литература / Konstruirovanie_plastmassovykh_izdeliy_dlya_litya_pod_davleniem
.pdf
СТРУКТУРНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ |
253 |
К другим примерам «консольно-балочной» геометрии относятся крючки автомо бильных колпаков (рис. 4.2) и клавиши клавиатуры (рис. 4.20).
Поведение балки под нагрузкой легче всего описать, когда балка находится в го ризонтальном положении, а направление нагрузки и реакции на них имеют верти кальное направление. После приложения нагрузки балка будет изгибаться или де формироваться и волокна (бесконечно тонкие слои материала) с вогнутой стороны будут укорачиваться (то есть эти слои будут находиться под действием сил сжатия), а волокна на выпуклой стороне балки будут удлиняться (будут находиться под дей ствием сил растяжения). Нейтральная поверхность или нейтральная плоскость бал ки будет перпендикулярна плоскости нагружения. Если пренебречь сдвиговыми эф фектами, то напряжения и деформация волокон будут пропорциональны расстоянию до нейтральной поверхности (плоскости или слоя, в котором напряжения и дефор мации равны 0), а прогиб балки происходит только за счет изгиба1.
Рис. 4.21. Схема упругой балки, которая находится иод действием изгибающей нагрузки и расположена на простых опорах
Напряжения а в волокнах в любой точке р в пределах границ балки могут быть определены с помощью:
(4.6)
где М — изгибающий момент в поперечном сечении, проходящем через точкур; I — осевой момент инерции сечения балки относительно нейтральной оси; у — расстоя ние между нейтральной осью и точкой р. Напряжение в волокнах может быть поло жительным или отрицательным. Максимальные напряжения в волокнах (то есть на пряжения сжатия или растяжения на внешней поверхности) в любом конкретном сечении наблюдаются в точках, находящихся на максимальном расстоянии от нейт ральной оси, в точке, где у = ±с.
(4.7)
Величину с называют расстоянием от нейтральной оси до наиболее удаленных от этой оси точек (расположенных на внешних волокнах). Если использовать нейтральную
1 Случай чистого изгиба. — Примеч. науч. ред.
2 В отечественной литературе — изогнутая ось балки. — Примеч. науч. ред.
254 |
КОНСТРУИРОВАНИЕ ПЛАСТМАССОВЫХ ИЗДЕЛИЙ ДЛЯ ЛИТЬЯ ПОД ДАВЛЕНИЕМ |
ось в качестве начала координат, то Сбудет иметь как положительные, так и отрица тельные значения. Максимум напряжений в волокнах балки будет находиться на ее поверхности, и в том поперечном сечении, где наблюдается максимальный изгибаю щий момент М . Максимальные значения сжатия PI растяжения на внешней поверх ности будут разными по величине, если балка несимметрична относительно нейт ральной оси, или если модуль упругости материала при растяжении и сжатии имеет различные значения. Уравнения, описывающие изгибающий момент, и прогибы (уп ругие деформации) при изгибе для некоторых случаев нагружения прямолинейных балок, а также балок клиновидного или криволинейного сечения приведены в спра вочниках [1, 2] или в программных продуктах [18].
4.4.2. Свойства плоской фигуры (поперечного сечения балок)
Многие изделия из пластмассы (или детали изделий) разной геометрической формы могут быть представлены в виде балки с постоянным сечением. Для сконструирования балки, эффективно воспринимающей нагрузки, необходимо определить сопротивление изгибу при данной нагрузке, режим нагружения, размещение и типы опор, свойства материала и характеристики поперечного сечения балки [17]. К ха рактеристикам поперечного сечения балки относятся:
Второй момент инерции (сечения)1
Форма поперечного сечения балки (из данного материала) определяется способ ностью выдерживать нагрузку. Предположим, что балка на рис. 4.22 имеет сечение произвольной формы.
Рис. 4.22. Поперечное сечение балки (плоская фигура) — показано расположение централь ных осей (т; /) и осей, которые перпендикулярны центральным (х; у)
В отечественной литературе принят термин - осевой момент инерции сечения, который и оудст употребляться в дальнейшем. — Примеч. науч. ред.
СТРУКТУРНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ |
255 |
Осевой момент инерции сечения (не следует путать с термином «момент инерции механической системы») относительно оси, лежащей в плоскости сечения, напри мер, относительно оси „г, равен сумме произведений, полученных умножением пло щади каждого элемента сечения dA на квадрат его расстояния до оси х, то есть на его координату у [2,17]:
(4.8)
(4.9)
Часто используется теорема, известная как теорема о параллельных осях, поясне ния к которой показаны на рис. 4.22 [17]. Теорема может быть записана в следующем виде:
(4.10)
(4.11)
где / и т — взаимно перпендикулярные оси, параллельные осям х и у, и пересекающи еся в точке G, которая является центром тяжести (геометрическим центром) фигуры. Значения х и у — это расстояния между осями уйти осями х и / соответственно [2].
