Практикум по дисциплине «Теория массового обслуживания»

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2. НЕОДНОРОДНАЯ МАРКОВСКАЯ ЦЕПЬ

2.1.МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Внеоднородной марковской цепи вероятности перехода Pij меняются от шага к шагу. Для такой цепи вероятности состояний системы после k шагов находятся по формуле

j 1

где Pij(k) P S(jk) /Si(k 1) - условная вероятность перехода системы из состояния Si в

состояние Sj на k-м шаге.

Пример 3.

Принимаются условия, заданные в примере 2, но вероятности перехода

для трех последовательных воздействий различны и заданы тремя матрицами:

Найти вероятности состояний группы автомобилей после трех воздействий.

11

Решение Вероятности состояний после первого воздействия берем из первой

строки матрицы: р1(1)=0,40; р2(1)=0,25; р3(1)=0,20; р4(1)=0,10; р5(1)=0,05.

Вероятности состояний после второго воздействия находим по формуле

(2.2):

р1(2)=р1(1)P11(2)=0,40∙0,20=0,080;

р2(2)=р1(1)P12(2)+р2(1)Р22(2)=0,40∙0,25+0,25∙0,20=0,150;

р3(2)=р1(1)Р13(2)+р2(1)Р23(2)+р3(1)Р33(2)=

=0,40∙0,30+0,25∙0,40+0,20∙0,10=0,240;

р4(2)=р1(1)P14(2)+р2(1)Р24(2)+р3(1)Р34(2)+р4(1)Р44(2)=

=0,40∙0,15+0,25∙0,25+0,20∙0,50+0,10∙0,30=0,252;

р5(2)=р1(1)P15(2)+р2(1)P25(2)+р3(1)P35(2)+р4(1)P45(2)+р5(1)P55(2)=

=0,40∙0,10+0,25∙0,15+0,20∙0,40+0,10∙0,70+0,05∙1=0,278.

Аналогично по формуле (4) находим вероятности состояний после трех воздействий:

р1(3)=р1(2)Р11(3)=0,080∙0,05=0,004; p2(3)=p1(2)P12(3)+p2(2)Р22(3)=0,080∙0,10+0,150∙0,05=0,0155;

р3(3)=р1(2)Р13(3)+р2(2)Р23(3)+р3(2)Р33(3)=

=0,080∙0,40+0,150∙0,45+0,240∙0,05=0,1115;

р4(3)=р1(2)Р14(3)+р2(2)Р24(3)+р3(2)Р34(3)+р4(2)Р44(3)=

=0,080∙0,25+0,150∙0,30+0,240∙0,55+0,252∙0,20=0,2474;

р5(3)=р1(2)Р15(3)+р2(2)Р22(3)+р3(2)P35(3)+р4(2)Р45(3)+р5(2)Р22(3)=

=0,080∙0,20+0,150∙0,20+0,240∙0,40+0,252∙0,80+0,278∙1=0,6216.

После трех воздействий вероятности исходов:

— все автомобили останутся работоспособными р1(3)≈0;

12

2.2. ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Три автомобиля в сложных дорожных условиях совершают перевозки

грузов. Каждый из них может выйти из строя. Вышедший из строя автомобиль сразу же начинает ремонтироваться. В процессе эксплуатации были проведены три обслуживающих воздействия (текущий или капитальный ремонты). Данная система (система S) может находиться последовательно в нескольких состояниях: S1 – все три автомобиля неисправны и ремонтируются; S2 – один автомобиль исправен, два ремонтируются; S3 – два автомобиля исправны, один ремонтируется; S4 – все три автомобиля исправны.

Требуется:

1)сформировать матрицу переходных вероятностей состояний системы;

2)вычислить вероятности состояний системы – «три автомобиля»;

3)определить вероятность того, что исправными являются не менее двух автомобилей и ремонтируется не более одного автомобиля.

Размеченный граф состояний системы показан на рис. 2.1.

Варианты исходных вероятностей состояний представлены в табл. 2.1.

Рис. 2.1. Размеченный граф состояния системы «три автомобиля»

13

Таблица 2.1

Варианты исходных данных *

*Вероятности Р14, Р24, Р34 – дополнить до 1 при построении матрицы.

14

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ

3.1. МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Цель работы: приобрести компетенции в моделировании процессов на

основе расчета непрерывных марковских цепей.

Модель случайного процесса с дискретными состояниями и

непрерывным временем (непрерывные марковские цепи).

Вместо переходных вероятностей Рij матрицы здесь применяется

плотность вероятности перехода λij, которую можно представить в виде отношения:

где Рij (Δt) — вероятность того, что система, находившаяся в момент t в

состоянии Si, за время t перейдет из него в состояние Sj.

Если все плотности вероятностей λij не зависят от t, марковский процесс называется однородным, если эти плотности являются функциями от времени

λij(t), процесс называется неоднородным.

Вероятности состояний системы могут быть найдены интегрированием системы дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями Колмогорова. Составление уравнений Колмогорова производится по определенному правилу.

Прежде всего, необходимо составить размеченный граф состояний

(рис.3.1).

