Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по дисциплине «Экономико-математические модели и методы». Учебно-методическое пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
О.В. Любимцев
Практикум по дисциплине
«Экономико-математические модели и методы»
Учебно-методическое пособие
Нижний Новгород
ННГАСУ
2016
УДК 681.3
Любимцев О.В. Практикум по дисциплине «Экономико-математические модели и
методы» [Текст]: учеб.- метод. пос. / О.В. Любимцев; Нижегор. гос. архитектур. - строит.
ун-т - Н.Новгород: ННГАСУ, 2016. – 52с.
Разработано для курса практических занятий по дисциплине «Экономикоматематические модели и методы», проводимых автором для студентов экономических
специальностей ННГАСУ. Учебно-методическое пособие содержит основные теоретические сведения. Разобраны примеры решения типовых задач. Предлагаются задачи для самостоятельной работы.
© О.В. Любимцев, 2016
© ННГАСУ, 2016
Оглавление
§1. Введение в линейное программирование........................................................4
§2. Двойственность в задачах линейного программирования. Анализ
.....
ре
сурсов в оптимальном плане производственной задачи 15
§3. Транспортные модели................................................................................ 20
§4. Задача нелинейного программирования и ее реализация в среде
Excel..............................................................................................................................31
§5. Сетевые модели...................................................................................................34
§6. Динамические модели................................................................................44
Литература............................................................................................................ 54
3
§ 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Линейное программирование является наиболее простым и лучше
всего изученным разделом математического программирования. Характер
ные особенности задач линейного программирования (ЗЛП) следующие:
1) показатель оптимальности (целевая функция) f = f(xi, x2, ... , xn) пред
ставляет собой линейную функцию;
2) ограничительные условия (допустимое множество), налагаемые на воз
можные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.
Общая форма записи модели ЗЛП
f — c x + + ••• + cnXn —— max
a л + a l 2 X 2 + •••+ a \n X n — b
a 2\X \ + a 22 X 2 + ••• + a 2 n X n — b 2
a „ \X1 + a m 2 X2 + ••• + a mnX n — b m
x. > 0 , i — 1,2,•• •,n
Допустимое решение - это совокупность чисел (план) (xi, x2, ..., xn),
удовлетворяющих ограничениям задачи (принадлежащих допустимому
множеству).
Оптимальное решение - план, при котором целевая функция прини
мает максимальное (минимальное) значение.
Для решения ЗЛП существует универсальный метод - метод после
довательного улучшения плана, или симплекс-метод. Для реализации ука
занного метода в Excel, необходимо составить экономико-математическую
модель задачи, т.е. записать условия задачи в общей форме записи ЗЛП.
Основная процедура является общей для формулирования всех задач ли
нейного программирования:
Шаг 1. Определение переменных задачи, значения которых нужно полу
чить в пределах существующих ограничений.
Шаг 2. Определение целевой функции через переменные задачи.
Шаг 3. Описание ограничений через переменные задачи (определение до
пустимого множества).
4
Пример 1.1 (производственная задача)
Предприятие выпускает 2 вида продукции, используя 3 вида ресурсов.
Принятые обозначения: А - матрица норм затрат сырья, В - запасы ресур
сов, С - прибыль на единицу продукции:
' 14
А =
Требуется определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение
максимальной прибыли
Решение: Составим экономико-математическую модель задачи:
Шаг 1.
х1 - количество выпускаемой продукции первого вида;
х2 - количество выпускаемой продукции первого вида.
Шаг 2. Целевая функция является линейной функцией двух переменных:
14 8
v 6 12, v408,
5 ^
, В =
'350^
392
С = (10 5)
f = 10*! + 5х2 ^ max
Шаг 3. Допустимое множество задачи:
14* + 5х2 < 350
14* + 8х2 < 392
6* +12х2 < 408
х. > 0, i = 1,2
Для решения задач оптимизации в Excel существует надстройка «Поиск
решения». Чтобы использовать эту надстройку, необходимо сначала загру
зить ее. Для этого:
- на вкладке Файл выберите элемент Параметры, затем пункт
Надстройки;
- нажмите кнопку Перейти;
- В окне Доступные надстройки установите флажок Поиск решения, а
затем нажмите кнопку ОК.
