Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Практикум для лабораторных и практических занятий

Из схемы видно, что оптимальный регулятор можно реализовать с использованием ПИД-регулятора и охвата его обратной связью с

Wо.с(р) (13).

Пользуясь обозначениями (рис. 3), запишем передаточную функцию ПИД-регулятора:

Запишем передаточную функцию регулятора Wp(p) в следующем

виде

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в (14) и (15), получим параметры настроек ПИД-регулятора

Рассмотренная задача определения уравнения регулятора для за- данной модели объекта управления и выбранного критерия опти- мальности называется аналитическим конструированием регулятора.

Перечень используемого оборудования

Перечень используемого оборудования приведен в лаб. работе №1.

Указания по технике безопасности

Указания по технике безопасности приведены в лаб.работе №1.

Указания по порядку выполнения работы

Работа выполняется на ПЭВМ каждым студентом самостоятельно.

Задание в виде таблицы значений ординат переходной функции (кривой разгона) каждый студент получает от преподавателя.

Исследование проводится в следующей последовательности:

1.Определить параметры передаточной функции W(p) объекта К, α, β при помощи программы «WINMNK» на ПЭВМ. Время за- паздывания принять равным τ = 0,5 с.

2.Рассчитать параметры настройки ПИД-регулятора по форму- лам (16). Значения коэффициента веса А студент подбирает само-

61

стоятельно в ходе моделирования системы управления на ПЭВМ из условия обеспечения переходного процесса заданного качества.

3. Собрать структурную схему системы управления с использо- ванием пакета MATLAB. Установить начальные условия

х(0) = 50; х&(0) = 0 .

4.Определить прямые показатели качества при различных зна- чениях параметров настроек ПИД-регулятора. Найти среди иссле- дованных оптимальные параметры настройки ПИД-регулятора.

Содержание отчета

Отчет о выполнении лабораторной работы должен содержать:

1.Исходные данные в виде таблицы ординат кривой разгона.

2.Структурную схему оптимальной системы и схему моделиро- вания.

3.Расчетные формулы и результаты определения параметров пе- редаточной функции объекта и параметров настроек ПИД- регулятора.

4.Графики переходных процессов, полученных при различных параметрах настройки ПИД-регулятора.

5.Выводы о зависимости прямых показателей качества от пара- метров настройки регулятора.

Контрольные вопросы

1.Как формулируется задача вариационного исчисления с фик- сированными границами и фиксированным временем?

2.Запишите уравнение Эйлера для классической вариационной задачи.

3.Какой вид имеет уравнение Эйлера – Пуассона и для каких за- дач вариационного исчисления рекомендуется его использование?

4.Какая кривая называется экстремальной?

5.Сформулируйте условие Лежандра.

6.Что называется аналитическим конструированием регулятора?

7.Что такое чистое или транспортное запаздывание?

62

Литература

1.Ким Д. П. Сборник задач по теории автоматического управ- ления: Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные си- стемы: учебное пособие. М.: Физматлит, 2008. 328 с.

2.Аттетков А. В., Галкин С. В., Зарубин В. С. Методы оптими- зации: учебник для вузов. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 440 с.

3.Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математи- ческая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 574 с.

4.Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник для вузов / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 488 с.

5.Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем ав- томатического управления: учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1981. 331 с.

6.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.

7.Пантелеев А. В., Бортаковский А. С., Летова Т. А. Оптималь- ное управление в примерах и задачах: учеб. пособие. М.: Изд-во МАИ, 1996. 212 с.

63

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

1.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

СФИКСИРОВАННЫМИ ГРАНИЦАМИ

ИФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ

Цель – изучение методики определения экстремали для заданно- го функционала при фиксированных граничных условиях и отсут-

ствии ограничений на координаты

Знания и умения, приобретаемые студентом

врезультате освоения темы

Врезультате освоения темы студент должен:

знать методы решения задач вариационного исчисления; уметь выбирать необходимый математический метод исследо-

вания, получать решения в терминах выбранного метода.

Формируемые компетенции (или их части):

-ОК-1 – способность совершенствовать и развивать свой интел- лектуальный уровень;

-ОК-8 – способность самостоятельно приобретать с помощью информационных технологий и использовать в практической дея- тельности новые знания и умения;

-ПК-21 – способность выбирать оптимальные решения.

Актуальность темы

В последние годы большое внимание уделяется развитию опти- мального управления, основанного на сочетании вариационных ме- тодов, теории автоматического управления и методов вычислитель- ной математики.

