Практикум по дисциплине «Теория массового обслуживания»

Вероятность того, что пост свободен

Вероятность образования очереди

РОЧ = ρ2∙РО = 0,82∙0,339 = 0,217.

Вероятность отказа в обслуживании

Относительная пропускная способность g = 1–PОТК = 1-0,173 = 0,827.

Абсолютная пропускная способность

A = 2∙0,827 = 1,654.

Среднее количество занятых постов или вероятность загрузки поста

Среднее количество требований, находящихся в очереди

Среднее время нахождения требования в очереди tож = r/ω = 0,564/2 = 0,282 ч.

Пример 2

На автотранспортном предприятии имеется один пост диагностирования

(п = 1). В данном случае длина очереди практически неограниченна.

Определить параметры эффективности работы диагностического поста, если стоимость простоя автомобилей в очереди составляет С1=20 р.е. (расчетных единиц) в смену, а стоимость простоя постов С2=15 р.е. Остальные исходные данные те же, что и для предыдущего примера.

Решение

Интенсивность диагностирования μ = 1/tД = 1/0,4 = 2,5.

Приведенная плотность потока ρ = ω/μ = 2/2,5 = 0,8.

51

Вероятность того, что пост свободен,

РО 1 1 0,8 0,2.

Вероятность образования очереди РОЧ = ρ2∙РО = 0,82∙0,2 = 0,128.

Относительная пропускная способность g = 1, так как все намеченные

автомобили пройдут через диагностический пост.

Абсолютная пропускная способность А = ω = 2 треб./ч.

Среднее количество занятых постов пЗан = ρ = 0,8.

Среднее количество требований, находящихся в очереди,

Среднее время ожидания в очереди

Издержки от функционирования системы И1=С1∙r+С2∙пCB+(С1+С2)∙ρ=20∙3,2+15∙0,2+(20+15)∙0,8=95,0 р.е./смену.

Пример 3

На том же автотранспортном предприятии число постов диагностирования увеличено до двух (п = 2), т.е. создана многоканальная система. Так как для создания второго поста необходимы капиталовложения

(площади, оборудование и т.д.), то цена простоя средств обслуживания увеличивается до С2 = 22 р.е. Определить параметры эффективности работы системы диагностирования. Остальные исходные данные те же, что для предыдущего примера.

Решение

Интенсивность диагностирования и приведенная плотность потока остаются теми же: μ = 1/tД = 1/0,4 = 2,5; ρ = ω/μ = 2/2,5 = 0,8.

Вероятность того, что оба поста свободны

52

Вероятность образования очереди

т.е. на 37% ниже, чем в предыдущем примере.

Относительная пропускная способность g = 1, так как все автомобили пройдут через диагностические посты.

Абсолютная пропускная способность А = ω = 2 треб./ч.

Среднее количество занятых постов nЗан = ρ = 0,8.

Среднее количество требований, находящихся в очереди,

Издержки от функционирования системы

И2=С1∙r+С2∙пCB+(С1+С2)∙ρ=20∙0,063+22∙1,2+(20+22)∙0,8=61,26 р.е./смену,

т.е. в 1,55 раза ниже, чем при тех же условиях для одного диагностического поста, главным образом за счет сокращения очереди автомобилей на диагностику и времени ожидания автомобилей более чем в 50 раз.

Следовательно, строительство второго диагностического поста в рассматриваемых условиях целесообразно. Используя формулу оценки издержек функционирования системы из условия (И1 = И2) можно оценить предельные значения цены простоя средств обслуживания при строительстве и оснащении второго диагностического поста, которая в рассмотренном примере составляет С2Р=39 р.е

53

7.2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Оценка эффективности систем обслуживания машин Задача 2

Станция технического обслуживания автомобилей имеет три отделения, в которых расположены технологические линии по ТО и Р.

Вотделении № 1 имеется пост диагностирования при ТО n1 = 1, длина очереди на обслуживание ограничена количеством автомобилей m, стоимость простоя автомобилей в очереди составляет С1, стоимость простоя постов С2.