Для вызова функции Поиск решения необходимо выбрать команду меню
Данные ^ Поиск решения.
Рассмотрим технологию решения, используя условия примера.
1) выберем адреса ячеек, в которые будет помещен результат реш е
ния (изменяемые ячейки) и оптимальное значение целевой функции:
5
оптимальные значения х1, х2 будут помещены в ячейках В3:С3 (для удоб
ства ссылок запишем в каждую из них 1), оптимальное значение целевой
функции - в ячейке G2.
2) введем зависимость для целевой функции: в ячейке G2, в соответ
ствии с математической моделью, наберем формулу
=10*B3+5*C3.
3) введем зависимости для ограничений: согласно математической мо
дели, в ячейках B6, B7, B8 указываем левые части ограничений-
неравенств:
=14*B3+5*C3
=14*B3+8*C3
=6*B3+12*C3
В ячейках C6, C7, C8 поместим числа, стоящие в правых частях ограниче
ний. Содержимое ячеек указаны на рис. 1.
рис. 1.
ГЛАВНАЯ ВСТАВКА РАЗМЕТКА СТРАНИЦЫ ФОРМУЛЫ ДАННЫЕ РЕЦЕНЗИРОВАНИЕ ВИД
fit *
Вставить
Буфер обмена Q
Е12
1 Изменяемые ячейки
2
3 1 1
4
5 Ограничения
6 =14*ВЗ+5*СЗ 350
7 -14*ВЗ+8*СЗ 392
8 =б*ВЗ+12*СЗ 408
9
Calibri » И *
Ж И - _
Шрифт
A h ~ =
т \й
Выравнивание
£
А Е С D Е F G
X I х2 Целевая ячейка =10*ВЗ+5*СЗ
4) запустим команду Поиск решения;
Ш?
Общий
® т % ООО
Число
*
№
а
«-,0 ,00
,Й0 4,0
форматирование' как таблицу’ ячеект
Гц
Стили
Вста
I* Уда/
Ц
Фор
Яче
Выберем команду меню Данные ^ Поиск решения. В отрывшемся окне
выполним следующие действия:
а) назначим ячейку для целевой функции (оптимизировать целевую функ
цию), укажем адреса изменяемых ячеек (изменяя ячейки переменных),
установим флажок на максимум.
6
б) введем ограничения (см. рис. 2):
- поместим указатель мыши на кнопку Добавить. Появится диалоговое
окно Добавление ограничения;
- в строке Ссылка на ячейку вводим адреса $B$6:$B$8;
- вводим знак ограничения;
- в строке Ограничение вводим адреса $C$6:$C$8
Рис. 2
в) в строке Выберите метод решения выберем вариант «Поиск решения
лин. задач симплекс-методом».
Теперь введены все необходимые условия для решения задачи (рис. 3).
Рис. 3.
Осталось поместить указатель мыши на кнопку Найти решение. Через не
продолжительное время появится диалоговое окно Результаты поиска
решения и исходная таблица с заполненными ячейками B3:C3 для значе
ний Xj и ячейка G2 с максимальным значением целевой функции (рис. 4).
7
Пол у ч ение
вн еш них дан ных *
ВСТАВК А РА ЗМ ЕТ К А С Т Р А НИ ЦЫ
С е
Под ключе ния
|S—I С в ойств а
ть
Измени ть связи
Подклю чения
Рис. 4.
ФО Р М УЛЫ ДА Н Н Ы Е
Я| Сорт и ровк а Фил ьтр
Со рти ровк а и ф ильтр
Очи с тить
Пов тори ть
Доп о л н и тел ь н о
РЕЦЕН З И Р О ВА НИ Е вид
.— E&V Мгн о венно е зап о лнен и е
- -
Текст по
ст олбц а м !i ® Провер к а дан ных -
В-* в Удалить д убликаты
Раб ота сд анным
И з м е н я ем ы е я че йк и
X I *2
20
О г ра н ич е ни я
35 0 350
392 392
2 S S 4 0 8
14
Результаты поис ка реш е ния
Решение най ден о. Все огр анич ения и усл овия
оп тим а льност и выпо лне ны.
