Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по дисциплине «Теория массового обслуживания»

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

657 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

очереди, s<s0 и прибор продолжает работать, если s s0 .

Рассмотрим случай, когда в описанной выше системе массового обслуживания имеют место потери только двух типов:

1.L1 – потери от ожидания заявок в очереди;

2.L2 – потери, связанные с работой резервного прибора (потери на амортизацию резервного прибора).

Пусть L(so) - средние суммарные потери системы в единицу времени имеют вид:

L(s0) L1(s0) L2(s0),

где L1(s0 ) – средние потери в единицу времени от ожидания заявок в очереди;

L2 (s0 ) – среднее значение потерь на амортизацию резервного прибора в

единицу времени;

Эти потери зависят от параметра s0 и оптимизация рассматриваемой системы массового обслуживания сводится к нахождению минимума функции

L(s0 ) по s0.
Обозначая		, x0	s0 , получим:
Обозначая		, x0	s0 , получим:

				L(x0 ) 1L1(x0 ) 2L2 (x0 ),			(9.1)
где 1 -– потери от ожидания заявки в очереди в единицу времени, 2							- потери в
единицу времени от работы резервного прибора.
При 1
L1(x0 )	2 4x0 x02
L1(x0 )	6 2x0		,
	6 2x0		,
				L2 (x0 )	1	,	(9.2)
				L2 (x0 )		,	(9.2)
					3 x0

а при 1

				1			x0e	(1 )x0		1 e		(1 )x0
L (x			)	1	(1 2 )		x0e			1 e
L (x		0	)		(1 2 )
1		0									1
				m							1

	(1 )(1 2 )x					0e(1 )x0			(1 )e		(1 )x0		2 x0 (1 2 ) (9.3)
															,
					2 2									2 2 (1 2 )	,
					2 2									2 2 (1 2 )

( 1)e(1 )x0

L2 (x0 ) m ,

где m (2 1) e(1 )x0 .

9.2.ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.Вывести уравнения для финальных плотностей вероятностей,

описывающих поведение указанной выше СМО, условия в нуле и условия

нормировки.

2.Получить аналитически решение уравнений для определения вида финальных вероятностей.

3.Получить вид средних суммарных потерь системы вида (9.2) при ρ=1 и

вида (3) при ρ≠1.

4.Построить графики функций L1(x0 ), L2(x0 ), L(x0 ) для указанных в

табл.9.1 значений параметров в соответствии с номером варианта.

				Таблица 9.1
		Значение параметров

№ варианта			b	d1 /d2
			x0 [0,b]	d1 /d2



1	0,6		[0,30]	0,005
2	0,7		[0,35]	0,006
3	0,8		[0,40]	0,007
4	0,9		[0,45]	0,008
5	1,1		[0,50]	0,009
6	1,2		[0,55]	0,015
7	1,25		[0,60]	0,020
8	1,3		[0,65]	0,025
9	1,35		[0,7]	0,027
10	1,4		[0,75]	0,025

x0opt

Какой вид имеют указанные функции, если d1 d2 , d1 d2 ,	d1	1?
	d2

5. Решить задачу нахождения оптимального момента включения резервного прибора x0opt , минимизирующий функцию потерь L(x0 ). Привести графики зависимости от Т (T d1 /d2 ) для указанных в табл. 9.2 значений и T (0,a) в соответствии с номером варианта.

Таблица 9.2

Значения параметров

	№ варианта		а

	1		0,04				1,3

	2		0,05				1,2

	3		0,06				1,1

	4		0,07				1,5

	5		0,08				0,9

	6		0,09				0,8

	7		0,1				0,7

	8		0,15				0,6

	9		0,2				0,65

	10		0,25				0,75

Как ведет себя x0opt , если d1		d2 , d1		d2 ,	d1	1?
Как ведет себя x0opt , если d1		d2 , d1		d2 ,		1?
					d2

(s)

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 10. ОПТИМИЗАЦИЯ СМО С ПЕРЕМЕННОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ОБСЛУЖИВАНИЯ

10.1. МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Цель работы: приобрести компетенции по оптимизации СМО с

переменной интенсивностью обслуживания.