Вариационные задачи с фиксированными концами рассмотрены в данной теме, в теоретической части которой дан вывод диффе- ренциального уравнения Эйлера. Это уравнение является необхо- димым условием экстремума интеграла при фиксированных гра- ничных условиях и отсутствии ограничений на координаты. Если граничные условия нефиксированы, то при решении уравнений Эй- лера требуется учитывать условия трансверсальности. Условия

64

трансверсальности дают возможность определить постоянные инте-

грирования в уравнении Эйлера и тем самым получить конкретное решение.

Теоретическая часть

Исследуем на экстремум функционал

tн

Предполагаем, что искомая функция удовлетворяет краевым условиям X(tн) = Xн; X(tк) = Xк. Иными словами, искомая кривая проходит через заданные точки А(t0,x0) и В(t1,x1) (рис. 1.1).

Рис. 1.1. К вариационной задаче с закрепленными концами

Такая задача называется вариационной задачей с закрепленными концами или с закрепленными граничными точками. Предположим,

что экстремум достигается на кривой x(t) (кривая 1). Возьмем близ- кую к ней кривую x(t) (кривая 2), также проходящую через точки А

и В. Тогда вариация функции δx = x (t) − x (t) , а для граничных точек δx(t н ) = δx(t k ) = 0 .

65

вой части (1.2) являются линейные относительно δ x и δ x& члены.

Линейную часть приращения функционала называют его первой вариацией δJ . Для функционала типа (1.1) первая вариация будет

Необходимым условием существования экстремального значе- ния интеграла типа (1.3) является равенство нулю его первой вариа- ции, т. е.

Интегрируя по частям второе слагаемое в выражении (1.4) получим

получим

Выражение (1.4) примет вид

66

Так как величина δ x имеет произвольный характер, то на осно- вании леммы Лагранжа последнее равенство выполнимо, если

Уравнение (1.7) называют дифференциальным уравнением Эйле-

ра, которое является необходимым условием экстремума интеграла (1.1) при фиксированных граничных условиях и отсутствии ограни- чений на координаты. Если граничные условия нефиксированны, то

при решении уравнений Эйлера требуется учитывать условия трансверсальности.

Рассмотрим методику применения уравнения Эйлера. Пусть тре-

буется определить экстремаль для функционала

В этом случае уравнение Эйлера имеет вид x¢¢ + x = 0 , так как

Его общим решением является x = c1cost + c2cost.

Используя граничные условия, получим с1 = 1, с2 = 0. Следова- тельно, экстремалью является лишь кривая x = cost.

Функционалы могут зависеть не только от функции и ее первой производной, но и от производных более высокого порядка. Иссле- дуем на экстремум функционал:

tн

Проведя для этого функционала аналогичные преобразования, как и для функционала (1.1), получим уравнение

67

Это дифференциальное уравнение носит название уравнения Эй- лера – Пуассона, а его решение называется экстремалью рассматри- ваемой вариационной задачи.

Докажем формулу (1.9), ограничившись для простоты выкладок случаем второй производной, т. е.

tн

Прибавим к функции x(t) вариацию δх такую, что при t = tн и t = tк δх и δ x& обращаются в нуль.

Главная, линейная часть приращения функционала (его первая вариация) будет равна:

Преобразуем выражение (1.11), пользуясь интегрированием по

δx(tн) = δx(tk) = δx&(tн) = δx&(tk) = 0, то все неинтегральные члены (1.12) и (1.13) обращаются в нуль, а вариация функционала будет:

Так как необходимым условием экстремума является равенство первой вариации нулю, то из (1.14) следует уравнение Эйлера –

Пуассона вида

68

которое в данном случае является дифференциальным уравнением четвертого порядка.

Определим экстремаль функционала.

J [ x(t)] = πò/ 2 [(x′′)2 − x2 ]dt,

0

удовлетворяющего граничным условиям

В этом случае уравнение Эйлера – Пуассона имеет следующий вид

x ( IV ) − x = 0 .

Его общим решением является выражение

x = c1e t + c 2 e −t + c3 cos t + c4 sin t .

Используя граничные условия, получаем

c1 = c 2 = c 4 = 0; c 3 = 1 .

Таким образом, экстремалью является кривая x=cost.

Пример 1. Найти кривую x(t), проходящую через заданные точ- ки xн и xк , на которой принимает экстремум функционал

69