Теория автоматического управления (Курсовое проектирование). Учебное пособие

чи разомкнутой системы. Для ее определения запишем по схеме, показанной на рис. 6, выражения для сигналов и передаточных функций в изображениях по Лапласу:

Y(s) Z(s)×Wzy(s) + E(s)×Wey (s),

Wey (s) Wk(s)×Wpr2(s)×Wim(s)×Wuy (s), E(s) G(s) - Y(s)×Wpr1(s)×Wd(s ).

Подставим выражение для E(s) в правую часть первого уравнения и выразим Y(s) для замкнутой системы:

Z(s) = Dz / s, G(s) = Dg/s .

Установившееся значение на выходе объекта при постоянных входных воздействиях по правилу предельного перехода

определяется как lim y(t) = lim[Y(s) × s], тогда установившееся

t®¥ s®0

значение отклонения выхода объекта от номинального равно

Dy = Dz × Kzy + Dg × Key , 1 + Key × Kpr1× Kd

где Key = Kk × Kim × Kpr2 × Kuy - коэффициент передачи участка

разомкнутой цепи от e(t) к y(t); Kuy и Kzy – коэффициенты передачи объекта от входов u(t) и z(t) к выходу y(t); Kk, Kim, Kd, Kpr1, Kpr2– коэффициенты передачи корректирующего звена, исполнительного устройства, датчика и преобразователей.

51

Задание Dg по значению заданному значению для выхода Dy з определяется как

Dg = DyзKd × Kpr1.

Погрешность регулирования равна разности e = Dу - Dу з

Так как знаки у задания и возмущения могут быть противоположными, максимальное значение погрешности получится при суммировании значений в числителе, и это значение не должно превышать допустимую величину:

Таким образом, по величине допустимой установившейся ошибки определяем коэффициент передачи желаемой разомкнутой системы или корректирующего звена. Начальный участок ЛАХ в этом случае проходит горизонтально на высоте не ниже

20lg(Kжел), а Kжел = Kk × Kim × Kpr2 × Kuy × Kd × Kpr1 - коэффи-

циент передачи желаемой разомкнутой системы.

2. Среднечастотный участок. Частоту среза желаемой ЛАХ определяют по условию устойчивости замкнутой системы с учетом необходимого запаса устойчивости, т. е.

j(wср )- jзап ³ -p .

На частоте среза наклон ЛАХ из условия достижения устойчивости замкнутой системы должен быть равен -20 дб/дек и длина этого среднечастотного участка равна 1-2 декадам.

52

Если в составе располагаемой части системы имеется звено чистого запаздывания с фазовой характеристикой–ωτ, то частота среза определяется однозначно, если же такое звено отсутствует, то теоретически частота среза может быть любой и ее выбирают из требуемого быстродействия, т. к. время переходного

тотах ЛАХ желаемой и располагаемой частей проходят либо параллельно, либо сливаются.

Пример. Синтезировать систему регулирования температуры коптильного дыма на выходе холодильника с номинальными параметрами потоков: температура дыма 20 оС (выход

возмущения не более чем на20 % от номинальных значений. Величина перерегулирования не более30 % от номинального уровня.

3.2.1. Построение ЛАХ располагаемой части системы

Параметры устройств, входящих в располагаемую часть системы управления:

Kd

- датчик с передаточной функцией Wd(s) ,

Td×s + 1

где Kd = 0,21 - коэффициент усиления датчика; Td = 9 - постоянная времени датчика; - преобразователи с передаточными функциями пропорцио-

нальных звеньев и коэффициентами передачи: Kpr1 = 0,19, Kpr2 = 16;

- исполнительный механизм с передаточной функцией

53

Kim

Wim(s) , (T1im×s + 1)×(T2im×s + 1)

где Kim = - 0,123, T1im = 1, T2im = 2 - коэффициент усиления и постоянные времени исполнительного механизма; - объект с передаточными функциями

Kuy × e -s×t

Wuy(s) = (T1× s + 1)× (T2 × s + 1)× (T3 × s + 1),

Kzy × (t1 × s + 1)

Wzy(s) = (T1× s + 1)× (T2 × s + 1)× (T3 × s + 1) ,

где t := 10 - чистое запаздывание; Kuy = -14; T1 = 18; T2 = 2,7;

(T3×s + 1)×(T2×s + 1)×(T1×s + 1)×(Td×s + 1)×(T1im×s + 1)×(T2im×s + 1)

Коэффициент усиления располагаемой части системы:

Kpc := Kuy ×Kd ×Kpr1×Kim×Kpr2, Kpc = 1.099 .

Построение располагаемой ЛАХ начинаем на высоте

20×log(Kpc) = 0.823 .

По значениям постоянных времени определяем частоты, на которых происходит излом ЛАХ:

54

T2im

Построим асимптотическую логарифмическую амплитуд- но-частотную характеристику (ЛАХ) располагаемой части системы, определяемой через сумму ЛАХ апериодических звеньев первого порядка:

Las1(w, T) := 0 if w < 1 T

-20×log(T) - 20×log(w ) otherwise

Las2(w) := 20×log(Kpc) + Las1(w,T11) + Las1(w, Td) + Las1(w, T22),

Las(w) := Las2(w) + (Las1(w, T1im) + Las1(w, T2im) + Las1(w,T33)).

График асимптотической ЛАХ Las(ω) показан на рис. 15.

Для проверки асимптотической ЛАХ построим также действительную ЛАХ. Для этого запишем по передаточной функции располагаемой системы ее частотную характеристику:

j := -1,

( ) Wpc2(w)

Wpc w := (Td× j×w + 1)×(T1im× j×w + 1)×(T2im×j×w + 1).