В общем виде теорема о параллельных осях выглядит следующим образом:
(4.12),
где/— осевой момент инерции фигуры относительно произвольной оси (выражается
вединицах длины в четвертой степени) равен осевому моменту инерции площади
сечения относительно параллельный оси, проходящей через центр тяжести 1С плюс произведение площади поперечного сечения балки Л на квадрат расстояния f/между двумя параллельными осями. Теорема о параллельных осях обычно используется для определения значения осевого момента инерции сечения балок, имеющих более сложную форму поперечного сечения, и для которых не всегда можно найти решение
всправочнике.
Центр тяжести и центральные оси
Центром тяжести фигуры называют такую точку па плоскости фигуры, относи тельно которой статический момент площади сечения равен 0. Центральной осью фигуры называют ось, которая проходит через ее центр тяжести [2]. Оси /и т на рис. 4.22 являются центральными осями, лежащими в одной и той же плоскости.
Нейтральная ось
Нейтральной осью балки называют линию нулевых напряжений в любом попереч ном сечении элемента. Эта линия образуется на пересечении нейтральной поверхности с плоскостью поперечного сечения [2]. Когда прямолинейная балка с постоянным по перечным сечением, аналогичная той, что приведена на рис. 4.21, находится под дей ствием нагрузки, перпендикулярной ее оси, прогиб будет приводить к сжатию частей сечения, которые находятся между нейтральной плоскостью и верхней поверхно стью, и растяжению частей сечения между нейтральной осью и выпуклой нижней
256 КОНСТРУИРОВАНИЕ ПЛАСТМАССОВЫХ ИЗДЕЛИЙ ДЛЯ ЛИТЬЯ ПОД ДАВЛЕНИЕМ
поверхностью. Нейтральная ось простой однородной балки совпадает с горизон тальной центральной осью в поперечном сечении балки, если балка обладает свой ствами сплошного однородного тела. Напряжения и деформации на нейтральной оси равны 0 [15].
Момент сопротивления сечения Z
Момент сопротивления сечения относительно данной оси определяется как отно шения осевого момента инерции сечения на расстояние от этой оси до наиболее уда ленной точки данного сечения [2]. Момент сопротивления сечения имеет размер ность единиц длины в третьей степени (например м3, см3 и т. п.).
Радиус инерции г
Радиусом инерции фигуры относительно данной оси называют квадратный ко рень из отношения осевого момента инерции фигуры относительно этой оси, поде ленной на площади этой фигуры.
(4.13)
Способы вычисления осевых моментов, радиусов инерции, координат точек цен тров тяжести для некоторых простых фигур изображены на рис. 4.23. Более обшир ный справочный материал представлен в [2].
Свойства фигур более сложной геометрической формы могут быть найдены в справочниках, если предварительно разбить их на более простые геометрические фигуры. При этом в «составных» фигурах необходимо учитывать, следующее:
1. Осевой момент инерции составной фигуры относительно оси равен сумме осе вых моментов инерции отдельных частей этой фигуры, определенных относительно той же оси. Это можно записать следующим образом:
Рис. 4.23. Геометрические характеристики квадрата, прямоугольника, круга и треугольника
СТРУКТУРНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ |
257 |
(4.14)
2.Пустота в области сечения (например, вырезанный круг) должна быть учтена путем вычитания осевого момента инерции геометрической фигуры и соответствую щей пустоте.
3.Статический момент всей составной фигуры (первый момент площади фигу ры) М относительно любой оси равен сумме статических моментов отдельных фигур, которые формируют сечение относительно этой оси. (Статический момент площади фигуры относительно данной оси является суммой произведений, полученных ум ножением площади каждого элемента сечения dA на его расстояние от каждого этого элемента до данной оси.)
(4.15)
Для составной фигуры общий суммарный статический момент относительно оси х, определяется уравнением:
(4.16)
Суммарное значение площади для составной фигуры определяется уравнением:
(4.17)
Значения, полученные с помощью уравнений (4.16) и (4.17), могут быть также ис пользованы для определения места расположения центральной оси поперечного сече ния балки относительно оси координат или какой-либо другой вспомогательной оси. Расстояние между вспомогательной осью х и центральной (которая может быть ней тральной осью) составной фигуры может определяться следующим образом:
(4.18)
Уравнение (4.18) может быть использовано для определения места расположения нейтральной оси балок с несимметричным поперечным сечением, когда положение ней тральной оси не столь очевидно. Как только станет известным место расположения центральной оси составной фигуры, которая перпендикулярна положению нейтраль ной оси, а также площади отдельных фигур и значения моментов инерции для каждой отдельной фигуры относительно их собственных осей, параллельных центральным осям, то значение осевого момента инерции для всего сечения относительно его нейт ральной оси может быть определено из уравнений (4.12) и (4.14):
(4.19)
где /с — величина осевого момента инерции отдельной фигуры относительно ее соб ственной центральной оси; А — площадь каждой отдельной фигуры; d — расстояние от центральной оси каждой отдельной фигуры до центральной (нейтральной) оси составной фигуры. Следует заметить, что величина момента сопротивления сечения Z составной фигуры не равна сумме значений моментов сопротивления отдельных фигур и должна определяться с помощью общего осевого момента инерции состав ной фигуры. Приведем несколько примеров.
