Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Практикум для лабораторных и практических занятий
.pdf
Рис. 1. Структурная схема оптимальной системы управления
ПД-регулятор имеет тот недостаток, что при наличии постоян- ных возмущающих воздействий существует статическая ошибка. Однако за счет введения в закон регулирования составляющей про-
порциональной скорости отклонения регулируемой величины от заданного значения регулятор начинает воздействовать на объект уже тогда, когда нарушение режима функционирования объекта
создало предпосылки для отклонения регулируемого параметра от задания, хотя это отклонение еще не отслежено. Поэтому регулято- ры, обладающие такой способностью, называют регуляторами с предварением. Благодаря применению дополнительного воздей- ствия по производной, время переходного процесса и амплитуда колебаний регулируемой величины существенно уменьшаются.
Перечень используемого оборудования
Перечень используемого оборудования приведен в лаб.работе №1.
Указания по технике безопасности
Указания по технике безопасности приведены в лаб.работе №1.
31
Указания по порядку выполнения работы
Работа выполняется на ПЭВМ каждым студентом самостоятельно.
1.По заданным в таблице 1 лабораторной работы № 1 ординатам кривой разгона объекта управления определить коэффициенты пе- редаточной функции объекта при помощи программы «WINMNK» на ПЭВМ. Номер варианта задания выдается индивидуально препо- давателем.
2.Получить оптимальный закон управления методом динамиче-
ского программирования из условия минимума функционала
tk
J = ò(x 2 + u 2 )dt
tн
для заданного уравнения движения объекта
an x(n) + an−1x(n−1) + ...+ a1x + a0x = bmu(m) +
+bm−1u(m−1) + ...+ b1u + b0u
иинтервала tн < t < tк при наличии ограничений вида х(t) є Gx, u(t) є Gu. Здесь Gx и Gu – заданные допустимые области для координат состояния и управления.
Начальные условия заданы в виде х(0) = 1; х/(0) = 0. Координата управления не ограничена.
3.Построить кривую переходного процесса оптимальной систе- мы с использованием пакета MATLAB.
4.Определить прямые показатели качества по графику кривой переходного процесса.
Содержание отчета
Отчет о выполнении лабораторной работы должен содержать:
1.Исходные данные в виде таблицы значений ординат кривой разгона.
2.Решение задачи аналитического конструирования регулятора методом динамического программирования.
3.Структурную схему оптимальной системы управления и схему моделирования.
4.График кривой переходного процесса.
5.Значения показателей качества процесса регулирования.
6.Анализ полученных результатов.
32
Контрольные вопросы
1.В чем сущность теории аналитического конструирования ре- гулятора?
2.Какие критерии оптимальности применяются при аналитиче- ском конструировании регулятора?
3.Что называют линейной оптимальной системой?
4.Как решается задача аналитического конструирования регуля- тора методом динамического программирования?
5.Какой закон регулирования получен при выполнении лабора- торной работы? В чем его преимущество и недостатки?
Литература
1.Ким Д. П. Сборник задач по теории автоматического управле- ния : Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные си- стемы: учебное пособие. М.: Физматлит, 2008. 328 с.
2.Аттетков А. В., Галкин С. В., Зарубин В. С. Методы оптими- зации: учебник для вузов. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 440 с.
3.Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математи- ческая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 574 с.
4.Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление : учебник для вузов / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 488 с.
5.Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем ав- томатического управления: учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1981. 331 с.
6.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.
7.Пантелеев А. В., Бортаковский А. С., Летова Т. А. Оптималь- ное управление в примерах и задачах: учеб. пособие. М.: Изд-во МАИ, 1996. 212 с.
33
4. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ПИД-РЕГУЛЯТОРА
Цели: определить уравнение регулятора из условия минимиза- ции критерия оптимальности; получить график кривой переходного
процесса в оптимальной системе и рассчитать прямые показатели качества.
Формируемые компетенции (или их части)
-ОК-1 – способность совершенствовать и развивать свой интел- лектуальный уровень;
-ОК-8 – способность самостоятельно приобретать с помощью информационных технологий и использовать в практической дея- тельности новые знания и умения;
-ПК-21 – способность выбирать оптимальные решения;
-ПК-39 – способность проводить математическое моделирова- ние систем автоматизации с использованием современных техноло- гий проведения научных исследований.