(2) Сохрани ть найденное решение
О Восстановить исходные значения
1 1 В ерн уться в диал о г о вое о кно пара м е тров 1 Отч еты с о
Реш ен и е найд е н о . Все ог рани ч ения и усл ови я оптим аль н ости выпол н ены.
Если ис пол ьзу ется м од уль О П Г, т о н ай д е н о п о край н е й ме р е ло к а л ь н о
оп т и м альное р е ш е н и е Если исп оль зуе тся мо д у л ь поис ка реш ений лин ей ных зада ч
си м п л е к с -м ет одом , то н ай д е н о г ло б а льно о п тим альн о е ре ш ение.
Е | F
Ц е л е ва я яч е й ка 270
1 G
Н I J
ш
Резу л ьтаты
Ус тойчив о сть
Пр едел ы
Сох р анить сце нар ий..
В результате решения задачи был получен ответ: необходимо произвести
20 шт. продукции первого вида и 14 шт. продукции второго вида. При этом
максимальная прибыль составит 270 у.е.
Рассмотрим менее тривиальные примеры.
Пример 1.2 Цех мебельного комбината выпускает трельяжи, трюмо и
тумбочки. Норма расхода материала в расчете на одно изделие, плановая
себестоимость, оптовая цена предприятия, плановый ассортимент и трудо
емкость единицы продукции приведены в таблице. При этом запас древес
но-стружечных плит, досок еловых и березовых 90, 30 и 14 м3 соответ
ственно. Плановый фонд рабочего времени 16 800 чел./час.
Показатели Изделия
трельяж
трюмо тумбочка
Норма расхода материала,
м3: древесно-стружечные
0,032 0,031 0,038
плиты
доски еловые
доски березовые
Трудоемкость, чел./ час 10,2
0,02 0,02 0,008
0,005 0,005 0,006
7,5
5,8
Плановая себестоимость, у.е. 88,81 63,98 29,6
Оптовая цена предприятия,
93 67 30
у.е.
Плановый ассортимент, шт. 350 290 1200
8
Исходя из необходимости выполнить план по ассортименту и воз
можности его перевыполнения по отдельным (и даже всем) показателям
найти план производства, максимизирующий прибыль.
Решение: Составим экономико-математическую модель задачи.
Шаг 1.
х1 - количество выпускаемых трельяжей;
x2 - количество выпускаемых трюмо;
x3 - количество выпускаемых тумбочек.
Шаг 2. Целевая функция является линейной функцией трех переменных:
f — (93 — 88,81) x 1 + (67 — 63,98) x2 + (30 — 29,6) x3 — max
Шаг 3. Допустимое множество задачи:
0,032x + 0,031x2 + 0,038x3 — 90
0,02xj + 0,02x2 + 0,008x3 — 30
0,005x + 0,005x2 + 0,006x3 — 14
< 10,2x + 7,5x2 + 5,8x3 — 16800
X > 350
x2 > 290
x3 > 1200
^ 3
Теперь экономико-математическую модель задачи «переносим» в Excel
(см. пример 1). Содержимое ячеек указаны на рис. 5.
Рис. 5.
J J
34
35 Изменяемые ячейки
36
37 1 1 1 Целевая ячейка =4,19‘А37+3,02*В37+0,4‘ С37
38
39
40 Ограничения
41 =0,032*A37+0,03fB37+0,038*C37 90
42 =0,02*А37+0,02’ В37+0,008*С37 30
43 =0,005*А37+0,005*В37+0,006*С37 14
44 =10,2*А37+7,5*В37+5,8*С37 16800 I
45 =А37 350
46 =В37 290
47 =С37 1200
х1 х2 хЗ
Далее запустим команду Поиск решения (рис. 6 и рис. 7).
9
Рис. 6.
Рис. 7.
Ответ: в план производства необходимо включить выпуск трельяжей в ко
личестве 730 штук, трюмо в количестве 290 штук и тумбочек в количестве
1200 штук. При этом максимальная прибыль составит 4414,5 у.е.
Пример 1.3 (кредитная политика банка)
Банк Thriftem, предоставляющий полный набор банковских услуг, находит
ся в процессе формирования портфеля кредитов объемом 12 млн. $. В
таблице представлены возможные типы банковских кредитов.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]