Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Практикум для лабораторных и практических занятий

Однако применение этого метода также требует большого объе- ма вычислений, связанных с решением системы алгебраических уравнений для определения коэффициентов Aij квадратичной фор- мы S. В аналитическом виде это не всегда возможно сделать и по- этому приходится применять метод подбора значений Aij.

Рассмотренное выше решение справедливо только для линейных систем при отсутствии ограничения на управление u £ Umax . Реше-

ние в нелинейной области при наличии ограничения u £ Umax свя-

зано с большими трудностями, так как при этом требуется произво- дить решение дифференциального уравнения в частных производ- ных.

Пример 5. Определить оптимальное управление объектом, за- данным уравнением x&& + x& + x = U из условия минимума функциона-

ла J = tòк[x2 + u2 ]dt с помощью метода динамического программиро-

tн

вания.

Решение

Производим замену переменной: x = x1;

ìx&1 = x 2 ;

íîx& 2 = &x&1 = u - x2 - x1.

Составим функциональное уравнение Беллмана:

Подставим данное значение в уравнение Беллмана и получим

101

Зададим функцию S в виде

S = a11x12 + 2a12 x1x 2 + a 22 x 22 ,

тогда

¶¶xS1 = 2a11x1 + 2a12 x 2 ;

¶¶S = 2a12 x1 + 2a 22 x 2 . x 2

Подставим эти выражения в уравнение Беллмана

x12 − 14 (2a12x1 + 2a22x2 )2 + x2 (2a11x1 + 2a12x2 ) −

− x2 (2a12x1 + 2a22x2 ) − x1(2a12x1 + 2a22x2 ) = 0;

x12 − a122 x12 + 2a12a22x1x2 + a222x22 + 2a11x1x2 + 2a12x22 −

−2a12x1x2 − 2a22x22 − 2a12x12 − 2a22x1x2 = 0.

Врезультате преобразования, получим

x12 (1− a122 − 2a12 ) + x1x2 (2a12a22 + 2a11 − 2a12 − 2a22 ) +

+ x22 (a222 + 2a12 − 2a22) = 0.

На основании этого уравнения составляем систему уравнений

ìï1 - a122 - 2a12 = 0;

í2a12a 22 + 2a11 - 2a12 - 2a 22 = 0; ïîa 222 + 2a12 - 2a 22 = 0.

Решение системы в программе MathCAD имеет вид

102

Следовательно, коэффициенты а11, а12, а22 будут равны

ìa11 = 0.757; ïía12 = 0.414; ïîa 22 = 0.586;

Закон оптимального управления объектом найдем из уравнения:

Подставляя численные значения, получим:

u = -0.414x1 - 0.586x 2

или

u = −0.414x − 0.586x&.

Таким образом, получен пропорционально-дифференциальный закон управления.

Вопросы и задания для самостоятельного решения

1. Определить оптимальное управление объектом, заданным урав- нением ax&&+ bx& + cx = U , из условия минимума функционала

J = tòк[x2 + u2 ]dt с помощью метода динамического программирования.

tн

103

Коэффициенты а и b выбираются по последней цифре шифра за- четной книжки студента (если последняя цифра зачетной книжки «0», то а = 1, b = 1); коэффициент с выбирается по последней цифре

суммы последних трех цифр шифра зачетной книжки студента (например, три последние цифры 765, следовательно, их сумма рав- на 18, значит, в этом случае необходимо взять в качестве коэффи- циента с значение «8»).

2. Решить предыдущую задачу, если функционал имеет вид

J = tòк [x2 + x&2 + u2 ]dt

Литература

1.Ким Д. П. Сборник задач по теории автоматического управ- ления: Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные си- стемы: учебное пособие. М.: Физматлит, 2008. 328 с.

2.Аттетков А. В., Галкин С. В., Зарубин В. С. Методы оптими- зации: учебник для вузов. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 440 с.

3.Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математи- ческая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 574 с.

4.Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник для вузов / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 488 с.

5.Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем ав- томатического управления: учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1981. 331 с.

6.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.

7.Пантелеев А. В., Бортаковский А. С., Летова Т. А. Оптималь- ное управление в примерах и задачах: учеб. пособие. М.: Изд-во МАИ, 1996. 212 с.

104

6.СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ВСТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

СПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ

Цель – изучение методики определения оптимального управле- ния, обеспечивающего оптимальную стабилизацию режима объекта

Знания и умения, приобретаемые студентом

врезультате освоения темы

Врезультате освоения темы студент должен:

знать методику синтеза оптимального управления в стационар- ных линейных системах с помощью уравнения Риккати;

уметь выбирать необходимый математический метод исследо- вания, получать решения в терминах выбранного метода.

Формируемые компетенции (или их части)

-ОК-1 – способность совершенствовать и развивать свой интел- лектуальный уровень;

-ОК-8 – способность самостоятельно приобретать с помощью информационных технологий и использовать в практической дея- тельности новые знания и умения;

-ПК-21 – способность выбирать оптимальные решения.