Теоретическая часть
Задача определения уравнений регулятора из условий миними-
зации критерия оптимальности называется аналитическим конструированием регулятора. При этом предполагают, что уравне- ние динамики объекта задано. Обычно используют критерии опти- мальности в виде функционалов:
|
|
∞ |
|
|
|
||||||
|
J = ò(ax 2 + cU2 )dt; |
|
|
(1) |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||||||
|
J = ò(a |
x |
+ c |
U |
)dt; |
|
(2) |
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||||||
|
J = ò(ax 2 + c |
U |
)dt; |
|
|
(3) |
|||||
∞ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
+ ... + сm (U(m) )2 |
|
|
êéax 2 |
+ с0 U 2 + с1 (U¢)2 |
úùdt. |
|
||||||||
J = ò |
(4) |
||||||||||
0 |
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
Методика определения закона управления от изменения функци- онала не изменяется.
34
Стабилизация систем относительно положения равновесия с по- мощью законов управления, обеспечивающих минимум (1), называ-
ется оптимальной стабилизацией.
На конкретном примере рассмотрим поэтапно синтез оптималь- ной стабилизирующей системы методом динамического програм- мирования.
Пусть движение объекта управления задано в виде дифференци- ального уравнения второго порядка без запаздывания:
х′′ + 1,5х ′ + 0,5х = u. |
(5) |
|
Критерий оптимальности имеет вид: |
|
|
∞ |
|
|
I = ò(x2 + 0,2x′2 + 0,1u |
2 + 0,07u′2 )dt. |
(6) |
0 |
|
|
Коэффициенты функционала (6) выбраны на базе априорных сведений об исследуемом технологическом процессе. Необходимо найти оптимальный закон управления u = ψ (x).
Представим дифференциальное уравнение в нормальной форме, для чего обозначим x = x1, x1 / = x2, x2 / = x3, x3 = u, тогда
|
¢ |
= x2; |
ü |
|
x1 |
ï |
|
||
x |
¢ |
= x3 -1,5x2 |
ï |
(7) |
2 |
-0,5x1;ý |
|||
x |
¢ |
¢ |
ï |
|
ï |
|
|||
|
3 |
|
þ |
|
С учетом принятых обозначений функционал (6) преобразуется к виду
∞ |
2 + 0,1x3 |
|
|
I = ò (x12 + 0,2x 2 |
2 + 0,07u¢2 )dt. |
(8) |
|
0 |
|
|
|
Закон управления будем искать в виде u / = ψ (х1, х2, х3). Функци- ональное уравнение Беллмана для рассматриваемого примера при-
мет вид
2 |
2 |
2 |
|
|
|
¢2 |
|
|
|
|
|
¶S |
|
|
(x1 |
+ 0,2x2 |
+ 0,1x3 |
+ 0,07u |
) + x2 |
× |
|
+ |
|||||||
¶x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(9) |
+ (x3 -1,5x2 - 0,5x1) × |
¶S |
+ u¢ |
× |
|
¶S |
= 0. |
||||||||
|
|
|||||||||||||
¶x2 |
|
|
¶x3 |
|
|
|||||||||
Дифференцируя (9) по u /, получаем |
|
∂S |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
u′ = −7,14 |
|
. |
|
|
(10) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x3 |
|
|
|
||||
35
Таким образом, для определения оптимального регулятора необ-
¶S
ходимо получить ¶x3 . Для этого подставим (10) в (9) и после пре-
образований получим:
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
æ |
¶S |
ö2 |
|
||
+ 0,2x |
+ |
|
ç |
÷ |
+ |
||||||||
x1 |
2 |
0,1x |
3 |
-3,57ç |
¶x3 |
