Теория автоматического управления (Курсовое проектирование). Учебное пособие

2.3. Составление математической модели по уравнениям материального и теплового балансов

Рассмотрим получение математической модели на примере теплообменника с разделенными пространствами для теплоносителя и продукта без фазовых превращений и с идеальным перемешиванием сред в обоих пространствах (рис. 5). Примером такого объекта может быть реактор полимеризации, кожухотрубный теплообменник с короткими трубами и т. д.

Рис. 5. Схема теплообменника

Введем обозначения:

Gt - массовый расход теплоносителя;

Ttn, Ttk - температура теплоносителя на входе и выходе теплообменника;

Gp - массовый расход продукта;

Tpn, Tpk - температура продукта на входе и выходе теплообменника;

ct, cp, cs – удельные теплоемкости теплоносителя, продукта и стенки (считаем постоянными);

Mt, Mp, Ms - массы теплоносителя и продукта в теплообменнике, а также стенки между теплоносителем и продуктом (считаем постоянными);

Ts - среднее значение температуры стенки между теплоносителем и продуктом;

21

Stp - площадь стенки между теплоносителем и продуктом;

ats, aps - коэффициенты теплоотдачи от теплоносителя к стенке и от стенки к продукту (считаем постоянными); t - время.

Основные допущения, используемые при получении математического описания помимо идеального перемешивания теплоносителя и продукта в разделенных полостях: полости полностью заполнены и изменение масс продукта и теплоносителя со временем не происходит; удельные теплоемкости продукта, теплоносителя и стенки не изменяются; коэффициенты теплоотдачи от теплоносителя к стенке и от стенки к продукту постоянны; толщина стенки между теплоносителем и продуктом мала и температура обоих поверхностей стенки одинакова; внешняя стенка тонкая (имеет малую массу) и изолирована от окружающей среды так, что теплообмен с окружающей средой отсутствует. Эти допущения упрощают математическое описание за счет снижения его точности.

Уравнения теплового баланса для малого интервала времени Dt запишем в следующем виде: слева от знака равенства - количество теплоты, которое пришло за время Dt в соответствующую полость или к стенке, справа – количество теплоты, которое ушло за это же время, плюс теплота, пошедшая на изменение температуры технологической жидкости или стенки за время Dt.

Уравнение для теплоносителя:

Gt ×Ttn ×ct ×Dt = Gt ×Ttk ×ct ×Dt +Stp ×ats ×(Ttk - Ts)Dt +

+Mt ×ct ×DTtk,

для продукта:

Gp×Tpn ×cp ×Dt +Stp ×aps ×(Ts - Tpk)Dt = Gp×Tpk ×cp ×Dt +

+Mp ×cp ×DTpk,

для стенки:

Stp × ats × (Ttk - Ts)Dt = Stp × aps × (Ts - Tpk )Dt + Ms × cs × DTs .

Разделив левые и правые части уравнений на Dt и переходя к пределу при Dt ® 0 , получим дифференциальные уравнения, которые перепишем в привычной форме:

22

= Stp × (ats × Ttk + aps × Tpk).

Полученные уравнения являются нелинейными, поскольку они содержат произведения переменных величин. Чтобы их линеаризовать, можно применить разложение в ряд Тейлора или все переменные величины представить в виде суммы некоторых постоянных номинальных (средних) значений и малых приращений:

Gt = Gt0 + DGt , Gp = Gp0 + DGp , Tpn = Tpn0 + DTpn ,

Tpk = Tpk0 + DTpk , Ttn = Ttn0 + DTtn , Ttk = Ttk0 + DTtk ,

Ts = Ts0 + DTs .