Рассмотрим однолинейную систему массового обслуживания, на которую поступает простейший поток заявок интенсивности (рис.10.1).

	s	(s)
		(s)

Рис. 10.1. Схема однолинейной СМО

Если заявка, находящаяся в данный произвольный момент времени t

первой в очереди, поступила в систему в момент времени t0, то величину s(t) = t-t0 будем называть текущим временем ожидания заявки, находящейся первой в очереди. Обслуживание предполагается марковским с интенсивностью

вида

	1		при	s s	0	(10.1)
(s)		1	при
2				s s0

где s0- некоторая положительная константа.

Переключение от обслуживания с одной интенсивностью на обслуживание с другой интенсивностью описывается следующим правилом.

Если обслуживание происходило с интенсивностью μ1, то переключение на обслуживание с большей интенсивностью μ2 происходит тогда, когда текущее время ожидания s заявки, находящейся первой в очереди станет равным s0.

Если же заявка обслуживается с интенсивностью μ2, то переключение на обслуживание с интенсивностью μ1 происходит тогда, когда s станет меньше s0.

Очевидно, что это обратное переключение с интенсивности μ2 на интенсивность

μ1 происходит тогда, когда заявка, стоящая первой в очереди, поступает на

обслуживание и ее место занимает заявка, ранее бывшая в очереди второй.

Поведение рассматриваемой системы массового обслуживания описывается марковским процессом s(t) с особыми состояниями υ(t) = 0 и υ(t) = 1, где s(t) – текущее время ожидания заявки, находящейся первой в очереди, а υ(t) – число требований, находящихся в момент времени t на обслуживании,

если очередь в этот момент пуста.

Состояние υ(t) = 0 – система пуста (то есть очередь пуста, на приборе нет заявки). Состояние υ(t) = 1 заключается в том, что очередь пуста, а на приборе находится заявка, которая обслуживается.

Обозначим финальную плотность вероятностей ρ(s) через ρ1(s) в области

0 ≤ s ≤ s0 и ρ2(s) в области s ≥ s0. Обозначим через π(0) финальную вероятность того, что система находится в состоянии υ(t) = 0, а через π(1) финальную вероятность того, что система в некоторый момент времени t находится в состоянии υ(t) = 1.

Будем считать, что в описанной системе массового обслуживания имеют место потери только двух типов.

1. Потери от ожидания. Потери от ожидания определяются числом заявок i, находящихся в очереди. Если в очереди в течение единицы времени находится i заявок, то будем считать, что потери от ожидания в единицу времени равны F(i) . Тогда L1 - среднее значение потерь от ожидания в единицу времени имеет вид:

L1		s0 ~		(s)ds		~	(s)ds,	(10.2)
L1	MF(i) F(s)P1			(s)ds		F(s)P2	(s)ds,	(10.2)
		0				s0
где функция F~(s) имеет вид:
~			( s)i 1e	s
F(s) F(i)					.			(10.3)
F(s) F(i)					.			(10.3)
	i 1		(i 1)!
В частности,	если F(i) C1i , где C1					- потери от ожидания одной заявки в
единицу времени, то F~(s) C1 ( s 1).