÷ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
(11) |
|||
|
|
¶S |
|
|
|
|
|
|
|
¶S |
|||
+ x2 |
+ (x3 -1,5x2 -0,5x1) |
= 0. |
|||||||||||
|
¶x2 |
||||||||||||
|
|
¶x1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Квадратичную форму S(xi) для трех переменных х1, х2, х3 можно
записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
S(x |
) = A |
x 2 |
|
+ A |
22 |
x |
2 + A |
33 |
x |
|
2 |
+ |
|
|
|
|||||||||
|
|
i |
11 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
(12) |
|||||
|
|
+ A12x1x2 + A13x1x3 + A23x2x3. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Определим производные |
|
∂S |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
¶S |
= 2A11x1 +A12x2 +A13x3; |
ü |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
ï |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
¶x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|||
|
|
|
|
¶S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2A22x2 +A12x1 |
+A23x3;ý |
(13) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
¶x2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|||||
|
|
|
|
¶S |
= 2A x |
+A x +A |
|
x |
|
. |
ï |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
23 |
2 |
ï |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
¶x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 3 |
|
13 |
1 |
|
|
|
|
|
ï |
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
¶S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
Подставим значения |
|
|
|
|
в уравнение (11). После раскрытия |
||||||||||||||||||||
|
|
|
¶x i |
|
||||||||||||||||||||||
скобок и группировки относительно хi получим: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x2 |
(−3,57A2 |
− 0,5A |
+1) + x2 |
(−3,57A2 |
− 3A |
22 |
+ A |
|
|
+ 0,2) + |
|
|||||||||||||||
1 |
13 |
12 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
+x32(−14,28A332 + A23 + 0,1) + x1x2(−7,14A13A23 −1,5A12 − A22 + 2A11) + (14)
+x1x3(−14,28A13A33 − 0,5A23 + A12) +
+x2x3(−14,28A23A33 −1,5A23 + 2A22 + A13) = 0.
Выражение (14) может быть равно нулю только в том случае, ес- ли его коэффициенты равны нулю, откуда имеем следующую си- стему алгебраических уравнений:
36
ì- 3,57A132 |
- 0,5A12 +1 = 0; |
|
||||
ï |
232 |
|
|
|
|
|
ï- 3,57A |
- 3A |
22 + A12 + 0,2 = 0; |
|
|||
ï |
|
|
+ A |
|
+ 0,1 = 0; |
|
ï-14,28A 2 |
|
23 |
(15) |
|||
í |
33 |
|
|
|||
ï- 7,14A13A23 -1,5A12 - A22 + 2A11 = 0; |
|
|||||
ï |
|
|
|
- 0,5A23 + A12 = 0; |
|
|
ï-14,28A13A33 |
|
|||||
ï |
|
|
|
-1,5A23 + 2A22 + A13 = 0. |
|
|
î-14,28A 23A33 |
|
|||||
Решая эту систему, можно определить искомые переменные А33, А13, А23, а, следовательно, и закон оптимального управления в виде
u′ = −7,14 |
∂S |
= −7,14(2A33x3 + A13 x1 + A23x 2 ). |
(16) |
|
|||
|
∂x3 |
|
|
Главная трудность при синтезе оптимального регулятора в виде (16) заключается в решении системы нелинейных алгебраических уравнений вида (15).
