Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Практикум для лабораторных и практических занятий

6. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ПИ-РЕГУЛЯТОРА

Цели: определить уравнение регулятора из условия минимиза- ции критерия оптимальности; получить график кривой переходного

процесса в оптимальной системе и рассчитать прямые показатели качества.

Формируемые компетенции (или их части)

-ОК-1 – способность совершенствовать и развивать свой интел- лектуальный уровень;

-ОК-8 – способность самостоятельно приобретать с помощью информационных технологий и использовать в практической дея- тельности новые знания и умения;

-ПК-21 – способность выбирать оптимальные решения;

-ПК-39 – способность проводить математическое моделирова- ние систем автоматизации с использованием современных техноло- гий проведения научных исследований.

Теоретическая часть

Линейные стационарные системы с оптимальными регуляторами, синтезированными по вектору состояния, позволяют с течением вре-

мени свести к нулю влияние на выход объекта ненулевых начальных условий или кратковременных возмущений. Однако, если входные воздействия остаются постоянными или меняются с малой скоро- стью, то такие системы не обеспечивают равенство нулю статической ошибки регулирования. Для ликвидации этой ошибки регулятор должен включать в себя две составляющие. Одна из них должна за- висеть от фазового вектора, а другая – от его интеграла по времени.

Пусть уравнение линейной стационарной системы имеет вид

tH

где Q и R – неотрицательно определенные матрицы; S – положи- тельно определенная симметричная матрица.

51

Требуется найти такой вектор управления, который бы миними- зировал данный критерий. При этом будет считаться заданным па- раметр U(tH) = UH.

Введем новые переменные:

Запишем уравнение движения и критерий управления в новых координатах:

t H

Используя процедуру метода динамического программирования, можно определить оптимальное значение вектора V:

Тогда оптимальное управление при заданных начальных услови-

Продифференцируем это уравнение по времени и подставим со- отношение для расчета оптимального управления:

52

Таким образом, оптимальное управление будет реализовано в виде ПИ-регулятора.

Структурная схема системы с таким регулятором будет иметь вид:

Пример. Определить оптимальное управление объектом, задан- ным уравнением:

T y& (t) + y(t) = ku (t)

или

где Т и k – постоянная времени и коэффициент усиления объекта; a = − T1 ; b = Tk ; х = y(t); u = u(t)

впроцессе перехода объекта из фиксированного начального х(0) = 1

вфиксированное конечное х(∞) = 0 состояние из условия минимума функционала:

53

На основании (6) записываем линейный закон оптимального управления:

Коэффициенты k12 и k22 находим из матричного уравнения Рик-

кати (7), учитывая, что K& (t) =0:

Перемножив матрицы из уравнения (16), запишем три алгебраи- ческих уравнения:

Проинтегрировав выражение (19) по времени с учетом началь- ных условий, получим:

54

Таким образом, получен оптимальный ПИ-закон управления.

Перечень используемого оборудования

Перечень используемого оборудования приведен в лаб.работе №1.

Указания по технике безопасности

Указания по технике безопасности приведены в лаб.работе №1.

Указания по порядку выполнения работы

Работа выполняется на ПЭВМ каждым студентом самостоятельно.

Задание в виде таблицы значений ординат переходной функции объекта (кривой разгона) каждый студент получает от преподавателя.

1.По заданным в таблице 1 лабораторной работы № 1 ордина- там кривой разгона объекта управления построить кривую разгона.

2.Провести касательную к точке перегиба и определить пара- метры передаточной функции объекта.

3.Определить закон оптимального управления объектом, задан-

ным уравнением Ty& (t) + y(t) = ku (t) , из условия минимума функ-

0

х(tH) = 1 и u(tH) = 0.

4. Построить график кривой переходного процесса в оптималь- ной системе и определить прямые показатели качества.

Содержание отчета

Отчет о выполнении лабораторной работы должен содержать: 1. Исходные данные в виде таблицы ординат кривой разгона.

55

2.График кривой разгона, на котором приводится аппроксима- ция и определение параметров объекта k и Т.

3.Решение задачи аналитического конструирования регулятора.

4.Структурную схему оптимальной системы управления и схе- му, составленную с использованием пакета MATLAB.

5.График кривой переходного процесса.

6.Значения прямых показателей качества процесса.

7.Анализ полученных результатов.

Контрольные вопросы

1.Как решается задача синтеза оптимального ПИ-регулятора?