Тогда амплитудно-частотная характеристика АЧХ располагаемой части системы имеет вид:

Apc (w ):= Im(Wpc (w ))2 + Re(Wpc (w ))2.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ располагаемой части системы) определяется как

LAHpc (w) := 20×log (Apc (w)).

Её график также показан на рис. 15.

55

3.2.2. Построение желаемой ЛАХ и ЛАХ корректирующего звена

Определим коэффициент усиления желаемой ЛАХ из условия обеспечения допустимой погрешности в два процента от номинального уровня в установившемся режиме при отклонении задания y и возмущения ∆z на 20 % от номинальных значений:

Dz := 3.3×0.2 Dz = 0.66 Dy := 20×0.2 e := 20×0.02 e = 0.4 Dg := Dy×(Kpr1×Kd), Dg = 0.16

Key Kk×Kim×Kpr2×Kuy,

Коэффициент передачи корректирующего звена

Kk := Dz×Kzy + Dy - e , e×Kpr1×Kd×Kim×Kpr2×Kuy

Kk = 177.791 .

Округлим его до ближайшего большего целого

Kk := round (Kk + 0.5, 0), Kk=178.

Коэффициент усиления желаемой системы

Kg := Kk×Kpc , Kg=195.68.

Построение желаемой ЛАХ (рис. 15) начинаем горизонтальным участком на высоте 20×log(Kg) = 45.831 .

Определяем частоту среза желаемой ЛАХ из условия

обеспечения требуемого запаса устойчивости f := p , что со-

4

ставляет 45 о.

Из условия j(wср )- jзап ³ -p и учитывая, что на частоте среза угол наклона ЛАХ равен -20 дб/дек, а следовательно, фазовая характеристика без учета звена запаздывания примерно равна –π/2, уравнение для расчета частоты среза можно записать как wсp × t + f = p / 2 , и wсp = (p / 2 - f)/ t ,

wcp = 0.079 , log(wcp) = -1.105 .

Уменьшим частоту среза для обеспечения устойчивости (смотри дальше) до 0.04 рад/с.

Для обеспечения устойчивости ЛАХ желаемой системы на частоте среза должна иметь наклон -20 дб/дек и длина этого участка, называемого среднечастотным, должна быть не менее декады.

56

Сопряжение горизонтального низкочастотного участка со среднечастотным для обеспечения необходимого быстродействия производят прямой под наклоном -40 дб/дек или -60 дб/дек. Переход с линии сопряжения на линию-20 дб/дек задаём в точке ωg1=0.01, наклон линии сопряжения выбираем-40 дб/дек.

При построении линии сопряжения используем параметр, В равный модулю наклона линии. При наклоне -40 дб/дек В:=40, для наклона -60 дб/дек параметр В=60.

Строим вспомогательные линии для желаемой ЛАХ:

Для w ³ w2 изломы желаемой асимптотической ЛАХ повторяют изломы располагаемой ЛАХ.

Lasg(w) := Lasgn (w) + (Las1(w,T1im) + 3 Las1(w, T2im) + Las1(w,T3)).

57

Рис. 15. Логарифмические частотные характеристики

Частотная характеристика разомкнутой системы, восстановленная по желаемой ЛАХ, равна

58

где n определяется наклоном линии сопряжения. Для наклона

-40 дб/дек n=2.

Амплитудно-частотная характеристика АЧХ желаемой системы имеет вид:

Ag (w ):= Im(Wg (w ))2 + Re(Wg (w ))2.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика желаемой системы части системы определяется так:

LAHg(w) := 20×log(Ag (w)).

ЛАХ и асимптотическая ЛАХ корректирующего звена определяются как разность ЛАХ желаемой и располагаемой системы:

LAHk(w) := LAHg(w) - LAHpc(w), Lask(w) := Lasg(w) - Las(w).

Асимптотическая логарифмическая характеристика корректирующего звена показана на рис. 15.

Проверяем запас устойчивости желаемой системы, определяя угол запаса по фазе:

f2 := (n - 1)atan(Tg1×wcp) - n atan(Tg×wcp) - 3 atan(T2im×wcp) f1 := f2 - atan (T1im×wcp) - atan (T3×wcp) - wcp×t

180 + f1× 180 = 40.944 . p

Как видно, даже с предварительно уменьшенной частотой среза полученный запас устойчивости по фазе меньше планировавшегося первоначально в 45 о.

Если запас устойчивости окажется слишком маленьким, следует либо увеличить длину среднечастотного участка ЛАХ, либо уменьшить частоту среза, либо уменьшить наклон участка сопряжения горизонтальной и среднечастотной частей ЛАХ, если он был больше 40 дб/дек по модулю.

Проверяем устойчивость полученной системы по критерию Найквиста. Для этого строим комплексную частотную характеристику (КЧХ) разомкнутой системы (рис. 16).

59

Re(Wg( w) )

Рис. 16. Комплексная частотная характеристика разомкнутой системы

Поскольку КЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1,j0), а характеристическое уравнение разомкнутой системы имело все действительные отрицательные корни, следовательно, замкнутая система устойчива.

3.2.3. Получение передаточной функции и схемы корректирующего звена

Зная передаточные функции располагаемойWpc(s) и желаемой Wg(s) систем, находим вид передаточной функции

корректирующего устройства из условия Wk(s) = Wg(s) :

Wpc(s)

Wk(s) := Kk×(Tg1×s + 1)n-1×(T11×s + 1)×(Td×s + 1)×(T22×s + 1) . (Tg×s + 1)n×(T2im×s + 1)2

На основании полученной передаточной функции корректирующего устройства выбираем его принципиальную схему. Для n=2 она будет состоять из четырёх последовательно соединённых участков:

Wk(s) Kk×Wk1(s )×Wk2(s)×Wk3(s)×Wk4(s),

60