. 1б.

Для оптимальной стабилизации режимов работы требуется при- менить ПД-регулятор, при реализации которого необходимо ис- пользовать дифференциатор и усилитель.

р2

r + r(q + 2r ) p

а)

Рис. 1. Структурная схема оптимальной системы управления

47

Перечень используемого оборудования

Перечень используемого оборудования приведен в лаб.работе №1.

Указания по технике безопасности

Указания по технике безопасности приведены в лаб.работе №1.

Указания по порядку выполнения работы

Исследовать оптимальную систему управления, структурная схема которой представлена на рис. 1. Объект управления описыва- ется уравнением (13), а критерий оптимальности имеет вид

∞

I = ò (x12 + qx 22 + ru 2 )dt.

0

Численные значения постоянных r и q приведены в таблице 1. Номер варианта задается устно индивидуально преподавателем.

Исследование проводится в следующей последовательности:

1.Рассчитать для заданного варианта коэффициенты k1 и k2 (этот пункт выполняется при подготовке к лабораторной работе).

2.Собрать структурную схему системы управления с использо- ванием пакета MATLAB (рис. 1б).

3.Установить начальные условия x (0) = 10 и х/ (0) = 0.

4.Определить показатели качества по кривым переходных про- цессов при каждой паре постоянных q и r.

5.Найти среди исследованных значений коэффициентов k1 и k2 оптимальные k10 и k20.

Содержание отчета

Отчет о выполнении лабораторной работы должен содержать:

1.Исходные данные, расчетные формулы и схему моделирования.

2.Таблицы со значениями k1 и k2, соответствующими заданному варианту постоянных r и q.

3.Графики зависимости времени регулирования tp и перерегули- рования σ от постоянных r и q; характерные кривые переходных процессов.

4.Выводы о зависимости прямых показателей качества tp и σ и

характера переходных процессов от коэффициентов квадратичного критерия.

48

Контрольные вопросы

1.В чем особенности задач оптимизации по точности?

2.Сформулируйте основные этапы синтеза оптимального управ- ления в стационарных линейных системах.

3.Запишите алгебраическое уравнение Риккати.

4.Как осуществляется выбор оптимального алгоритма управле- ния, соответствующего решению уравнения Риккати?

5.Какой вид имеет выбранный в данной работе критерий опти- мальности?

Литература

1.Ким Д. П. Сборник задач по теории автоматического управ- ления: Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные си- стемы: учебное пособие. М.: Физматлит, 2008. 328 с.

2.Аттетков А. В., Галкин С. В., Зарубин В. С. Методы оптими- зации: учебник для вузов. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 440 с.

3.Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математи- ческая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 574 с.

4.Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник для вузов / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 488 с.

5.Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем ав- томатического управления: учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1981. 331 с.

6.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.

7.Пантелеев А. В., Бортаковский А. С., Летова Т. А. Оптималь- ное управление в примерах и задачах: учеб. пособие. М.: Изд-во МАИ, 1996. 212 с.

49

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1

Значение постоянных r и q интегрального квадратичного критерия

50