17 Зак. 593
258 КОНСТРУИРОВАНИЕ ПЛАСТМАССОВЫХ ИЗДЕЛИИ ДЛЯ ЛИТЬЯ ПОД ДАВЛЕНИЕМ
Пример 4.1. Осевой момент инерции для фигур простейшей геометрической формы
Поперечное сечение балки, показанной на рис. 4.24, симметрично относительно осей
хиу.
Рис. 4.24. Поперечное сечение прямоугольной балки
Если к балке приложена нагрузка перпендикулярно оси х, то ось х, являясь осью симмет рии, а также центральной осью, перпендикулярна линии действия нагрузки. Она также совпадает с нейтральной осью для однородных упругих материалов. Балка имеет ширину Ь 1,00 дюйм и толщину h 0,25 дюйма. Конструктору может понадобиться определить осевой момент инерции сечения относительно оси х до определения напряжений и прогиба, возни кающих из-за приложенной нагрузки. В этом случае значение / относительно центральной оси определяется следующим образом:
Расчет значения /для поперечного сечения относительно оси у будут представлять инте рес, если к балке приложена нагрузка перпендикулярно этой оси. Ось у, являясь осью сим метрии и также центральной осью, направлена перпендикулярно приложенной нагрузке и становится нейтральной осью:
(4.11)
Заметим, что момент инерции относительно оси у существенно больше момента инер ции относительно оси х; это имеет особое значение для изделий, в которых необходима высокая прочность при изгибе. Из уравнения (4.10) видно, что значение момента инерции для балки прямоугольного сечения пропорционально толщине балки в третьей степени. Прогиб балки при заданных эксплуатационных нагрузках всегда обратно пропорционален осевому моменту инерции относительно нейтральной оси (то есть конструкции с высокими значениями /будут иметь меньший прогиб). С другой стороны, когда требуется использова ние больших отклонений (например, в случае защелок (балок)) используются меньшие раз меры стенок.
Пример 4.2. Осевой момент инерции составного сечения (асимметричного)
Классическим примером минимализации прогиба является использование балки дву таврового сечения (двутавр). Геометрия двутавра такова, что большая часть его площади сечения распределена достаточно далеко от нейтральной оси его поперечного сечения. При
СТРУКТУРНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ |
259 |
этом балка имеет относительно тонкие стенки, поэтому ее вес будет минимальным. То есть рациональность геометрической формы двутавра заключается в том, что он обладает отно сительно высоким соотношением жесткости к весу.
Рис. 4.25. Геометрическая форма двутавровой балки обеспечивает высокую жесткость за счет размещения материала на большом расстоянии от нейтральной оси
Как и поперечное сечение сплошного прямоугольника в примере 4.1, двутавр симметри чен относительно осей х и у. Но балка не имеет правильной геометрической формы, следова тельно, значение осевого момента инерции может быть вычислено путем разбиения сложно го поперечного сечения на ряд сплошных или «пустых» фигур, имеющих правильную форму и значения осевых моментов инерции которых можно найти в справочниках. Предположим, что к балке приложена нагрузка перпендикулярно оси .г, тогда для конструктора будет пред ставлять интерес значение 1Х (то есть значение осевого момента инерции относительно ней тральной оси). Рассчитать это значение можно по-разному. Мы представим несколько вари антов решения, но все они приведут к одному и тому же результату.
