Теория автоматического управления (Курсовое проектирование). Учебное пособие

Wk4(s) := Td ×s + 1

T2im×s + 1

и Tg1=100, Tg=699.428, T22=2.7, T2im=2, Td=9.

Для реализации передаточных функций можно использо-

вать два типа пассивных RC-цепей (рис. 17, 18).

Рис. 17. Первая RCцепь и ее ЛАХ

Рис. 18. Вторая RCцепь и ее ЛАХ

Передаточная функция первой цепи:

и T1 > T2.

По точкам излома ЛАХ корректирующего устройства находим номиналы элементов R и C, входящих в схему. Значение одного из параметров задаем. Например, для Wk1выбираем цепь

61

первого типа, так как наклон ЛАХ отрицательный. Задаем

R2=100000 Ом.

Из равенства Tg1=R2.C находим:

C := Tg1 , C = 1 ´ 10- 3 . R2

Емкость получаем в фарадах.

Из равенства Tg (R1 + R2)×C определяем R1 := Tg - R2×C,

C

R1 = 5.994´ 105 Ом.

Входящие в устройство RC-цепи имеют собственные коэффициенты усиления Lo, все они меньше или равны единице, т. к. устройства пассивные. Находим численные значения этих коэффициентов и вычисляем коэффициент усиления операционного усилителя из условия, чтобы произведение коэффициентов

RC - цепочек на коэффициент операционного усилителя равнялось Кк.

3.2.4. Построение переходных процессов

Поскольку система состоит из апериодических звеньев первого порядка и реальных форсирующих звеньев, запишем для них конечно-разностные уравнения:

62

Введем функции для вычисления последующих значений yi+1 в апериодическом и форсирующем звеньях и, чтобы не за-

нимать память, в программе взамен индексов будем применять имена с добавкой символа n для i+1 и o - для i.

fa(ka,Ta , x,yo ) := ka×Dt×x + (Ta - Dt)×yo , Ta

ff(kf ,Tf1,Tf2,xn,xo, yo ) := kf×ëTf1×xn + (Dt - Tf1)×xoû + (Tf2 - Dt)×yo . Tf2

Представим изображение выхода объекта по Лапласу в виде:

Kuy ×e- s×t×U(s) + Kzy×(t1×s + 1)×Z(s)

Y(s)

(T3×s + 1)×(T2×s + 1)×(T1×s + 1)

или

Как видно, объект можно представить как последовательное соединение апериодического звена со звеном чистого запаздывания, к которым параллельно подключено формирующее звено, а с этим параллельным соединением последовательно включены два апериодических звена. При составлении программы выходы звеньев, соединенных параллельно, суммируются. При последовательном соединении выход предыдущего звена является входом последующего.

Задаём шаг дискретизации, начальные условия, проверяем параметры системы:

Dt := 0.02

Задаем число точек переходного процесса: N := 1600 . Запишем программу для расчета переходных процессов.

63

pro(g ,zn) := ymax ¬ 0

for i Î 1.. N

en ¬ g - xn

u1n ¬ ff(Kk, Tg1, Tg , en ,eo ,u1o)

u2n ¬ ff(1,T2,Tg ,u1n ,u1o ,u2o)

u3n ¬ ff(1,T1,T2im,u2n , u2o, u3o)

u4n ¬ ff(1,Td ,T2im,u3n ,u3o , u4o)

u5n ¬ fa(Kpr2,T1im,u4n ,u5o) ui ¬ fa(Kim,T2im,u5n , ui-1)

eo ¬ en u1o ¬ u1n u2o ¬ u2n u3o ¬ u3n u4o ¬ u4n u5o ¬ u5n

uu ¬ uo if i £ d

uu ¬ ui-d, 0 if i > d

y1n ¬ Kzy×ët1×zn + (Dt - t1)×zoû + Kuy×Dt×uu + (T1 - Dt)×y1o T1

zo ¬ zn

y2n ¬ fa(1,T2,y1n ,y2o) yi ¬ fa(1,T3,y2n , yi-1)

ymax ¬ yi if ymax < yi

y1o ¬ y1n

y2o ¬ y2n

xn ¬ fa(Kdd , Td ,yi,xo)

xo ¬ xn

æ ymax ö return çç u ÷÷

è y ø

64

Обращение к программе для расчета переходного процесса при изменении задания на величину g=0,16, что соответству-

Максимальное изменение у составляет 5,7, величина перерегулирования с учетом номинального значения в 20о

s := (ymax - gy)×100 или σ=8.5. y_s

Переходный процесс "задание - выход объекта" в приращениях при ступенчатом изменении задания показан на рис. 19, переходный процесс "задание – управление " – на рис. 20.

6

yi 4

gy 2

0

i×Dt

Рис. 19. Переходный процесс для выхода объекта

0

0.2

ui

0.4

0.6

i×Dt

Рис. 20. Переходный процесс для управляющего воздействия

Для оценки поведения системы при изменении возмущения зададим максимальную величину возмущения и вновь обратимся к программе:

zn := z_s ×0.2, zn=0.06,

65

Переходный процесс "возмущение – выход объекта" в приращениях при "ступенчатом " изменении возмущения приведен на рис. 21.

8

4

yi

0

4

i×Dt

Рис. 21. Переходный процесс для выхода объекта при изменении возмущающего воздействия

Как видно из рис. 19, 21, переходный процесс при изменении задания сходится к заданию, при изменении возмущений переходный процесс сходится к нулю.