2.Какой вид имеет матричное уравнение Риккати?

3.Какой критерий оптимальности использован при выполнении лабораторной работы?

4.Какой закон оптимального управления объектом был получен при выполнении лабораторной работы?

Литература

1.Ким Д. П. Сборник задач по теории автоматического управле- ния: Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные систе- мы: учебное пособие. М.: Физматлит, 2008. 328 с.

2.Аттетков А. В., Галкин С. В., Зарубин В. С. Методы оптими- зации: учебник для вузов. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 440 с.

3.Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математи- ческая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 574 с.

4.Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник для вузов / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 488 с.

5.Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем ав- томатического управления: учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1981. 331 с.

6.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.

7.Пантелеев А. В., Бортаковский А. С., Летова Т. А. Оптималь-

ное управление в примерах и задачах: учеб. пособие. М.: Изд-во МАИ, 1996. 212 с.

56

7.СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ ОБЪЕКТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Цель – изучение методов синтеза оптимальных регуляторов для объектов с запаздыванием с использованием вариационного исчис- ления.

Формируемые компетенции (или их части)

-ОК-1 – способность совершенствовать и развивать свой интел- лектуальный уровень;

-ОК-8 – способность самостоятельно приобретать с помощью информационных технологий и использовать в практической дея- тельности новые знания и умения;

-ПК-21 – способность выбирать оптимальные решения;

-ПК-39 – способность проводить математическое моделирова- ние систем автоматизации с использованием современных техноло- гий проведения научных исследований.

Теоретическая часть

Синтез любой системы автоматического управления выполняет- ся на основе задачи управления, которая определяет основную цель при разработке системы управления. Математическая формулиров- ка цели управления (заданная точность, быстродействие и т. д.) и называется задачей управления.

Наиболее распространенной является задача определения опти- мальных уравнений U0(t), обеспечивающих оптимальные процессы в функции времени при заданных начальных Y(t0) и конечных Y(tк) зна- чениях выходных переменных. Оптимальные управления U0(t) объ- ектом и их реализацию различают для двух основных случаев: без применения обратных связей (разомкнутая система) и с применением обратных связей (замкнутая система). В разомкнутой оптимальной системе управляющее устройство УУ по заданным граничным усло- виям формирует оптимальный закон управления (рис. 1, а). При этом

координаты объекта О не используются в формировании закона управления. В замкнутой оптимальной системе на вход УУ подаются соответствующие сигналы с выхода объекта (рис. 1б).

57

Рис. 1. Структурная схема оптимальной системы управления

Время τ между началом скачкообразного изменения входной ве-

личины и началом изменения выходной называют чистым или транспортным запаздыванием.

Рассмотрим АСР, структурная схема которой представлена на рис. 2.

ε g(t)

регулятор

Рис. 2. Структурная схема АСР

В момент времени t = 0 на регулятор поступает ступенчатое воз-

действие

ì 0, при t < 0, g(t) = í

îG,при t ³ 0.

Пусть объект с выходной величиной х описывается уравнением

где α и β – постоянные коэффициенты; К – коэффициент усиления объекта; τ – чистое запаздывание.

За критерий оценки качества переходного процесса примем функционал

58

t

где e(t) – отклонение регулируемой величины от заданного значе- ния; А – коэффициент веса, величина которого выбирается в соот- ветствии с требованиями к переходному процессу.

Нижний предел интегрирования в (2) выбран равным t, так как на

интервале времени от 0 до t мы не можем воздействовать на регули- руемую величину, а следовательно и на ошибку регулирования (3).

Необходимо с учетом (4) и (5) получить такой закон управления U = L(ε), чтобы соответствующая ему функция e(t) доставляла ми- нимум функционалу (2).

L – искомый оператор регулятора.

Для нахождения оптимальной e(t) решим вариационную задачу. Составим в соответствии с (2) функцию f:

f= e2 + A2 × e&2

изапишем уравнение Эйлера

¶¶fe - dtd × ¶¶fe& = 0,

которое после взятия производных сводится к виду

59

С учетом (8) и (11) определим передаточную функцию опти-

мального регулятора

Если передаточную функцию регулятора

Wp (p) = a×p2 ×+b××p +1 K A p

охватить обратной связью с передаточной функцией

то можно реализовать структуру оптимального регулятора (12). Схема, реализующая оптимальный регулятор, имеет вид

Рис. 3. Схема, реализующая оптимальный регулятор

60