Практикум по дисциплине «Теория массового обслуживания»

dp0(t ) (t ) p1. dt

Начальные условия (при t=0 все автомобили работоспособны): p4=1,

р3=р2=p1=p0=0.

Пример 3

Три автомобиля совершают ралли-рейд и форсируют сложный участок пересеченной местности. Плотность препятствий на местности такова, что при принятой скорости движения автомобилей интенсивность встречи с препятствием λ. При встрече с препятствием команда автомобиля принимает меры защиты и сходит с трассы с вероятностью р. Написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояния системы.

Решение

Состояния системы характеризуются числом сохраненных автомобилей.

Все автомобили равноценны, с одинаковой интенсивностью и независимо могут встретить препятствие. Вероятность схода автомобиля с трассы при встрече с препятствием одинакова для каждого из них.

Пронумеруем состояния системы:

S3 — все автомобили остались на трассе;

S2 — один автомобиль сошел, два остались на трассе;

S1 — два автомобиля сошли, один остался на трассе;

So — все автомобили сошли с трассы.

Граф состояний показан на рис.3.5.

Разметим граф, для чего определим интенсивности потоков событий,

переводящих систему из состояния в состояние.

Из состояния S3 в S2 систему переводит поток неудачных встреч с препятствиями.

21

Интенсивность встреч равна λ, но не все они повреждающие, каждое из них оказывается повреждающим только с вероятностью р. Так как система S в

состоянии S3 состоит из трех автомобилей, на каждый из них действует поток повреждающих встреч с интенсивностью λр, то на систему в целом действует суммарный поток неудачных повреждающих встреч с интенсивностью 3λр.

3λр 2λр 1λр

S3 S2 S1

Рис.3.5. Граф состояний для примера 3

Начальные условия (при t=0 все автомобили находятся на трассе): p3=1;

р2=p1=p0=0.

Предельные вероятности состояний.

Если число состояний системы S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое состояние, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. Например, система, представленная графом состояний на рис.3.6, из любого состояния может перейти в любое другое.

Напротив, для системы, граф состояний которой показан на рис. 3.7,

22

переход в состояние S5 возможен из S1, но невозможен из S4 . При t→∞ и λ=const (интенсивности потоков событий постоянны) в системе S (рис. 3.6)

устанавливается некоторый предельный стационарный режим: система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них не зависит от времени — каждое из состояний осуществляется с некоторой постоянной вероятностью. При этом предельные вероятности состояний рi так же как и определенные, в сумме должны давать единицу:

Предельные вероятности состояний дают средние относительные величины времени пребывания системы в данном состоянии.

Для вычисления предельных вероятностей состояний нужно составить систему уравнений Колмогорова, описывающих вероятности состояний, и

решить ее, положив левые части (производные) равными нулю (в предельном режиме все вероятности состояний постоянные и их производные равны нулю).

В этом случае система дифференциальных уравнений превратится в систему линейных алгебраических уравнений, которая решается при нормировочном условии (3.4).

23

Пример 4

Система S имеет возможные состояния S1, S2, S3, S4 размеченный граф которых показан на рис. 3.8. Вычислить предельные вероятности состояний p1, p2, p3, p4, если интенсивности потоков событий равны λ12=2; λ14=1; λ24=1; λ31=3; λ41=2; λ43=2.

Решение

Запишем уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

dp1 ( 12 14 ) p1 31 p3 41 p4;

dt

dp2 24 p2 12 p1;

dt

dp3 31 p3 43 p4;

dt

dp4 ( 41 43 ) p4 14 p1 24 p2.

dt

Полагая, левые части равными нулю и поставив значения λij, получим систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний:

0=-3p1+3p2+2p4; 0=-р2+2р1; 0=-3p3+2р4; 0=-4p4+p1+р2.

λ12 S1 λ31

S2 λ41 λ14 S3

λ24 S4 λ43

Рис. 3.8. Размеченный граф состояний системы для примера 4

Решение уравнений при нормировочном условии (4) дает: р1=4/17; p2=8/17;

р3=2/17; p4=3/17.

Это значит, что в предельном установившемся режиме система S будет находиться в состоянии S1 в среднем четыре семнадцатых части времени, в

состоянии S2 — восемь семнадцатых, в состоянии S3 — две семнадцатых и в состоянии S4 — три семнадцатых.

24

3.2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Система S состоит из трех автомобилей, которые участвуют в гонках на

«выживание» на участке пересеченной местности. Плотность препятствий и столкновений на местности такова, что при принятой скорости движения автомобилей интенсивность встречи с препятствием или столкновения равна λij.

