Теория автоматического управления (Курсовое проектирование). Учебное пособие

Поскольку все корни характеристического уравнения действительные и разные, решение его при постоянном управляющем воздействии u можно записать как

+ C2 ×s3n × exp(s3 × t)+ C3 × s4n × exp(s4 × t)+ C4 ×s5n × exp(s5 × t) ,

где n - порядок производной.

Таким образом, для построения управления и траектории необходимо найти четыре временных точки переключения, значение времени перевода объекта из начального в конечное состояние, значения пяти постоянных интегрирования С для пяти интервалов постоянства управления. Итого, необходимо найти 30 неизвестных величин, составив и решив систему из 30 нелинейных алгебраических уравнений. Эту задачу возможно решить только численным методом, задав достаточно близко начальное приближение неизвестным величинам. Чтобы это выполнить, приближенные значения будем задавать и уточнять последовательно по участкам.

Так как общий коэффициент усиления объекта и исполнительного механизма положительный и для перехода из начального в конечное состояние следует увеличить координату, у примем в начальный момент управление положительным и равным а.

1. Определим выход объекта при управленииu(t) = a для первого участка постоянства управления, записав в системе Mathcad выражения (34), (35) для вычисления y(t,C,u) и её производных dy(t,C,n). Константы интегрирования определяются из начальных условий. Для их нахождения воспользуемся блоком Given или блоком решения дляMathcad Prime, задав предварительно начальные произвольные значения констант интегрирования С0..C4 в виде вектора C1 и записав начальные усло-

81

вия в качестве уравнений, из которых следует искать вектор констант С1. Приведём фрагмент программы Mathcad15:

C1 := Find(C1)

Получили уточненные значения констант для первого участка. Ошибка ERR решения уравнений близка к нулю. График функции у(t) для этого участка при u(t) = а представлен на рис. 27.

t

Рис. 27. Траектория изменения y(t) на первом интервале

82

Задавая последовательно точки переключения в пределах у(t) < yk, определим начальные приближения констант интегрирования по участкам постоянства управления.

2. Для второго участка, начинающегося с точки переключения t1= 130, выбранной приближенно по графику, в качестве начального приближения вектора константС2 возьмем вектор С1 и уточним его процедурой Find при u(t) = b. Условием расчета констант является совпадение в точке переключения функции у(t) и четырех ее производных, рассчитанных для первого и второго участков. Отсчет времени на втором и последующих участках начинаем с нуля, что позволит уменьшить значение аргумента в показателях экспонент и тем самым упростить -ре шение системы нелинейных уравнений процедурой Find:

Запишем выражение для функции у(t) по двум участкам

83

t

Рис. 28. Траектория изменения у на первом и втором интервалах

3. Для третьего участка вновь задаём u(t) = a и вектор констант С3 принимаем равным С2. Точку переключения также выбираем приближенно по графику: t2=140:

Выражение для функции у(t) по трем участкам:

84

График функции у2 (рис. 29):

t

Рис. 29. Траектория изменения у на первом, втором и третьем интервалах

4. Для четвертого участка задаём u(t) = b и вектор констант принимаем равным С3, т. е. С4= С3. Точку переключения выбираем приближенно по графику: t3=150:

Выражение для функции у(t) по четырем участкам

85

График функции у3 показан на рис. 30.

t

Рис. 30. Траектория изменения у на четырех первых интервалах

5. На конечном участке уточняем все точки переключения t1...t4, конечную точку tk, векторы констант С2, С3, С4, С5 для всех участков, исключая первый. Условиями для получения точных решений являются условия совпадения функции и её первых четырех производных в точках переключения, а также достижение конечных значений функции и производных. Вновь задаем начальные приближения точки переключенияt4, конечной точки tk, вектора констант С5 и записываем все уравнения:

86

çC3 ÷

çC4 ÷

ç÷

Ошибка решения

ERR = 3.53 ´ 10- 10 .

Выведем точки переключения управления, конечное время, а также значения функции у(t) и ее производных в точке tk:

tk = 163.02 ,

y( tk - t4 , C5 , a) = 80

dy ( tk - t4 , C5 , 1) = 8.179 ´ 10- 11 dy ( tk - t4 , C5 , 2) = -1.645 ´ 10- 10

87

dy ( tk - t4 , C5 , 3) = -7.259 ´ 10- 13 dy ( tk - t4 , C5 , 4) = 8.489 ´ 10- 11 .

Как видно, погрешность расчетов мала.

Для построения графиков y(t) и u(t) составим их описания в виде кусочно – непрерывных функций:

Итоговые графики оптимальной траектории и оптимального управления показаны на рис. 31, 32.

88

t

Рис. 31. Оптимальная траектория движения

t

Рис. 32. Оптимальное управление

Таким образом мы получили кусочно-постоянное оптимальное управление, обеспечивающее минимальное время перевода объекта из начального в заданное конечное состояние при ограниченном управлении.

89

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Номер варианта выбирается по последней цифре шифра зачетной книжки из табл. 1-20, а закон регулирования, критерий расчета регулятора и ограниченияпо предпоследней цифре шифра зачетной книжки из табл. 21.

Вариант № 1 (последняя цифра шифра зачетной книжки). Объект управления – четвертая зона диффузионного аппа-

рата в сахарном производстве.

Регулируемая величина у(t) – концентрация сухих веществ (сахара) в соке. Номинальное значение сухих веществ в соке

14±2 %.

Возмущающее воздействие – концентрация сахара в свекловичной стружке. Средняя концентрация сахара в стружке 19,5

– 20,5 %.

Управление осуществляется изменением расхода воды (откачки). Диапазон изменения расхода воды 120 – 150 т/ч.

Изменение концентрации сухих веществ в соке в результате уменьшения расхода воды на 20 т/ч приведено в табл. 1. В четных строках таблиц указано время в секундах, в нечетных

– концентрация сухих веществ в процентах.

Таблица 1

Изменение концентрации сухих веществ в соке в результате увеличения концентрации сахара в стружке на2 % приведено в табл. 2.

90