Практикум по дисциплине «Теория массового обслуживания»

ε3 ε4

λ34

Рис.6.1. Схема системы

Затем руководствоваться следующим правилом: производная средней численности состояния равна сумме стольких членов, сколько стрелок связано с данным состоянием; если стрелка направлена из состояния, член имеет знак

«минус», если в состояние — знак «плюс»; каждый член равен произведению интенсивности потока событий, переводящего элемент по данной стрелке, на среднюю численность того состояния, из которого исходит стрелка (λkjmk(t)).

Нормирующим условием будет

Пример 1

Система S состоит из N однородных элементов. Граф состояний каждого элемента представлен на рис. 6.1. В начальный момент t=0 все элементы находятся в состоянии εi. Написать систему дифференциальных уравнений для средних численностей состояний.

Решение

Руководствуясь сформулированным выше правилом и имея размеченный граф состояний элементов системы, получим:

41

dm1 12 m1 41 m4;

dt

dm2 23 m2 12 m1 32 m3;

dt

dm4 41 m4 34 m3.

dt

где m1, т2, т3, т4 — средние численности состояний, удовлетворяющие условию (3). Для краткости записи аргумент t опущен.

Учитывая нормирующее условие (6.6): m1 + т2 + т3 + m4 = N,

можем одно из уравнений (6.7) отбросить. Если это будет, например,

второе (наиболее сложное), получим:

dm1 12 m1 41 m4;

dt

dm4 41 m4 34 m3.

dt

Так как при t=0 все элементы находятся в состоянии εi , то начальными условиями (при t=0) будут:

m1=N; т2 = т3 = m4 = 0.

Интегрирование системы дифференциальных уравнений (6.8)

производится на ЭВМ или вручную методом численного интегрирования. В

результате будут получены значения средних численностей состояний: m1(t), m2(t), m3(t), m4(t). Значения дисперсий и средних квадратических отклонений численностей состояний вычисляются по формулам (6.1) и (6.2).

Принцип квазирегулярности. В общем случае интенсивности потоков событий, переводящих элемент из состояния в состояние, зависят от того,

сколько элементов в данном состоянии имеется в системе. Численности же состояний системы являются случайными, поэтому и интенсивности потоков событий будут случайными. Это обстоятельство затрудняет составление уравнений динамики средних по изложенному ранее принципу, так как

42

неизвестны численности состояний, определяющих интенсивности потоков событий.

Преодоление такого рода затруднений достигается допущением, которое носит название принципа квазирегулярности. Принимается, что интенсивность потоков событий, переводящих элемент из состояния в состояние, зависит не от самих численностей состояний, а от их средних значений (математических ожиданий).

Погрешности результатов, которые возникнут вследствие такого допущения для описания процесса, будут тем меньше, чем более многочисленна группа элементов и чем ближе к линейным функции,

выражающие интенсивности потоков событий в зависимости от численности состояний.

Принцип составления дифференциальных уравнений динамики средних остается таким же, как описано выше, только интенсивности потоков событий,

переводящих систему из состояния в состояние, будут функциями математического ожидания численностей элементов для соответствующих состояний.

Пример 2

Цех состоит из большого числа однотипных станков. На каждый из них действует поток неисправностей с интенсивностью λ, не зависящей от числа станков, находящихся в исправном состоянии. Ремонтом занимается бригада рабочих.

Ремонт организован так, что за единицу времени исправляется в среднем число станков, определяемое зависимостью μ=φ(N0), где N0 — число неисправных станков. Написать дифференциальные уравнения динамики средних для средних численностей состояний.

Решение

43

Рис 6.2. Схема к примеру 2

Каждый станок может быть в двух состояниях: ε1 - исправен; ε2 -

неисправен, ремонтируется.

Граф состояний показан на рис.6.2. На нем поток интенсивности неисправностей λ.

Средняя интенсивность потока ремонтов, приходящихся на один станок,

будет:

Число станков Nо, находящихся в ремонте, является случайным. Согласно принципу квазирегулярности заменяем его математическим ожиданием т2 и на основе графа состояний запишем дифференциальные уравнения динамики средних для средних численностей т1 и т2 состояний ε1 и ε2:

dm1 m1 1(m2) m2; dt

dm2 1(m2)m2 m1. dt

Учитывая, что φ1(т2)=φ(m2)/m2, уравнения запишутся в виде:

dm1 m1 1(m2); dt

dm2 1(m2) m1. dt

Нормирующее условие: m1 + m2=N.

Начальные условия (при t=0): m1=N; т2=0.

Учет пополнения численности состояний.

44

На практике встречаются задачи с моделированием таких процессов, при которых численности элементов, находящихся в каких-то состояниях,

пополняются извне. Пусть система S состоит из N однородных элементов и

Дифференциальные уравнения динамики средних с учетом пополнения численности состояний, составляются по изложенному ранее принципу, но к правой части соответствующего дифференциального уравнения прибавляется слагаемое, равное интенсивности пополнения — среднему числу элементов,

вводимых в данное состояние за единицу времени.

6.2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

По предложенному преподавателем графу состояний элементов системы написать систему дифференциальных уравнений для средних численностей состояний.

45

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 7. СТРУКТУРА И ПОКАЗАТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

7.1. МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Цель работы: приобрести компетенции по определению показателей

эффективности системы массового обслуживания (СМО).

Общая структура СМО.

СМО состоит из следующих элементов (рис.7.1).

Рис.7.1. Общая схема системы массового обслуживания

1 - входящий поток требований ω(t) - совокупность требований к СМО на проведение определенных работ (заправка, мойка, ТО и др.) или оказание услуг

(покупка изделий, деталей, материалов и др.). Входящий поток требований может быть постоянным: ω(t)=const - и переменным: ω(t)≠const.