P1	(s)		2( )(				)exp[( )s]
					1	2				1		,
		2							2			,				(10.4)
		( 1		2)exp[( 1)s0] 1						( 2)						(10.4)

P	(s)		2( 1)( 2)exp[( s 1s0 2(s s0)]
															.
			2(			)exp[( )s			] 2		(			)	.
2			2(			)exp[( )s			] 2		(		2	)
				1	2		1	0		1			2
В случае	1			формулы			(4)		не		пригодны,					так как имеется

неопределенность, раскрывая которую, получим

P1	(s)		( 2 )		,


		( 2 )(1 s0 ) 2					(10.5)
			( 2 )exp[(	2 (s s0 )]			(10.5)
P	(s)		( 2 )exp[(	2 (s s0 )]
						.
						.
2			( 2 )(1 s0 ) 2
			( 2 )(1 s0 ) 2

2. Потери на амортизацию. Если обслуживающий прибор работает с большой интенсивностью 2 , то считаем, что система в единицу времени несет потери, равные C2 . Тогда среднее значение потерь на амортизацию в единицу времени равно


L2 C2 P2 (s)ds .	(10.6)
s0

Таким образом, средние суммарные потери системы в единицу времени равны: L L1 L2 и имеют вид:

					s0			~									~								(10.7)
	L(s0 ) F(s)P1(s)ds F(s)P2 (s)ds C2																						P2 (s)ds .		(10.7)
			0													s0							s0
Обозначая 1								, 2					, x0				s0	и рассматривая частный случай, когда
Обозначая 1								, 2					, x0				s0	и рассматривая частный случай, когда
						1						2
						1						2
F(i) C1i для определения											оптимального										момента включения				большей
интенсивности x0opt получим уравнения:
при 1 1:
	C2						1 2				2			(		1) (		1)[(			1)(x		1)	]	(10.8)
	C1		2( 1								2			(		1) (		1)[(			1)(x		1)	]
	C1		2( 1				1)2(1 2)					1			2		1			2		0	2
									( 1	1)x0
		2(						)exp	( 1	1)x0				.
		2(						)exp						.
1			1				2

										1
при 1 1:
	C2			4 x0[2 (x0								2)(1 2 )]							.						(10.9)
	C1																		.						(10.9)
	C1									2 2

10.2.ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.Вывести уравнения для нахождения финальных вероятностей ρ1(s), ρ2(s). Вывести условия в нуле, условие на границе и условие нормировки.

2.Решить полученные уравнения аналитически и получить явный вид

ρ1(s), ρ2(s), π(0), π(1).

3.Получить вид средних суммарных потерь описанной системы массового обслуживания, используя формулы (2)-(7). Получить формулы (10.8) и (10.9).

4.Разработать алгоритм нахождения оптимального момента включения большей интенсивности обслуживания 2 , минимизирующий средние

суммарные потери системы в единицу времени (7). Привести блок – схему алгоритма.

	5. Численно реализовать этот алгоритм для частного случая, когда F(i) C1i.
	6. Вывести на экран графики зависимости x0opt																			от		C2	для указанных в
	6. Вывести на экран графики зависимости x0opt																			от			для указанных в
																						C1
таблице 10.1 значений 1, 2 в соответствии с номером варианта																								C		2
																										2

																									C1		[1,100] .
																									C1
											Параметры значений														Таблица 10.1
											Параметры значений
№ варианта							1														2
1							1									0,1					0,1
1							1		0,6,1,2;							0,1					0,1

2							1					0,1									0,15
2							1	0,5,1,3;				0,1									0,15
3							1												0,1		0,2
3							1	0,4,1,4;											0,1		0,2
4							1											0,2			0,25
4							1	0,2,1,0;										0,2			0,25

5							от 0,5 до 1,0 с шагом 0,1														0,3

6							1							0,2							0,35
6							1	0,3,1,2;						0,2							0,35
7							1						0,2								0,4
7							1	0,5,1,5;					0,2								0,4
8							1											0,2			0,5
8							1	0,6,1,4;										0,2			0,5

9							1										0,2				0,4
9							1			0,7,1,6;							0,2				0,4

10							1								0,1						0,45
10							1			0,5,1,2;					0,1						0,45

Как ведет себя x0opt , если
а) 1	1,	C2		2		?
а) 1	1,		C1			?
			C1		2
б) 1	1,		C2		(1 1 )( 1 2 )						?
б) 1	1,										?
			C1			2 (1 2 )

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 11. ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В ПРОЕКТИРОВАНИИ ПРОИЗВОДСТВА

11.1. МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Цель работы: определение оптимального состава заготовительно-

транспортного подразделения с помощью модели массового обслуживания;

-определение оптимальной степени загрузки дороги движением;

-расчет срока окупаемости затрат по устройству путепровода на пересечения автомобильных дорог.

