Теория автоматического управления (Курсовое проектирование). Учебное пособие

А0.Т0=В0,

описав матрицы в системе Mathcad:

Вставим операцию решения матричного уравнения А0.Т0=В0 и получим результат:

T0 := A0- 1 ×B0

æ 85.311 ö

T0 = çç 13.137 ÷÷

è 55.53 ø .

Описание объекта в динамике. Запишем матрицы А, B, C

из выражений (24) – (26) в Mathcad:

31

Для описания теплообменника в переменных состояния полученных результатов достаточно. Если же необходимо найти передаточные функции объекта по управлению и возмущающим воздействиям, введем единичную матрицу Е, скалярное управление, вектор возмущений и запишем решение матричного уравнения в преобразованиях Лапласа (25):

Z( z) := (z1 z2 z3 )T

32

X(s , u , z) := ( E×s - A) - 1×B×u + (E×s - A) - 1×C×Z( z).

Результат решение выведем в символьном виде: X(s,u,z) float, 8→

Даже с ограничением разрядности коэффициентов он будет занимать несколько листов. Скопируем передаточные функции для температуры продукта, находящиеся во второй строке матрицы:

При необходимости приведения передаточных функций к стандартному виду, чтобы постоянные слагаемые числителя и знаменателя равнялись единице, следует разделить все слагаемые числителя на постоянную числителя и умножить на эту же величину коэффициент передачи, разделить на постоянную величину знаменателя все слагаемы знаменателя и коэффициент передачи. Например, для передаточной функции от z2:

s3 + .304445×s2 + .290466e-1×s + .850603e-3

s2 + .167426×s + .640584e-2 float , 6 ® 156.108×s2 + 26.1365×s + 1.00000 ,

.640584e-2

33

(s 3 + .304445 ×s 2 + .290466e-1 ×s + .850603e-3 )

float , 6 →

.850603e-3

→ 1175.64×s3 + 357.917×s2 + 34.1482×s + 1.0000 ,

kz2 := .127578 ×.640584e-2 ,

.850603e-3 kz2 = 0.960782 .

Передаточная функция примет вид:

(156.108×s2 + 26.1365×s + 1.00000)

Wz2 ( s) := 0.960782× (1175.64×s3 + 357.917×s2 + 34.1482×s + 1.00000).

3. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Задача синтеза заключается в разработке структурной схемы системы, подборе датчика, исполнительного механизма и преобразователей к ним, выборе или расчете передаточной функции формирователя управления, расчете коэффициентов передаточной функции формирователя.

Исходными данными для синтеза являются требования к

Математическое описание датчиков, исполнительных механизмов зачастую представляется в виде передаточных функций. Преобразователи могут входить непосредственно в датчики и исполнительные механизмы пропорциональными звеньями, либо могут быть в виде отдельных элементов системы, также представленных пропорциональными звеньями в силу их малой инерционности по сравнению с другими элементами.

34

Пример структурной схемы замкнутой системы управления по ошибке представлен на рис. 6.

Рис. 6. Структурная схема системы регулирования

Схема содержит формирователь управляющего воздействия, преобразователи сигналов, исполнительный механизм с регулирующим органом, объект управления и датчик. На схеме указаны передаточные функции соответствующих элементов.

Выбор конкретных элементов осуществляется по предельным значениям технологических параметров объекта.

Средства автоматизации подбираются из справочников [6-9] либо из любых доступных официальных материалов(паспортов, технических описаний и т. д.) согласно заданию на курсовое проектирования. Для примера рассмотрим систему регулирования температуры продукта на выходе теплообменника.

Пример. В качестве датчика и преобразователя ПР2 (рис. 6) выберем термопреобразователь ТСПУ-055 с унифицированным выходным сигналом 0 – 5 мА со следующими техническими характеристиками:

·диапазон преобразуемых температур – 0…100 оС;

·выходной сигнал – 0-5 мА;

·инерционность – 2 с;

·погрешность – 0,25 %.

Передаточная функция датчика будет выглядеть:

35

где Кдат – коэффициент усиления датчика, Тд – инерционность датчика.

Коэффициент усиления датчика определяется как отношение диапазона выходного сигнала датчика R к диапазону преобразуемого параметра Y:

Передаточная функция датчика в данном случае при Т =2 с

д

будет выглядеть:

0.05 Wд (s) = 2 × s +1 .

В качестве исполнительного механизма выберем пневматический регулирующий клапан, например, 25ч30нж.

Передаточная функция исполнительного механизма:

где Ким – коэффициент усиления исполнительного механизма; Тим – инерционность исполнительного механизма.

Коэффициент исполнительного механизма К определя-

им

ется как отношение выхода исполнительного механизма ко входу. В рассматриваемом примере выходом исполнительного механизма является массовый расход теплоносителя, входным воздействием – давление пневматического сигнала с преобразователя.