15

dp1(t) ( 12 13 14) p1(t) 41 p4 (t);

dt

dp2 (t) 24 p2 (t) 12 p1(t); dt

(3.2)

dp3(t) 34 p3(t) 13 p1(t); dt

dp4 (t) 41 p4 (t) 14 p1(t) 24 p2 (t) 34 p3(t).

dt

Начальные условия:

при t=0 p1(0)=1; p2(0)=p3(0)=p4(0)=0.

Так как p1(t)+p2(t)+p3(t)+p4(t)=1, то систему из всех четырех уравнений можно было бы не писать, а любую из этих вероятностей выразить через три остальные.

В уравнениях (2) рi(t) - вероятность того, что в момент t система S будет находиться в состоянии Si (i=1, 2, …, n). В дальнейшем для краткости записи аргумент t у функций рi будет опускаться.

Коэффициенты при pi могут быть постоянными или переменными в зависимости от того, постоянны или переменны интенсивности λij потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние. Уравнения для вероятностей состояния представляют собой линейные дифференциальные уравнения, которые только в редких случаях могут быть проинтегрированы в квадратурах: обычно их решают численно (вручную или на ЭВМ).

Простейший поток Рассмотрим поток однородных событий (требований), различающихся

только моментами их появления. Такой поток можно изобразить последовательностью точек на оси времени (рис. 3.2).

τ

Рис. 3.2. Поток требований во времени

17

Входящий поток называют простейшим, если вероятность поступления того или иного числа требований в течение интервала времени t зависит только от протяженности этого интервала и не зависит от его расположения на оси времени (стационарность), причем требования поступают поодиночке

(ординарность) и независимо друг от друга (отсутствие последействия).

Хотя многие индивидуальные процессы и не удовлетворяют полностью этим требованиям, понятие простейшего потока играет большую роль, так как близкие к нему потоки часто встречаются на практике. Но наиболее важно то обстоятельство, что в результате суммирования некоторого числа стационарных ординарных потоков с практически любым последействием получается поток, близкий к простейшему.

Обозначим через Рk(t) вероятность наступления k событий за время t.

Если поток требований простейший, то вероятность случайного события,

состоящего в том, что за время t+Δt поступит точно n требований, можно представить как

n

Pn (t t) Pn k (t) Pk ( t).

k 0

Решая это уравнения, находим для плотности распределения числа требований за время t следующее выражение

Что представляет собой дискретное распределение Пуассона, которое характеризует простейший поток. На рис. 3.3 показаны графики этого распределения для различных значений а=λt.

18

Рис. 3.3. Распределение Пуассона

Непрерывные марковские цепи с пуассоновскими потоками событий Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в

состояние, пуассоновские (стационарные или нестационарные), то процесс,

протекающий в системе, будет марковским. Плотность вероятности перехода λij

(см. формулу 3.1) в непрерывной цепи Маркова представляет собой интенсивность потока событий.

Составление уравнений состояния системы, находящейся под воздействием пуассоновского потока событий, производится аналогично тому,

как рассмотрено выше для системы, характеризуемой плотностями вероятностей перехода.

Пример 2

Станцией технического обслуживания обеспечивается ТО и Р четырех автомобилей, из которых один основной и три дополнительные с общей грузоподъемностью равной грузоподъемности основного. Интенсивность потока воздействующих факторов, приводящих к снижению параметров технического состояния и выходу из строя, изменяется со временем, по мере выполнения перевозок, и составляет λ(t).

Вначале транспортный процесс осуществляет основной автомобиль.

После его выхода из строя перевозку осуществляют одновременно три дополнительных автомобиля.

Составить размеченный граф состояний и написать уравнения Колмогорова, для вероятностей состояний.

19

Решение

Будем нумеровать состояния системы соответственно числу работоспособных автомобилей:

S4 — все автомобили работоспособны;

S3 — основной автомобиль вышел из строя, остальные автомобили работоспособны;

S2 — основной автомобиль и один из дополнительных вышли из строя,

остальные автомобили работоспособны;

S1 — основной автомобиль и два из дополнительных вышли из строя,

один дополнительный автомобиль работоспособен;

S0 — все автомобили отказали.

Граф состояний показан на рис. 3.4.

λ43 λ32 λ21 λ10

S4 S3 S2 S1

Рис. 3.4. Граф состояний для примера 2

Чтобы разметить этот граф состояний, определим интенсивность потоков факторов выводящих из строя автомобили и переводящих систему, из состояния в состояние.

Из состояния S4 в S3 в систему переводит поток повреждающих факторов с интенсивностью λ34(t)=λ(t).

Из состояния S3 в S2 систему переводит поток повреждающих факторов с интенсивностью λ32(t)=λ(t), так как по условиям примера после отказа основного автомобиля действие повреждающих факторов распределяется равномерно по остальным трем дополнительным автомобилям.

Аналогично для λ21(t)=λ(t) и λ10(t)=λ(t).

Обозначая вероятности состояний соответственно р4, p3, p2, p1, р0,

запишем уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

20