Подставляя выражения для переменных величин в уравнения (7) – (9), раскрывая скобки и опуская слагаемые с произведениями приращений, т. к. они имеют второй порядок «малости», получим:

Mt × ct × dDTtk + (Gt0 × ct + Stp × ats)× Ttk0 + (Gt0 × ct + Stp × ats)´ dt

´DTtk + DGt × ct × Ttk0 = Gt0 × ct × Ttn0 + Gt0 × ct × DTtn +

+DGt × ct × Ttn0 + Stp × ats × Ts0 + Stp × ats × DTs,

Mp×cp× dDTpk +(Gp0×cp +Stp×aps)×Tpk0 +(Gp0 ×cp +Stp×aps)´ dt

´DTpk + DGp×cp ×Tpk0 = Gp0 ×cp ×Tpn0 +Gp0×cp×DTpn +

+DGp×cp×Tpn0 +Stp×aps ×Ts0 +Stp×aps×DTs,

Ms × cs × dDTs + Stp × (ats + aps)× Ts0 + Stp × (ats + aps)× DTs = dt

= Stp ×[ats × Ttk0 + ats × DTtk + aps × Tpk0 + aps × DTpk].

23

Если принять приращения равными нулю, то получим уравнения для установившегося состояния или уравнения статики:

По уравнениям статики следует проверять правильность выбора параметров теплообменника, а также значения температур и расходов в установившемся режиме. Они могут использоваться для расчета температур стенки и теплоносителя на выходе из теплообменника, а также необходимого расхода теплоносителя.

С учетом этих уравнений статики из исходных дифференциальных уравнений в приращениях удалим постоянные -сла гаемые и получим линеаризованные уравнения динамики в приращениях (для упрощения записи опустим символ ∆):

= Gp0 × cp × Tpn + Gp × cp × (Tpn0 - Tpk0)+ Stp × aps × Ts ,

Ms×cs× dTs +Stp×(ats + aps)×Ts = Stp×(ats ×Ttk + aps×Tpk). (15) dt

Систему уравнений (13) – (15) можно представить в одной из стандартных форм.

1. Разделив левые и правые части уравнений в системе (13) – (15) на множители при переменных в левой части уравнений, систему можно привести к виду:

24

где

зволяет достаточно просто решать систему численным методом Эйлера.

2. Переменные величины или функции Ttk, Tpk, Ts явля-

ются переменными состояния объекта [3] и полученная система уравнений соответствует математическому описанию в переменных состояния объекта. Чтобы привести уравнения(13) – (15) к стандартному виду

где x, u, z – векторы переменных состояния, управления и возмущения; А, В и С – матрицы коэффициентов, необходимо в уравнениях (13) - (15) разделить левые и правые

части на коэффициенты при производных и слева от знака -ра венства оставить только производные, а справа - слагаемые,

25

содержащие переменные состояния, затем слагаемые с управляющими воздействиями и последнимислагаемые с возмущающими воздействиями.

В качестве управления чаще всего выступает расход теплоносителя и, возможно, начальная температура теплоносителя, а начальная температура и расход продукта обычно являются возмущениями.

Применительно к уравнению (17) вектор переменных со-

стояния по уравнениям (18) - (20) имеет вид x = {Ttk Tpk Ts}T ;

u = {Gt Ttn}T - вектор управления; z = {Tpn Gp}T - вектор возмущений; матрицы А, В, С равны:

26

Если управляющее воздействие единственное (скалярное), например, u=Gt, то в уравнении (17) В является вектором:

начальная температура теплоносителя будет возмущением, а вектор возмущений и матрица С примут вид:

z = {Ttn Tpn Gp}T ,

Математическое описание в переменных состояния применяется при синтезе систем модального управления, также оптимальных систем с различными критериями оптимальности.

3. Чтобы получить математическое описание в виде зависимости выхода объекта Tpk от управления Gt и возмущений Ttn, Tpn, Gp или в виде соответствующих передаточных функций можно исключить из уравнений(13) – (15) промежуточные переменные Ttk и Ts и получить одно уравнение третьего порядка для Tpk. Это проще всего выполнить, переходя к преобразованиям Лапласа в уравнении (17). Так как уравнение записано для приращений, все начальные значения переменных равны нулю, что удовлетворяет требованиям для передаточной функций в преобразованиях Лапласа.