3.3. Синтез модальной системы регулирования

Этот метод синтеза замкнутых систем[3, 5] используется при описании систем в пространстве состояний, когда ее математическая модель представлена системой дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в форме Коши:

xi ' (t) = a i,1x1 (t)+...+ a i,n x n (t)+ b i,1u1 (t )+...b i,m u m (t ), i =1...n ,

исистемой алгебраических функций для выходов объекта

y j (t) = c j,1x1 (t)+ ... + c j,n x n (t), j = 1...k ,

где xi – координаты состояния или переменные состояния; ui – управляющие воздействия; yj – выходы объекта управления; a, b, c – постоянные коэффициенты; n – порядок системы уравнений, равный числу координат состояния; m – количество управляющих воздействий; k – количество выходов объекта.

66

В матрично-векторной форме система уравнений имеет

где x, y, u - векторы координат состояния системы, выходов объекта и управлений; A, B, C – матрицы коэффициентов.

Если все переменные состояния x(t) могут быть измерены или вычислены, возникает возможность управления каждой со-

ставляющей esi t переходного процесса замкнутой системы, где si - i-й корень характеристического уравнения замкнутой системы. Эти составляющие называются модами, а способ управле-

ния, основанный на размещении корней характеристического уравнения определенным образом, – модальным управлением.

Переменные состояния могут быть измерены с помощью соответствующих средств измерения. Тогда регулятор, использующий обратные связи по переменным состояния, называется регулятором состояния. При этом качество переходного процесса определяется расположением корнейsi на комплексной плоскости, которое, в свою очередь, зависит от коэффициентов передачи цепей обратной связи.

Приведение системы в любое заданное состояние означает принципиальную возможность управляемости, а возможность определения состояния системы по результатам измеренийна- блюдаемости.

Рассмотрим полностью управляемый объект с одним

управление u(t) – представлены отклонениями от номинальных установившихся значений, причем, переменные состояния могут быть измерены и использованы при построении регулятора состояния. Система в этом случае называется системой с полной информацией о состоянии.

67

В качестве регулятора часто используют пропорциональный регулятор, формирующий управление по переменным состояния

где K - вектор коэффициентов регулятора; Т - признак транспонирования, g – вектор заданий для переменных состояния.

Подставляя уравнение регулятора (30) в уравнение состояния (29), получим уравнение состояния для замкнутой системы

Синтез регулятора состояния заключается в определении вектора коэффициентов передачи К из условия обеспечения желаемого расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы, обеспечивающего необходимые динамические свойства системы.

Решают задачу синтеза модального регулятора методом, использующим матричные преобразования. Этот метод состоит из следующих этапов.

1. При известном математическом описании объекта управления составляют уравнение состояния x& = Ax + B u .

2. Вычисляют матрицу управляемости объекта

U= [B, AB, A 2 B,..., A n-1B]

ипроверяют совпадение ранга этой матрицы с размерностью системы. Рангом матрицы называют максимальный порядок её диагонального определителя, отличного от нуля. Если ранг матрицы управляемости равен порядку системы n, то система будет полностью управляема.

3.Определяют характеристический многочлен матрицы А по формуле

D А (s) = det (I × s - A) = s n + а n-1s n -1 + ... + а1s + a 0 .

4. Если система полностью управляема, то матрицы A и B записываются в так называемой канонической форме Луенбергера

68

Элементы последней строки матрицыА* равны коэффициентам характеристического полинома матрицы А, взятыми со знаком минус. Измененным матрицам А* и В* соответствует новое уравнение состояния объекта

x&* = A * x * +B * u .

5. По матрицам А* и В* составляют новую матрицу управляемости

U* = [B*, A *×B*, A *2 ×B*,..., A *n-1 ×B *]

и находят матрицу перехода от исходного уравнения к преобразованному в каноническую форму

T = U * U-1 .

Переход от исходного уравнения к преобразованному осуществляется умножением слева каждого слагаемого исходного уравнения на матрицуТ, а также умножением матрицыА справа на Т-1T = I , т. е.

Тx& = ТAT-1Tx + ТB u .

Сопоставляя последнее уравнение с x&* = A * x * +B * u , можно записать соотношения между исходными матрицами, а также векторами, и преобразованными:

x&* = Тx& , x* = Tx , A* = ТAT-1 , B* = ТB .

Линейное преобразование дифференциального уравнения не изменяет корней характеристического уравнения.

6. По заданным показателям качества строят область допустимых корней характеристического уравнения замкнутой системы и выбирают n корней характеристического уравнения. Используя выбранные корни, записывают характеристический полином замкнутой системы в форме Безу

69

Dж (s) = Õn (s - si ).

i=1

и, раскрывая скобки, сводят подобные члены

Dж (s) = s n + b n -1s n-1 + ... + b1s + b 0 .

7.Вычисляют компоненты канонического вектора обрат-

ной связи К* как разность коэффициентов полиномов D ж (s) и

Dp (s) , т. е. к *i = b i - a i , i = 1,...n .

8.С помощью матрицы преобразованияТ преобразуют коэффициенты вектора К* из канонического базиса, в котором

они определены, в естественный базис, в котором записаны исходные уравнения состояния, т.е. определяют вектор К = К*Т·Т .

Коэффициенты этого вектора кi и являются коэффициентами передачи обратной связи, при которых обеспечивается желаемое поведение системы, соответствующее характеристиче-

скому полиному D ж (s) .

9. По уравнению (31) записывают матричное уравнение для вектора переменных состояния замкнутой системы в преобразованиях Лапласа для нулевых начальных условий

Из (32) получают характеристический полином замкнутой системы с учетом вычисленных в п. 8 коэффициентов регулятора

D(s) = det (I × s - A + B × K Т ) = 0

исравнивают с D ж (s) . Полиномы должны совпадать.

10.По уравнению (32) находят вектор X(s)

затем Y(s)=CX(s).

Выполнив обратное преобразование Лапласа от Y(s), получают вектор переходных процессов для выходов.

Строят переходные процессы, определяют показатели качества.

70