Определение оптимального состава заготовительно-транспортного подразделения с помощью модели массового обслуживания.

Задание

Требуется сформировать состав транспортного подразделения (рассчитать количество автомобилей за одним погрузочным средством) по критерию минимума суммарных потерь от простоев погрузчика и автомобилей (решение задачи на модели массового обслуживания).

Исходные данные для расчета.

Сменная производительность экскаватора равна 350 /ч. Емкость кузова самосвала составляет 10 м3. Дальность возки грунта равна 25 км.

Стоимость машино-смены экскаватора равна 3000 руб; автосамосвала – 400 руб.

Решение

В качестве критерия эффективности принимаем минимум стоимости простоев заготовительно-транспортного подразделения (экскаватор и самосвалы), который имеет следующее математическое выражение:

СΣ пр = Рэ * Сэ + Nоч Ссам → min (11.1) где СΣ пр – суммарная стоимость простоев подразделения;

Рэ – вероятность простоя экскаватора;

Сэ – стоимость машино-смены экскаватора;

Nоч – среднее количество самосвалов в очереди на погрузку;

Ссам – стоимость машино-смены самосвала.

Эта зависимость может рассматриваться не только как критерий оптимальности, но и как цель решения (целевая функция). Ее графическая интерпретация показана на рис. 11.1.

Чем больше в подразделении самосвалов, тем меньше вероятность простоя экскаватора и тем меньше стоимость потерь от его простоя; наоборот,

будут большими потери от простоев самосвалов, т.к. с ростом числа самосвалов будет увеличиваться количество машин в очереди на погрузку.

При сокращении количества самосвалов будут возрастать потери от простоя экскаватора и сокращаться потери от простоев самосвалов.

Рассчитаем показатели Рэ и Nоч .

Рис.11.1. Зависимости потерь от простоев машин

По теории вероятностей для разомкнутых систем массового обслуживания

Рэ = 1 – ,

(11.2)

где ψ – интенсивность обслуживания равная отношению плотности потока требований на обслуживание λ (машин в час) к пропускной способности аппарата обслуживания μ (количества машин, которые экскаватор может

погрузить за час).

Производительность экскаватора задана и равна 350 м3/ч.

Производительность самосвала равна:

Псам	ТсмКсм				,		(11.3)

		Трейса
где Ө – емкость кузова самосвала (10			м3 /ч);
Тсм – продолжительность смены (7 часов);
Ксм – коэффициент использования рабочего времени 0,85);
Трейса – время рейса самосвала, рассчитываемое по формуле:
Трейса =		2L						2L
				Тпогр		Тразгр
		V						V
		ср						ср

где L – дальность перевозки грунта (25 км);

Vср – средняя скорость движения самосвала (принимается 30 км/ч).

Отсюда	Трейса = 2*12/30 = 0,6 час.
	Псам =	10 7 0,85	99м3/ч.

	0,6
С учетом полученных данных параметр μ будет равен:
μ = Пэ/Псам	= 350/99 = 3,54 = 4 самосвала/час
Условный поток требований на обслуживание, создаваемый одним
самосвалом равен:

λ1 = 1/ Трейса = 1/0,6			= 1,7 сам /час,
отсюда ψ1 =		λ1 / μ = 1,7 / 4 = 0,43.
Из теории массового обслуживания известно, что оптимальное значение
интенсивности обслуживания ψопт равно:

ψопт = 1 –		Ссам	, т.е. ψопт = 1 –	440	= 1-0,36= 0,64.
		Ссам
	Сэ Ссам
	Сэ Ссам			3000 400

Поскольку ψ = λ / μ, то:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]