Теория автоматического управления (Курсовое проектирование). Учебное пособие

Пример. Для объекта с передаточной функцией

Ko

Wo(s) =

(T1× s +1)(T2 × s +1)

и исполнительного механизма с передаточной функцией

Wи(s) = Kи / s ,

при Ko=2, Т1=10, Т2=20, Ки=0,5 определить коэффициенты модального регулятора, обеспечивающие в замкнутой системе регулирования степень устойчивости не нижеh = 0,1 и колебательность не более m = 1,9. При таких показателях время регулирования не должно превысить30 с при = 0,05 и величина перерегулирования не должна быть больше 20 %.

Синтезируем модальную систему в соответствии с приведенным алгоритмом.

1. Объект управления с исполнительным механизмом можно представить в виде последовательного соединения интегрирующего звена и двух апериодических звеньев первого порядка

(рис. 22).

Рис. 22. Схема объекта управления

Обозначив выходы звеньев как х1, х2, х3 и переходя от передаточных функций к дифференциальным уравнениям, запишем систему уравнений Коши для переменных состояния.

Для интегрирующего звена

Wи(s) = Kи = X1 (s) ® sX1 (s) = Kи × U(s) ,

s U(s)

или x1' (t) = Kи × u(t) .

71

Для второго звена

Выход объекта y(t)=x3(t).

В матричной форме систему уравнений можно записать

как:

x& = Ax + B u, у = Сх ,

где

В численном выражении матрицы А и В равны соответственно:

72

2. Составим матрицу управляемости

U = [B, AB, A 2 B] .

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, ее ранг равен трем.

3. Характеристический многочлен матрицы А:

D А (s) = det (I × s - A) = s3 + а 2s 2 + а1s + a 0 = s3 + 0,15s 2 + 0,005s . 4. Используя результаты п. 3, запишем матрицы А и В в

канонической форме Луенбергера:

5. По матрицам А* и В* составим новую матрицу управляемости:

Находим матрицу перехода:

T = U * ×U-1 ,

73

Проверим выполнение равенств:

A* = ТAT-1 , B* = ТB .

6. По степени устойчивости и колебательности выберем три корня характеристического уравнения замкнутой системы

s1 = -η = -0,1; s2 = -0,2 + j0,38; s3 = -0,2 - j0,38.

Запишем характеристический полином

D ж (s) = s3 - s 2 (s3 + s 2 + s1 ) + (s1s 2 + s1s3 + s 2 s3 )s - s1s 2s 3 ,

Dж (s) = s3 + 0,5s 2 + 0,224s + 0,01844 .

7.Вычислим компоненты канонического вектора обрат-

ной связи К* как разность коэффициентов полиномов D ж (s) и

8. С помощью матрицы преобразованияТ преобразуем коэффициенты вектора К* из канонического базиса, в котором они определены, в естественный базис, в котором записаны исходные уравнения состояния, т. е. определим вектор К = К*Т·Т:

é 0,7 ù

К= êê1,669úú .

êë1,669úû

9.Запишем матричное уравнение для вектора переменных состояния замкнутой системы в преобразованиях Лапласа при нулевых начальных условиях

(I × s - A + B × K Т )X(s) = B × K Т G(s) .

74

Рассчитаем D(s) = det (I × s - A + B × K Т ) и сопоставим с

Dж (s) = s 3 + 0,5s 2 + 0,224s + 0,01844 . Полиномы равны.

10.Для замкнутой системы(рис. 23) построим переходные процессы выхода и управления, причем примем задание для

уравно двум и пересчитаем его для вектора g, используя коэффициенты передаточной функции объекта:

g3=yзаданное=2, т. к. x3=y;

g2=2, т. к. коэффициент передачи от х2 к х3 (у третьего звена) равен единице;

g1=2/Ко, т. к. коэффициент передачи от х1 к х2 (у второго звена) равен Ко.

Рис. 23. Структурная схема модальной системы регулирования

Для определения переходного процесса решим матричное уравнение (33)

X(s) = (I × s - А + В × КТ )-1 × В × КT G(s) ,

Затем выполним обратные преобразования Лапласа для компонентов вектора Х(s), присвоим y(t):= х3(t), а управление вычислим как

u(t) = k1 × [g1 (t) - x1 (t)]+ k 2 ×[g 2 (t) - x 2 (t)]+ k 3 × [g 3 (t) - x 3 (t)].

75

Графики переходного процесса для выхода объектаy(t) и управляющего воздействия u(t) приведены на рис. 24, 25.

2

y(t) 1

0

t

Рис. 24. Переходный процесс для выхода объекта модальной системы

5

u(t)

0

- 5

t

Рис. 25. Переходный процесс для управления модальной системы

Как видно из рис. 24, выход объекта с точностью =0,05 сошелся к заданному значению 2 за время около 30 с. Перерегулирование отсутствует.

3.4. Синтез оптимального управления

Для объектов с периодическими процессами зачастую требуется изменять параметры(координаты или переменные состояния), такие как температура, давление, влагосодержание, концентрация веществ и т. д., от начальных значений до заданных конечных с обеспечением экстремума критерия и выполнении ограничений, накладываемых на управляющие воздействия и переменные параметры. В качестве минимизируемых крите-

76

риев управления или целевых функций могут бытьзатраты энергии, стоимость управления, квадратичное интегральное отклонение от задания, время перехода из начального в конечное состояние и т. д.