Решая эту систему на ПЭВМ, найдем искомые переменные:
A11 |
= 1,2555390; |
A12 = 0,99085839; |
A13 = 0,37594728; |
A22 |
= 0,31336186; |
A23 = 0,26503677; |
A33 = 0,15988370. |
Следовательно, закон оптимального управления после подста- новки численных значений А13, А23, и А33 примет вид:
u′ = −7,14(2A33 x3 + A13 x1 + A23 x2 ) = |
|
|||
= −14,28А33 х3 − 7,14А13 х1 − 7,14А23 х2 = |
(17) |
|||
= −2,28х |
− 2,68х −1,89х |
2 |
= −2,28U − 2,68х −1,89х′. |
|
3 |
1 |
|
|
|
Подставив u из исходного уравнения движения объекта (5), найдем:
u¢ = -2,28×(х¢¢ +1,5х¢ + 0,5х) - 2,68х -1,89х′ =
= -2,28х¢¢ -5,31х¢-3,82х. (18)
Проинтегрировав выражение (18) по времени в пределах от tH до t с учетом начальных условий (x(tн) = 1; x / (tн) = 0; u(tн) = 0), по- лучим:
t |
t |
t |
t |
ò u′(t)dt |
= −2,28 ò х′′(t)dt |
− 5,31 ò х′(t)dt |
− 3,82 ò х(t)dt , |
t н |
tн |
tн |
tн |
37
u(t) - u(t н ) = -2,28 × (х′(t) - х′(t н )) -
|
|
t |
|
|
|
- 5,31 × (х(t) - х(t н )) - 3,82 ò х(t)dt , |
|
||||
|
|
tн |
|
|
|
¢ |
× х(t) - 3,82 |
t |
+ 5,31, |
|
|
ò х(t)dt |
(19) |
||||
u(t) = -2,28 × х (t) - 5,31 |
|||||
tн
что соответствует уравнению оптимального ПИД-регулятора. Структурная схема оптимальной системы управления представ-
лена на рис. 1а, схема моделирования, составленная с использова- нием пакета MATLAB, – на рис. 1б.
u |
ОУ |
х |
|
|
УУ
а)
Рис. 1. Структурная схема оптимальной системы управления
38
Перечень используемого оборудования
Перечень используемого оборудования приведен в лаб.работе №1.
Указания по технике безопасности
Указания по технике безопасности приведены в лаб.работе №1.
Указания по порядку выполнения работы
Работа выполняется на ПЭВМ каждым студентом самостоятельно.
1.По заданным в таблице 1 лабораторной работы № 1 ординатам кривой разгона объекта управления определить коэффициенты пе- редаточной функции объекта при помощи программы «WINMNK» на ПЭВМ. Номер варианта задания выдается индивидуально препо- давателем.
2.Получить оптимальный закон управления для заданного урав- нения движения объекта в виде:
an x(n) + an−1x(n−1) + ... + a1x + a0 x =
= bm u(m) + bm−1u(m−1) + ... + b1u + b0u
из условия минимума функционала
∞
J = ò(x 2 + u2 + u′2 )dt
0
и интервала tн < t < tk при наличии ограничений вида х(t) є Gx, u(t) є Gu. Здесь Gx и Gu – заданные допустимые области для координат состояния и управлений.
Начальные условия заданы в виде: x(tн) = 1; x / (tн) = 0; u(tн) = 0.
3.Построить кривую переходного процесса оптимальной систе- мы с использованием пакета MATLAB.
4.Определить прямые показатели качества по графику кривой переходного процесса.
Содержание отчета
Отчет о выполнении лабораторной работы должен содержать:
1.Исходные данные в виде таблицы ординат кривой разгона.
2.Результаты идентификации объекта управления.
3.Решение задачи аналитического конструирования регулятора методом динамического программирования.
39
4.Структурную схему оптимальной системы управления и схе- му, составленную с использованием пакета MATLAB.
5.График кривой переходного процесса.
6.Значения прямых показателей качества процесса.
7.Анализ полученных результатов.
Контрольные вопросы
1.Что называется аналитическим конструированием регуляторов?
2.Как влияет вид функционала на методику определения закона управления?
3.Как в данной лабораторной работе производится синтез опти- мальной стабилизирующей системы методом динамического про- граммирования?
4.Какой критерий оптимальности использован при выполнении лабораторной работы?
5.Какой закон оптимального управления объектом был получен при выполнении лабораторной работы? В чем его преимущества и недостатки?
Литература
1.Ким Д. П. Сборник задач по теории автоматического управле- ния: Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные систе- мы: учебное пособие. М.: Физматлит, 2008. 328 с.
2.Аттетков А. В., Галкин С. В., Зарубин В. С. Методы оптими- зации: учебник для вузов. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 440 с.
3.Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математи- ческая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 574 с.
4.Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник для вузов / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 488 с.
5.Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем автома- тического управления: учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1981. 331 с.
6.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.
7.Пантелеев А. В., Бортаковский А. С., Летова Т. А. Оптималь- ное управление в примерах и задачах: учеб. пособие. М.: Изд-во МАИ, 1996. 212 с.
40