Вотделении № 2 имеется n1 пост диагностирования при ТО, длина очереди на обслуживание не ограничена (в результате прогрессивной организации труда). Затраты на простой автомобилей и постов неизменны.

Вотделении № 3 число постов диагностирования составляет n2, длина очереди на обслуживание не ограничена. Цена простоя средств обслуживания увеличилась до С’2.

Интенсивность потока требований на диагностирование автомобилей в среднем ω, продолжительность диагностирования составляет tД.

Требуется определить параметры эффективности отделений №1, №2 и №3 и сравнить издержки от функционирования рассматриваемых систем.

Исходные данные приведены в табл. 7.1.

54

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 8. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

8.1. МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Цель работы: приобрести компетенции по расчету рабочих постов на

СТОА с использованием теории массового обслуживания.

Неравномерность поступления автомобилей на СТОА и анализ факторов,

оказывающих влияние на эту неравномерность, а, следовательно, и на количество рабочих постов, можно учесть с помощью методов теории массового обслуживания. В теории массового обслуживания различают системы с потерями, с очередью (ожиданием) и смешанного тина.

Применительно к обслуживанию автомобилей на СТО наиболее характерна система смешанного типа с ограничением по времени ожидания,

т.е. когда владелец автомобиля имеет какое-то время на ожидание, после чего уезжает со станции, не проведя обслуживание или ремонт.

Поток автомобилей (требований), поступающий на станцию обслуживания, с некоторыми допущениями можно принять простейшим,

описываемым законом Пуассона:

где PK(t) — вероятность поступления за время t на станцию обслуживания k

автомобилей (требований);

λt — поток автомобилей (требований); k — число автомобилей (требований);

λ — плотность потока требований, т.е. среднее число автомобилей

(требований) за единицу времени t.

Практика работы СТО показывает, что примерно 80-85% всех поступающих автомобилей обслуживаются в течение дня. Поэтому в данном случае за единицу времени приняты сутки.

Для упрощения математической модели примем время проведения

55

обслуживания или ремонта автомобиля распределенным по показательному закону F(t), имеющему вид:

Расчет числа рабочих постов методами ТМО. Исходя из принятых выше допущений и математических преобразований получено уравнение для определения общего числа рабочих постов Х на СТО. Это уравнение состоит из двух частей, первая из которых Х1 удовлетворяет требованиям равномерного поступления автомобилей на СТО, а вторая Х2 учитывает превышение потребности в обслуживании и ремонте, т.е.

Х = Х1 + Х2 . (8.3)

Число постов Х1 рассчитывают по формуле

где ТП – годовая трудоемкость постовых работ по ТО и ТР, определяемая по формуле

для городской СТОА

где Nсто – число автомобилей, обслуживаемых СТОА в год; LГ – среднегодовой пробег автомобиля, км; t – удельная трудоемкость работ по ТО и ТР, чел-ч/1000

км (ОНТП-АТП-СТО-80);

для дорожной СТОА

где NC – число заездов автомобилей на станцию в сутки; ДРаб.Г – число рабочих дней станции в году; tср – трудоемкость работ в среднем на один заезд автомобиля на станцию, чел-ч; ФП – фонд рабочего времени поста,

определяемый по формуле:

56

где ДРаб.Г — число дней работы в году станции обслуживания; Тсм —

продолжительность смены, ч; С — число смен; η — коэффициент использования рабочего времени поста (0,85 - 0,90); Рср – среднее число рабочих на одном посту (принимается 1,5 - 2,5 чел., для кузовных и окрасочных работ 1,0 - 1,5 чел.).

Дополнительное число постов Х2 определяют по формуле

где Р' – вероятность занятости постов; NСут.П – суточная производительность поста, авт/сут; τож – заданная величина времени ожидания обслуживания; τно –

время ожидания начала обслуживания.

Для практических расчетов дополнительных постов СТО может быть использована номограмма (рис.8.1), разработанная в МАДИ. При этом последовательность расчета следующая.