Рис. 4.26. Геометрическая форма двутавра для расчета осевого момента инерции может быть представлена в виде одного сплошного прямоугольника и двух полых прямоуголь ников
Пример 4.2а Осевой момент инерции двутавровой балки
Поперечное сечение балки, которое показано рис. 4.25, можно представить в виде прямо угольника из сплошного материала, из которой «вырезаны» два прямоугольника меньшего размера. Центральные оси для каждой из этих геометрических фигур правильной формы
260 КОНСТРУИРОВАНИЕ ПЛАСТМАССОВЫХ ИЗДЕЛИЙ ДЛЯ ЛИТЬЯ ПОД ДАВЛЕНИЕМ
(одной сплошной и двух пустотелых) совпадают с центральной осью всей двутавровой балки:
(4.19)
так как значение у для каждой из трех фигур правильной геометрической формы (то есть для спошного и полых прямоугольников) будет равно нулю. Поскольку геометрические формы пустот совпадают, можно записать:
Поперечное сечение двутавровой балки также можно считать состоящим из одного боль шого прямоугольника и одного пустотелого прямоугольника меньшего размера. Область пустотелого прямоугольника показана на рис. 4,27. Значение осевого момента инерции от носительно оси х для швеллера, как показано на рисунке, эквивалентно осевому моменту инерции поперечного сечения двутавровой балки относительно оси х (эти геометрические формы являются эквивалентными только с этой точки зрения).
Рис. 4.27. Геометрическая форма двутавровой балки может быть также представлена в виде большого сплошного прямоугольника и одного большого пустотелого прямо угольника для расчета осевого момента инерции
Пример 4.2Ь. Осевой момент инерции двутавровой балки
Поперечное сечение двутавровой балки можно также представить в виде набора сплошных прямоугольников (рис. 4.28). В этом случае положение нейтральной оси совпадает с положе нием центральной оси фигуры 2. Центральные оси для фигур 1 и 3 легко определяются.
Центральные оси для двух из трех фигур (а именно фигур 1 и 3) не совпадают с цент ральной осью всего двутаврового сечения. В этом случае может быть использована теорема о параллельных осях для расчета осевого момента инерции составного сечения относитель но центральной оси.
СТРУКТУРНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ |
261 |
Рис. 4.28. Геометрическая форма двутавровой балки может быть представлена в виде трех сплошных прямоугольников для расчета осевого момента инерции.
(4.19)
Значение момента инерции, определяемое с помощью такого подхода, эквивалентно пока занному в примере 4.2а, но в этом случае промежуточные результаты дают дополнительную полезную информацию. Показано, что верхняя и нижняя полки в основном обеспечивают жесткость двутавровой балки. Центральная часть не дает большого вклада в жесткость, но она необходима для обеспечения сплошности фигуры и передачи изгибающих напряжений.
4.4.3. Использование усиливающих ребер для увеличения жесткости
Многие пластмассовые изделия имеют геометрическую форму, в которой пре дусмотрены ребра. Они необходимы изделиям, подвергающимся изгибающим на грузкам. Усиливающие ребра увеличивают жесткость деталей.
Рис. 4.29. Типичные конфигурации ребер, используемых для увеличения жесткости отли вок, имеющих форму пластин. Конструкторы должны рассматривать характери стики ребер, и технологические параметры, связанные с изготовлением ребер, на пример, вентиляцией и извлечением изделий
262 КОНСТРУИРОВАНИЕ ПЛАСТМАССОВЫХ ИЗДЕЛИЙ ДЛЯ ЛИТЬЯ ПОД ДАВЛЕНИЕМ
Усиливающие ребра используются на поверхностях, не являющихся лицевыми. Ребра обычно проектируются в направлении максимальных напряжений и максималь ного изгиба. Они могут располагаться по все длине изделия или использоваться в каче стве элементов локального усиления, чтобы повысить жесткость отдельных участков изделия (рис. 4.29). Не пересекающиеся с вертикальной стенкой ребра не должны рез ко обрываться. Постепенное уменьшение зоны перехода будет приводить к снижению концентрации напряжений, улучшению течения расплава и вентиляции при заполне нии формы, что позволит снизить вероятность образования газовых ловушек, недоли вов или подгаров. Другие структуры, подобные ребрам, например, опорные ребра или косынки (рис. 4.29, d) обычно используются для укрепления вертикальных стенок.
Простейшие усиливающие ребра имеют прямоугольное сечение, по форме по хожее на сечение балок, которые крепятся к несущей поверхности изделия. Суще ствуют случаи, когда формы и размеры ребра должны быть изменены, как показано на рис. 4.30. Усиливающее ребро изготавливают с клиновидным профилем, чтобы уменьшить усилие съема изделия и обеспечить его мгновенное отделение в процессе извлечения. Другая модификация заключается в том, что основание ребра (то есть место, в котором ребро пересекается с основной стенкой) имеет закругление, что сни жает концентрации локальных напряжений и обеспечивает постепенное изменение толщины. Закругление в основании ребра улучшает характеристики заполнения фор мы и демпфирует напряжения, возникающие в процессе усадки/охлаждения. Мини мальная ширина на практике ограничивается параметрами заполнения формы, а макси мально возможная ширина ограничивается характеристиками усадки материала, из которого будет производиться изделие, то есть возможностью уплотнения материала и требованиями к плоскостности/внешнему виду отливки.
Рис. 4.30. Ребра прямоугольного сечения должны быть модифицированы