В зависимости от постановки задачи, применяются различные методы синтеза [10, 11] как разомкнутых, так и замкнутых систем. Если в постановке критерий управления нелинейно зависит от управления или координат объекта и отсутствуют ограничения типа «неравенство», то используют методы классического вариационного исчисления или динамическое программирование, причем, синтезируются как разомкнутые системы управления, так и замкнутые системы регулирования. Из замкнутых наиболее распространены методы синтеза систем с максимальным быстродействием и минимизируемым квадратичным комбинированным критерием. В системах регулирования отклонение начального состояния от заданного вызывается возмущающими воздействиями.

Если критерий оптимизации линейно зависит от координат объекта или управления и (или) присутствуют ограничения типа «неравенство», зачастую применяют принцип максимума Л. С. Понтрягина. Пример синтеза разомкнутой системы управления с использованием принципа максимума Л. С. Понтрягина приведен ниже.

Пример. Для разомкнутой системы (рис. 26), состоящей из объекта, исполнительного механизма и преобразователя, определить оптимальное управление и оптимальную траекторию выходной координаты объекта, обеспечивающие максимальное быстродействие при переводе объекта из заданного начального состояния в заданное конечное при ограничении на управляющее воздействие:

77

Рис. 26. Структурная схема системы управления

Передаточные функции объекта и исполнительного механизма:

Ko

Wo(s) = (T1 × s + 1)× (T2 × s +1)× (T3 × s + 1) ,

Kim

Wim (s) = (T1im × s + 1)× (T2im × s + 1) .

Преобразователь является пропорциональным звеном с коэффициентом передачи Кpr.

Значения параметров передаточных функций: Ko = 2,4, T1 = 48, T2 = 27, T3 = 11,

Kim = 2, T1im = 3, T2im = 1, Kpr = 1,6.

Определим оптимальное управление в соответствии с алгоритмом.

1.Записываем систему уравнений, описывающих объект с исполнительным механизмом и преобразователем в форме Коши.

2.Составляем функцию Гамильтона.

3.Проводим анализ зависимости функции Гамильтона от управляющего воздействия. Если зависимость линейная и управляющее воздействие ограничено, на основании принципа максимума Понтрягина и теоремы о переключениях(для задачи

4.В зависимости от знаков коэффициентов передачи звеньев, начального и конечного значений управляемой координаты выбираем начальное значение управления.

5.Записываем решения системы дифференциальных уравнений объекта и исполнительного механизма для управляемой координаты по интервалам постоянства управления.

78

6.Для первого участка определяем константы интегриро-

вания.

7.Записываем уравнения стыковки (совпадения) решений

ивсех производных, исключая старшую, на границах участков. Записываем уравнения для конечной точки tk.

8.Решая полученную систему алгебраических уравнений, находим неизвестные константы интегрирования, точки переключения управления и конечную точку.

9.Строим графики для выхода объекта и управления.

Реализация алгоритма. Записываем систему уравнений в форме Коши, обозначив через u управляющее воздействие, поступающее на вход преобразователя, через хi - промежуточные координаты, у = х5 - выход объекта. Объект, совместно с исполнительным механизмом и преобразователем, можно представить в виде последовательного соединения пяти апериодических звеньев первого порядка и система уравнений может быть записана как система для этих пяти апериодических звеньев:

Функция Гамильтона из условия максимального быстродействия или минимального конечного времениtk перехода из начального в конечное состояние для этой системы запишется как

Н = y1(t) Kpr × u(t) - x1(t) + y2(t) Kim × х1(t) - x2(t) + Tim1 Tim 2

+ y3(t) Ko × х2(t) - x3(t) + y4(t) х3(t) - x4(t) + T1 T2

+ y5(t) х4(t) - x5(t) . T3

79

В соответствии с принципом максимума Понтрягина оптимальное управление должно обеспечивать максимум функции Гамильтона в каждый момент времени явном виде, т. е.

ìa, если y1 × Kpr > 0, u = í

îb, если y1 × Kpr < 0.

Как видно, управление является кусочно-постоянной функцией времени. Количество интервалов постоянства в соответствии с теоремой о переключениях, при всех действительных корнях характеристического уравнения системы, состоящей из апериодических звеньев, равно порядку уравнения, т. е. пяти. Количество переключений управления равно четырем.

Дифференциальное и характеристическое уравнения для выходной координаты объекта записываются для разомкнутой системы по передаточным функциям объекта, исполнительного механизма и преобразователя. Запишем выражение для изображения по Лапласу выхода объекта с использованием указанных передаточных функций

Y(s) = Wo(s) × Wim(s) × Kpr × U(s)

или

Ko × Kim × Kpr × U(s)

Y(s) = (T1 × s + 1)× (T2 × s +1)× (T3 × s + 1)× (T1im × s + 1)× (T2im × s + 1).

Выполняя обратное преобразование Лапласа, получаем дифференциальное уравнение пятого порядка для у(t). Характеристическое уравнение получаем, приравняв нулю знаменатель передаточной функции и считая s некоторой комплексной переменной:

(T1 × s + 1)× (T2 × s + 1)× (T3 × s + 1)× (T1im × s + 1)× (T2im × s + 1)= 0 .

Корни уравнения опишем в системе Mathcad:

и выведем результат расчета

s1= -0.091, s2= - 0.037, s3= -0.021, s4= -0.333, s5= -1.

80