В качестве преобразователя ПР1 электрического сигнала в пневматический для рассматриваемого примера можно выбрать преобразователь ЭП - 3211 со следующими характеристиками:

·диапазон входного электрического сигнала - 0-5 мА;

·диапазон выходного пневматического сигнала20 –

100 кПа.

Передаточная функция преобразователя: Wпр1(s) = К пр ,

36

где Кпр – коэффициент усиления преобразователя.

3.1. Синтез системы с заданной структурой при детерминированных воздействиях

В данном случае вид передаточной функции формирователя управляющего воздействия задан. Задача заключается в определении значений коэффициентов его передаточной функции из условия обеспечения необходимого качества управления при выполнении ограничений на технологические параметры объекта и управляющее воздействие. В качестве формирователя зачастую выступает пропорционально-интегрально-дифферен- циальный регулятор (ПИД-регулятор), и задача синтеза системы заключается в поиске коэффициентов при пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющих (настроек регулятора) из условия обеспечения экстремума определенного критерия качества и выполнения ограничений на координаты объекта и управление. В качестве критериев могут слу-

жить минимизируемые значения интегральной квадратичной ошибки, затрат энергии при изменении состояния объекта, времени перевода в необходимое состояние и т. д.

Значения настроечных параметров могут определяться аналитически, путем решения систем нелинейных уравнений, полученных дифференцированием критерия по настроечным параметрам и приравнивания производных нулю. Чаще же оптимальные параметры находятся с помощью приближенных методов поиска экстремума: покоординатного спуска, градиентного, наискорейшего спуска и т. д.

Метод покоординатного спуска применительно к задаче идентификации объекта управления был описан ранее. Для его реализации необходимо составить программу получения переходного процесса при заданных настроечных параметрах и определения значения критерия оптимальности[2]. Чтобы составить программу следует записать рекуррентные выражения для вычисления выхода объекта при изменении управления и воз-

37

мущений, используя методику, приведенную в п. 2. 2. При получении математического описания аналитическим методом дифференциальное уравнение выхода объекта для одного управляющего и одного возмущающего воздействий имеет вид

где D, B, C – коэффициенты; u – управляющее воздействие; z – возмущение; n- максимальный порядок производной у в левой части дифференциального уравнения; m, q- максимальные порядки производных u и z в правой части дифференциального уравнения; τu и τz – чистое запаздывание по управлению и возмущению. Этому уравнению соответствуют передаточные функции по управлению и возмущению:

Рекуррентное выражение для расчета значений выхода объекта, записанное по конечно-разностному уравнению:

yi = åd j yi- j + å b k u i-nu -k + åc r z i-nz -r .

где d, b, с – коэффициенты; nu, nz – чистое запаздывание для управления и возмущения в дискретах времени.

Если математическое описание объекта управления получать по уравнениям материального и теплового балансов в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка(п. 2.

3), можно использовать систему рекуррентных выражений для уравнений первого порядка.

При получении математических моделей по кривым разгона, знаменатели передаточных функций по управлению и возмущению, как правило, получаются различными. Если эти передаточные функции приводить к общему знаменателю, получим

38

значительное увеличение порядка уравнения и существенные затруднения с расчетом переходных процессов. Поскольку мы рассматриваем линейные объекты управления, то в соответствии с принципом суперпозиции можно на каждом шаге изменения времени рассчитать значения выхода объекта отдельно при изменении управления и возмущения, и сложить их, т. е.

y1i = åd1j y1i-j + åbk ui-nu-k ,

y2i = åd2 j y2i- j + åcr zi-nz-r ,

yi = y1i + y2i .

Пример. Пусть передаточные функции объекта по управлению и возмущению, полученные на этапе идентификации имеют вид:

B3 × s3 + B2 × s2 + B1 × s + 1

где А1, А2, В1, В2, В3, D1, D2, D3, k1, k2 – коэффициенты пере-

даточных функций, τ – время чистого запаздывания выхода по управлению, причем,

k1 = 2; D3 = 1000; D2 = 450; D1 = 40; τ = 10;

k2 = 4; B3 = 1100; B3 = 430; B1 = 42; A2 = 5; A1 = 2.

Чистое запаздывание для возмущения можно не учитывать при расчете коэффициентов регулятора. Передаточная функция W2(s), соответствующая дифференциальному уравнению с производными в правой его части, получается крайне редко при идентификации объекта по кривым разгона, но при аналитическом описании это вполне обычное явление. Символы A, B, D для обозначения коэффициентов выбраны с целью исключения двойного индексирования коэффициентов.

39

Дифференциальные уравнения объекта для управляющего воздействия имеет вид:

и рекуррентное выражение для определения последовательности значений выхода объекта:

y1i = d1 × yi-1 + d2 × yi-2 + d3 × yi-3 + c0 × ui-nu ,

Dt - шаг дискретизации по времени, принимаемый как минимум в 10-100 раз меньше самой маленькой постоянной времени.

Дифференциальное уравнение по возмущению для передаточной функции (27):

40