При встрече с препятствием или при столкновении экипаж автомобиля принимает меры защиты и выбывает из гонки (неработоспособен) с

вероятностью рi. Написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояния системы.

Данная система может находиться последовательно в следующих состояниях: S1 – все три автомобиля исправны и находятся на трассе; S2 – один автомобиль выбыл из гонки, а два находятся на трассе; S3 – два автомобиля выбыли из гонки, а один находится на трассе; S4 – все три автомобиля выбыли из гонки (неработоспособны).

Требуется:

1)составить уравнения Колмогорова для марковского процесса заданного графом;

2)определить предельные вероятности состояний системы.

Размеченный граф состояний системы показан на рис. 3.9.

Варианты интенсивностей воздействий в системе представлены в

табл.3.1.

Рис. 3.9. Размеченный граф состояния системы

25

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. ПРОЦЕСС «ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ» И ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

4.1. МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Цель работы: приобрести компетенции моделирования марковских

случайных процессов на основе расчета процесса «гибели и размножения» и циклических процессов.

Процесс «гибели и размножения». Схема «гибели и размножения» связана с решением задач биологии, в которых рассматривается процесс изменения численности популяции. Однако модель подобного процесса применима во многих других областях.

Граф состояний системы, описываемой схемой гибели и размножения, представлен на рис. 4.1 Каждое из средних состояний (S2, ..., Sn-1) связано прямой и обратной связью с каждым из соседних состояний, а крайние состояния S1 и Sn — только с одним соседним состоянием.

Рис.4.1. Схема графа процесса «гибели и размножения»

Для такой системы, решив алгебраические уравнения для вероятностей состояния, можно получить справедливые при любом числе состояний формулы для определения предельных вероятностей состояния:

27

Как видно из выражений (4.1), значение р1 полученное из первой формулы, используется во всех остальных.

Пример 1

Три автомобиля в сложных дорожных условиях перевозят грузы. Каждый из них может выйти из строя. Поток отказов простейший, среднее время безотказной работы каждого автомобиля t0 =10 суток. Вышедший из строя автомобиль сразу же начинают ремонтировать, среднее время ремонта t=2

суток. Закон распределения времени ремонта показательный (поток восстановлений простейший).

Найти среднее время пребывания системы из трех автомобилей в каждом из возможных состояний.

Решение

Возможные состояния системы:

S1 — все три автомобиля исправны;

S2 — один автомобиль ремонтируется, два исправны;

S3 — два автомобиля ремонтируются, один исправен;

S4 — все три автомобиля ремонтируются.

Граф состояний показан на рис. 4.2. Разметим этот граф. Стрелками вправо покажем интенсивности потока отказов, влево — восстановления.

λ12 λ23 λ34

λ21 λ32 λ43

Рис. 4.2. Граф системы «три автомобиля на перевозках»

28

Так как поток отказов простейший, то промежутки времени между

отказами в этом потоке распределены по показательному закону с параметром

λ0=1/t¯0. Следовательно, интенсивность отказов равна - λ0=l/t¯0=1/10 сут-1.

Интенсивность потока восстановлений будет - λВ=l/t¯В=1/2 сут-1.

Если система находится в состоянии S1, то работают три автомобиля,

каждый из них подвергается потоку отказов с интенсивностью λо.

Следовательно, на всю систему (три работающих автомобиля) поток отказов

действует, с интенсивностью в три раза большей: λ12=3λ0=3/10 сут-1.

Соответственно, если система находится в состоянии S2 (два исправных автомобиля), то λ23=2λ0=2/10 сут-1, и если в состоянии S3, то λ34=λ0=1/10 сут1.

Аналогично рассуждая, получим интенсивность потоков восстановлений:

λ43=3λВ=3/2 сут-1, λ32=2λВ=2/2 сут-1, λ21=λВ=1/2 сут-1.

Пользуясь формулами (4.1), находим предельные вероятности состояний:

Вывод:

S1 — исправны все три автомобиля – 57,9% времени;

S2 — один автомобиль ремонтируется, два исправны – 34,7% времени; S3 — два автомобиля ремонтируются, один исправен – 6,9% времени;

S4 — все три автомобиля ремонтируются, все неисправны – 0,5% времени.

29

Циклический процесс. Если состояния системы связаны в кольцо (цикл) с

односторонними переходами (рис. 4.3), процесс, протекающий в такой системе,

называется циклическим.

λn1

Рис. 4.3. Граф циклического процесса

Вероятности состояний системы для циклического процесса находятся по формулам (4.2).

Если заданы средние t¯1, t¯2, ..., t¯n пребывания системы S в состояниях

S1, S2, ..., Sn, то предельные вероятности состояний в циклической схеме определяются по формулам (4.3):

30