Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Практикум для лабораторных и практических занятий

При q2 = 0 никаких ограничений на производную выходной ко-

ординаты не накладывается, поэтому процесс имеет колебатель- ность.

Таким образом, полученную систему можно считать оптималь-

ной по минимуму функционала

Пример 2. Определим оптимальное управление u0 (X) , обеспе-

чивающее оптимальную стабилизацию режима объекта, описывае-

мого уравнением

которому соответствуют уравнения состояния

где a1 = -1/ T2 ; b0 = K / T 2

Функционал обобщенного скалярного критерия оптимальности имеет вид

∞

J(u) = ò(q1x12 + q2 x 22 + r1u2 )dt . (6.22)

0

Краевые условия заданы: X(0) = X0; X(∞) = 0. Координата управ- ления не ограничена.

Чтобы решить задачу синтеза оптимальной системы, в данном случае используем метод динамического программирования. Запи-

шем уравнения Беллмана в непрерывной форме

111

Выберем вспомогательную функцию S

n

S = å Aij xi x j = A11x12 + A12 x1x 2 + A22 x 22 . (6.25) i, j=1

Продифференцировав (6.25) по x1 и x2 и подставив в (6.23) и (6.24), получим уравнения Беллмана

После преобразований уравнений (6.26) получим алгебраические уравнения, определяющие неизвестные А11, А12, А22:

Из уравнения (6.27) найдем коэффициенты

подставив которые во второе уравнение (6.26), получим закон оп-

тимального управления в виде линейной зависимости от фазовых координат типа

На основании (6.20) и (6.28) составим структурную схему опти- мальной по точности системы (рис. 6.4), в которой обеспечивается стабилизация состояния объекта. В данной системе требуется при- менить ПД-регулятор, состоящий из дифференциатора и усилителя.

В результате моделирования и анализа переходных процессов для

112

T = 1 c и k = 1 c-1 определим оптимальные значения ko.c1 = 1 и ko.c2 =1 и соответствующие им q1 =1, q2 =1 и r1 = 1 (рис. 6.5).

Рис. 6.5. График зависимости tp от ko.c.

При этом устанавливаем, что время регулирования t p = t k уменьшается с увеличением q1 , имеет экстремальную зависимость от q2 и уменьшается с уменьшением r1 .

Таким образом, оптимальная по минимуму функционала система

должна иметь ПД-регулятор с передаточной функцией

K p ( p) = −1− p

при заданных параметрах объекта, описываемого уравнением

(6.21): T2 =1c2 ; K =1c−1 .

Рис. 6.4. Структурная схема оптимальной по точности системы

113

Пример 3. В примерах 1 и 2 в минимизируемый функционал не включалась производная координаты управления, поэтому были получены ПД-регуляторы. При этом можно установить [см. (6.29)], что если не учитывать под знаком интеграла [уравнение (6.22)] первую производную координаты выхода ( q2 = 0 ) для объекта вто-

рого порядка, то структура регулятора останется прежней, а изме- ниться только величина ko.c2 .

Однако при автоматизации инерционных статических объектов обычно применяют ПИ- и ПИД-регуляторы, поэтому рассмотрим получение таких регуляторов на примере статического объекта,

уравнение которого

Минимизирующий функционал обобщенного скалярного крите-

рия оптимальности запишем с учетом производной координаты управления

Координата управления и ее производная не ограничены.

Для решения данной задачи (оптимальной стабилизации выхода) применим метод классического вариационного исчисления. Соста-

вим функцию Лагранжа

Запишем уравнение Эйлера

Дополнив их уравнением объекта (6.30), получим систему урав- нений вариационной задачи:

Чтобы решить эти уравнения, составим характеристический

определитель

114

Уравнение (6.34) имеет четыре корня

Два корня (р1 и р2) имеют отрицательные вещественные части, а два корня (р3 и р4) – положительные вещественные части. Из усло-

вия устойчивости процесса примем в качестве решения уравнений оптимальной системы выражение

Уравнения (6.36)–(6.39) являются линейными, поэтому результа- том их решения будет линейный закон управления u0 (y) . Так как

решение (6.36) соответствует уравнению второго порядка, то при инерционном объекте первого порядка, описываемом уравнением (6.30), оптимальный регулятор не может иметь порядок выше пер- вого. Примем уравнение регулятора в виде

Умножив уравнения (6.36)–(6.39) соответственно на A, B, C, D и

сложив (6.36) с (6.37), а (6.38) с (6.39), на основании (6.40) получим

где в общем случае C1 ¹ 0 и C2 ¹ 0 .