Требования бывают однородные (одинаковые виды работ или услуг) и

неоднородные (разные виды работ или услуг).

2 - очередь - требования, ожидающие обслуживания.

Очередь оценивается средней длиной r - числом объектов или клиентов,

ожидающих обслуживания.

3 - обслуживающие аппараты (каналы обслуживания) - совокупность рабочих мест, исполнителей, оборудования, осуществляющих обслуживание требований по определенной технологии.

46

4 - выходящий поток требований ω(t) - поток требований, прошедших

СМО.

В общем случае выходящий поток может состоять из требований обслуженных и необслуженных. Пример необслуженных требований:

отсутствие нужной детали для автомобиля, находящегося в ремонте.

5 - замыкание (возможное) СМО - состояние системы, при котором входящий поток требований зависит от выходящего.

На автомобильном транспорте после обслуживания требований (ТО,

ремонт) автомобиль должен быть технически исправным.

Классификация СМО. Системы массового обслуживания классифицируются следующим образом.

1. По ограничениям на длину очереди:

–СМО с потерями - требование покидает СМО необслуженным, если в момент его поступления все каналы заняты.

–СМО без потерь - требование занимает очередь, даже если все каналы

заняты.

–СМО с ограничениями по длине очереди т или времени ожидания: если существует ограничение на очередь, то вновь поступившее (т+1)-е требование выбывает из системы необслуженным (например, ограниченная емкость накопительной площадки перед АЗС).

2. По количеству каналов обслуживания п:

–одноканальные n = 1;

–многоканальные п ≥ 2.

3. По типу обслуживающих каналов:

–однотипные (универсальные);

–разнотипные (специализированные). 4. По порядку обслуживания:

–однофазовые - обслуживание производится на одном аппарате (посту);

– многофазовые - требования последовательно проходит несколько

47

аппаратов обслуживания (например, поточные линии ТО; конвейерная сборка автомобиля; линия внешнего ухода: уборка → мойка → обсушка → полировка).

5. По приоритетности обслуживания:

–без приоритета - требования обслуживаются в порядке их поступления на СМО;

–с приоритетом — требования обслуживаются в зависимости от присвоенного им при поступлении ранга приоритетности (например, заправка автомобилей скорой помощи на АЗС; первоочередной ремонт на АТП автомобилей, приносящих наибольшую прибыль на перевозках).

6. По величине входящего потока требований:

–с неограниченным входящим потоком;

–с ограниченным входящим потоком (например, в случае предварительной записи на определенные виды работ и услуг).

7. По структуре СМО:

– замкнутые – входящий поток требований при прочих равных условиях зависит от числа ранее обслуженных требований (комплексное АТП,

обслуживающее только свои автомобили);

–открытые – входящий поток требований не зависит от числа ранее обслуженных: АЗС общего пользования, магазин по продаже запасных частей.

8. По взаимосвязи обслуживающих аппаратов:

–с взаимопомощью – пропускная способность аппаратов непостоянна и зависит от занятости других аппаратов: бригадное обслуживание нескольких постов СТО; использование "скользящих" рабочих;

–без взаимопомощи - пропускная способность аппарата не зависит от работы других аппаратов СМО.

Применительно к технической эксплуатации автомобилей находят распространение замкнутые и открытые, одно- и многоканальные СМО, с

однотипными или специализированными обслуживающими аппаратами, с

одноили многофазовым обслуживанием, без потерь или с ограничением на длину очереди или на время нахождения в ней.

48

Показатели функционирования СМО.

В качестве показателей эффективности работы СМО используют

Абсолютная пропускная способность показывает количество требований,

Относительная пропускная способность определяет долю обслуженных требований от общего их количества.

Вероятность того, что все посты свободны PO, характеризует такое состояние системы, при котором все объекты исправны и не требуют

проведения технических воздействий, т.е. требования отсутствуют.

Вероятность отказа в обслуживании РОТК имеет смысл для СМО с потерями и с ограничением по длине очереди или времени нахождения в ней.

Она показывает долю "потерянных" для системы требований.

Вероятность образования очереди РОЧ определяет такое состояние

системы, при котором все обслуживающие аппараты заняты, и следующее

49

где С1 – стоимость простоя автомобиля в очереди; r – средняя длина очереди; C2 – стоимость простоя обслуживающего канала; nCB – количество простаивающих (свободных) каналов.

Из-за случайности входящего потока требований и продолжительности их выполнения всегда имеется какое-то среднее число простаивающих автомобилей. Поэтому требуется так распределить число обслуживающих аппаратов (постов, рабочих мест, исполнителей) по различным подсистемам,

чтобы И→min. Этот класс задач имеет дело с дискретным изменением параметров, так как число аппаратов может изменяться только дискретным образом. Поэтому при анализе системы обеспечения работоспособности автомобилей используются методы исследования операций, теории массового обслуживания, линейного, нелинейного и динамического программирования и

имитационного моделирования.

Примеры расчета показателей эффективности функционирования различных СМО.

Пример 1

Станция технического обслуживания имеет один пост диагностирования

(п = 1). Длина очереди ограничена двумя автомобилями

(т = 2). Определить параметры эффективности работы диагностического поста,

если интенсивность потока требований на диагностирование в среднем ω = 2

треб./ч, продолжительность диагностирования tД = 0,4 ч.

Решение

Интенсивность диагностирования μ = 1/tД = 1/0,4 = 2,5.

Приведенная плотность потока ρ = ω/μ = 2/2,5 = 0,8.

50