Уравнение (17) в преобразованиях Лапласа

где Е – единичная матрица; s – комплексная переменная Лапласа. Из (24) достаточно просто найти векторX(s) используя

операции с матрицами в системе Mathcad:

27

X(s) = (E × s - A)-1 × B × U(s) + (E × s - A)-1 × C × Z(s) . (25)

Чтобы получить передаточные функции вMathcad, необходимо задать численные значения всем параметрам, используемым в матрицах А, В и С, описать векторы и записать выражение для определения вектора Х:

U(u ):= (u1 u 2 u 3 )T , Z(z):= (z1 z2 z3 )T ,

X(s, u, z) := (E× s- A)-1 × B× U(u) + (E× s- A)-1 × C× Z(z) ,

азатем вывести Х: X(s, u, z)® .

Увектора Х вторая строка будет представлена в виде:

виду, необходимо их числители и знаменатели разделить на D3, помимо этого из числителей третьей и четвертой функций в качестве коэффициентов передачи следует вынестиA3,3 / D3 и

A 4,3 / D3 соответственно.

Если выражение громоздкое и не выводится в Mathcad, то следует вывести первую часть решения:

(E × s - A)-1 × B × U(u) ,

затем вторую:

(E × s - A)-1 × C × Z(z) .

Поскольку теплообменник является устойчивым объектом, то все коэффициенты в знаменателях передаточных функций должны быть положительными.

28

Математическое описание в виде передаточных функций используется при синтезе систем по частотным характеристикам, синтезе систем при случайных воздействиях и т.п.

Пример. Составим математическую модель для пластинчатого теплообменного аппарата подогрева воды [4], собранного из гладких пластин шириной b = 0,4 м и высотой l = 0,8 м. Расстояние между пластинамиsp =0,02 м; толщина пластин δ = 0,003 м; материал пластин – углеродистая сталь 20. Количе-

и продукт подается параллельно во все свои полости. Схема движения теплоносителя и продукта– противоток. Общая площадь стенки между теплоносителем и продуктом 0,32 м2 .

Номинальные расходы теплоносителяGt=10 кг/с и продукта Gр=15 кг/с; номинальные начальные температуры на входе теплообменника Ttn=90 oC, Tpn=10 оС; удельные плотности в кг/м3 и теплоемкости в дж/(кг.оС) теплоносителя, продукта и стали при номинальных их температурах: ρt = 966,86;

ρр = 999,4; ρs = 7849; сt=4205; ср=4190; cs=486; удельные ко-

эффициенты теплоотдачи от теплоносителя к стенке и от стенки к продукту, зависящие от температур и скоростей движения

сред, в вт/(м2.оС): αts=544,5; αps=382,5.

Введем исходные данные в Mathcad:

Вычислим массы теплоносителя, продукта и стенки:

а также суммарную площадь стенки между продуктом и теплоносителем:

Stp := l×b×(nt + np - 1).

29

Выведем вычисленные значения

Mt = 127.936 Mp = 117.575 Ms = 301.402 Stp = 12.16 .

Описание объекта в статике. Определим установившиеся значения конечных температур теплоносителя, продукта и стенки по уравнениям статики. Для этого зададим исходные значения установившимся переменным в уравнениях статики, а также начальное приближение неизвестным значениям конечных температур теплоносителя, продукта и температуру стенки:

Запишем уравнения статики (10) - (12) в блоке Given и решив их, определим установившиеся значения Ttk0, Tpk0, Ts0:

Given

(Gt0 ×ct + Stp ×ats )×Ttk0 - Gt0 ×ct ×Ttn0 - Stp ×ats ×Ts0 0

(Gp0 ×cp + Stp ×aps )×Tpk0 - Gp0 ×cp ×Tpn0 - Stp ×aps ×Ts0 0

Stp ×(a ps + ats )×Ts0 - Stp ×(a ts ×Ttk0 + a ps ×Tpk0 ) 0

Поскольку система уравнений (13) - (15) линейна относительно неизвестных величин Ttk0, Tpk0, Ts0, то ее можно также решить матричным методом, записав систему в матричновекторном виде

30