Из условия существования процесса изменения y(t), определяе- мого уравнением (6.36), при наличии управления u(t) следует, что равенство (6.41) возможно, если

115

Уравнения (6.42) позволяют найти параметры оптимального ре- гулятора A, B, C, D. Однако решение является неоднозначным, по- скольку в два (6.42) уравнения входит четыре неизвестных. В связи с этим можно получить различные структуры оптимального регуля- тора, обеспечивающего оптимальные процессы, которые определя- ются уравнениями (6.36)–(6.39):

пропорциональный регулятор (П-регулятор), если B = D = 0,

пропорционально-дифференциальный регулятор (ПД-регулятор), если D = 0,

где ko.c1 = B / D, ko.c2 = A / D .

П- и ПД-регуляторы имеют тот недостаток, что при наличии по-

стоянных возмущающих воздействий существует статическая ошибка; Д-регулятор вообще не обеспечивает стабилизацию выхо- да. Наиболее целесообразно в качестве регулятора оптимальной стабилизации выхода объекта принять ПИ-регулятор (6.48), обеспе- чивающий нулевую статическую ошибку.

На основании (6.30) и (6.48) составим структурную схему систе- мы оптимальной стабилизации выхода объекта (рисунок 6.6). Далее произведем моделирование полученной системы с целью определе- ния оптимальных значений параметров настройки ko.c1, ko.c2 регуля-

тора с передаточной функцией

Kp (p) = ko.c1 + ko.c2 / p .

116

7. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ПИ-РЕГУЛЯТОРА

Цель – определение уравнения регулятора из условия миними-

зации критерия оптимальности

Знания и умения, приобретаемые студентом

врезультате освоения темы

Врезультате освоения темы студент должен:

знать методику синтеза оптимального управления с помощью уравнения Риккати;

уметь выбирать необходимый математический метод исследо- вания, получать решения в терминах выбранного метода.

Формируемые компетенции (или их части)

-ОК-1 – способность совершенствовать и развивать свой интел- лектуальный уровень;

-ОК-8 – способность самостоятельно приобретать с помощью информационных технологий и использовать в практической дея- тельности новые знания и умения;

-ПК-21 – способность выбирать оптимальные решения.

Актуальность темы

Как известно, несмотря на большое разнообразие объектов регу- лирования, характерные их свойства, имеющие существенное зна- чение для целей управления, немногочисленны, как и сами способы управления объектами. Это объясняется общностью физических законов, которым подчиняются различные процессы, протекающие в объектах и системах регулирования.

Практика показала, что подобная универсальность присуща и за- конам регулирования для самых различных технологических объек- тов. Используя весьма небольшое число типовых законов регулиро- вания можно достаточно качественно управлять почти всеми про- мышленными объектами. При этом для каждого объекта достаточно подобрать лишь параметры настройки регулятора. Применение та- ких типовых законов регулирования позволяет использовать в про- мышленных АСР стандартные, серийно выпускаемые регуляторы, что имеет неоспоримые достоинства.

118

Однако в отдельных случаях (для труднорегулируемых объек- тов, при повышенных требованиях к качеству АСР, при сильно из- меняющихся свойствах объектов и т. п.) типовые законы регулиро- вания оказываются недостаточно эффективными, и приходится прибегать к более сложным законам. В теме 7 рассмотрены вопросы синтеза оптимального ПИ-регулятора.

Теоретическая часть

Пусть уравнение линейной стационарной системы имеет вид

tн

где Q, R – неотрицательно определенные матрицы; S – положитель- но определенная симметричная матрица.

Требуется найти такой вектор управления, который бы миними- зировал данный критерий. При этом будет считаться заданным па-

раметр

Обозначим матрицы:

Запишем уравнение движения и критерий управления в новых координатах:

Используя процедуру метода динамического программирования, можно определить оптимальное значение вектора V

119

Пусть это решение имеет вид

Таким образом, оптимальное управление будет реализовано в виде ПИ-регулятора.

Структурная схема системы с таким регулятором будет иметь вид, представленный на рисунке 7.1.

X& = AX + BU

C5 C3

C4 ò

Рис. 7.1. Структурная схема оптимальной системы

120