Предварительно определяют производительность поста за сутки NСут.П

(автомобилей) при различных значениях трудоемкости работ одного автомобиле-заезда t3, продолжительности работы поста за сутки Тоб и числа рабочих на посту РП (квадранты I и II):

где ηП — коэффициент использования рабочего времени поста (0,85-0,90)

Время ожидания τож определяется режимом работы СТО и возможным временем ожидания владельцем начала обслуживания его автомобиля.

Учитывая продолжительность работы СТО, τож принимают равным не более 0,4 - 0,5 сут.

Если фактическое время ожидания будет больше заданной величины τож,

владелец уедет со станции не обслуженным. При построении номограммы значение τож принято равным 0,25 - 0,5 сут. Значение произведения (NCут.П∙τож)

приведено в квадранте III.

57

Для рассматриваемой системы массового обслуживания с ограничением времени ожидания вероятность Р' занятости всех постов принята не более 0,1 – 0,2. Исходя из этого вероятность (Р{τно = τож}) того, что какая-то часть автомобилей будет ждать обслуживания с продолжительностью τно равной τож,

задана равной 0,03 – 0,05, т.е. всего 3 – 5% от общего числа требований

(автомобилей).

Рис. 8.1. Номограмма определения дополнительного количества

рабочих постов Х2

1 - Р{τно = τож} = 0,03; τож = 0,25 сут, РП = 2 чел., Тоб = 10,5 ч; 2 - P{τно = τож} = 0,05, τож = 0,25 cут, РП= 2 чел., Тоб = 10,5 ч

На основе принятых показателей рассчитывают число дополнительных постов Х2 (квадрант IV).

58

Примеры расчета В качестве примера по номограмме рассчитано число дополнительных

постов Х2 для случая, когда трудоемкость обслуживания t3 = 10 чел-ч, время работы СТО Tоб = 10,5 ч, число работающих на посту РП = 2 чел., время ожидания обслуживания τож = 0,25 сут и вероятность Р{τно=τож} = 0,03. Для этих условий число дополнительных постов Х2=2,4 (квадрант IV).

Номограмма показывает, что с уменьшением трудоемкости работ число дополнительных постов уменьшается. Так, для t3 = 10 чел-ч требуется 2,4 поста,

а для tЗ = 6 чел-ч всего 1,3 поста.

В то же время с увеличением мощности СТО (числа постов)

трудоемкость работ на один обслуживаемый автомобиль (при всех прочих равных условиях) будет снижаться за счет повышения производительности труда, специализации работ, применения средств механизации и т.п. Таким образом, с увеличением мощности СТО количество дополнительных рабочих постов будет уменьшаться, следовательно, будут снижаться удельные капитальные вложения на один обслуживаемый автомобиль.

Рассмотренный вероятностный метод расчета рабочих постов дает возможность оптимизировать решение на основе учета влияния случайных факторов, связанных с поступлением автомобилей на СТО и временем их обслуживания или ремонта.

8.2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

По заданию преподавателя определить дополнительное количество рабочих постов СТО.

59

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 9. ОПТИМИЗАЦИЯ СМО С РЕЗЕРВНЫМ ПРИБОРОМ

9.1. МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Цель работы: приобрести компетенции оптимизации системы массового

обслуживания с резервным прибором.

Рассмотрим однолинейную систему массового обслуживания с простейшим входящим потоком интенсивности , к которой может подключаться резервный прибор (рис.9.1).

s

Основной

Резервный

Рис.9.1 – Схема подключения резервного элемента в СМО

Если заявка, находящаяся в некоторый произвольный момент времени t первой в очереди, поступила в систему в момент времени t0, то величину s(t) = t- t0 будем называть текущим временем ожидания заявки, находящейся первой в очереди. Приборы однотипны. Обслуживание предполагается экспоненциальным с параметром на основном и резервном приборах. Дисциплина обслуживания резервным прибором следующая: как только s – текущее время ожидания заявки, находящейся в очереди первой, достигает величины s0 (s0 – некоторая положительная константа) подключается резервный прибор и берет на обслуживание заявку, стоящую первой в очереди; после обслуживания одного требования резервный прибор выключается, если текущее время ожидания заявки, которая в этот момент находится первой в

60