Актуальность темы

Известно, что существует традиционная схема синтеза систем регулирования, которая получила большое распространение. Одна- ко в настоящее время появляются новые идеи, которые позволяют по-другому подойти к задаче синтеза систем. Эти идеи оформились в теории аналитического конструирования оптимальных регулято- ров. В теме 6 рассмотрены вопросы синтеза оптимального управле- ния в стационарных линейных системах. Приведены примеры оп- тимизации типовых объектов второго порядка из условия миниму- ма квадратичного функционала при детерминированных сигналах.

Теоретическая часть

Уравнение движения системы имеет вид

где A и B – постоянные матрицы.

105

Если это уравнение задано в приращениях, то будет выполняться условие: X(∞) = 0.

Требуется найти закон регулирования для системы с обратной связью, при котором замкнутая система будет асимптотически

устойчива и будет принимать минимум следующий критерий управления:

где Q, R – положительно определенные симметричные постоянные матрицы.

Запишем систему методом динамического программирования

Исключим из первого уравнения системы (6.3) параметр управ- ления, используя подстановку

Функцию Беллмана будем искать в следующем виде

Вычисляя частные производные от S по параметрам X и t, и под- ставляя их в первое уравнение системы Беллмана (6.3), получим

алгебраическое уравнение Риккати

В общем виде это уравнение будет иметь множество решений.

Выбор нужного из них выполняется из условия положительной матрицы K

Если система является асимптотически устойчивой и при t → ∞ неуправляемая составляющая фазового вектора стремится к нулю, то оптимальное управление будет являться только функцией фазо-

вых координат

106

Рассмотрим примеры оптимизации типовых объектов второго порядка из условия минимума квадратичного функционала при де- терминированных сигналах.

Вопросы и задания для самостоятельного решения Пример 1. Определим управление u0 (X) , обеспечивающее оп-

тимальную стабилизацию режимов работы одномерного объекта,

описываемого уравнением

Краевые условия имеют вид X(0) = X0 ; X(¥) = 0 ; координата

управления не ограничена.

Функционал обобщенного скалярного критерия оптимальности имеет вид

где q1 =1; r1 =1.

Для данной задачи в соответствии с уравнениями состояния и функционалом (6.10) имеем

На основании (6.8) записываем линейный закон оптимального управления:

u 0 (X ) = -R −1BT KX ,

или с учетом (6.10)

107

Перемножив матрицы из уравнения (6.13), запишем три алгебра-

ических уравнения

Решим эти уравнения:

Таким образом, для оптимальной стабилизации режимов объекта в соответствии с (6.15) необходимо применить отрицательную об-

ратную связь в виде параллельного соединения безынерционного и

Структурная схема оптимальной по точности системы в данном случае (рис. 6.1) определяется выражениями передаточных функций

(6.9) и (6.16).

Рис. 6.1. Структурная схема оптимальной системы

Для оптимальной стабилизации режимов работы требуется при- менить ПД-регулятор, при реализации которого необходимо исполь- зовать дифференциатор и усилитель. Однако решение задачи еще не закончено: определена только структура регулятора и не определены его оптимальные параметры, поскольку были произвольно приняты значения q1 =1, r1 =1 ; значения q2 пока вообще не задано.

108

В данной (простейшей) задаче целесообразно рассмотреть влия- ние весового коэффициента q2 , определяющего «штраф» по произ-

водной ( x2 = y& ) в функционале (6.10), на процессы в системы. Для

этого запишем передаточную функцию замкнутой системы

W(p) =1/(p2 + q2 + 2p +1) ,

откуда получим характеристическое уравнение

Произведем оценку влияния q2 методом корневого годографа. На основании (6.17) корни (полюсы) оптимальной системы распо-

лагаются в точках

Задаваясь различными значениями 0≤q2 ≤∞, построим корневой годограф (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Корневой годограф

При q2 = 0 корни являются комплексными и располагаются в точках а:

p1¢,2 = -0,52 ± j0,5 × 2 = s1 ± jw1 .

109

При q2 = 1 корни также являются комплексными и располагают- ся в точках b:

являются вещественными кратными и располагаются в точке с на

различными вещественными и располагаются на оси абсцисс в точ- ках d:

p1IV,2 = −0,55 ± 0,5

или в общем виде

p1IV = σ3 ; pIV2 = σ4 .

На рис. 6.3 показаны кривые переходных процессов оптималь- ной системы для различных значений q2 . В результате анализа этих

процессов устанавливаем, что при q2 = 2 процесс является наилуч- шим, как не имеющий перерегулирования. При q2 = −1< 0 процесс

имеет большую колебательность. Это означает, что весовые коэф- фициенты квадратичных функционалов должны быть положитель- ными.

Рис. 6.3. Кривые переходных процессов оптимальной системы для различных значений q2

110