Алгебра и геометрия - 1 семестр

02.09.2025

Основные математические структуры

Определение: Множество - совокупность объектов, обладающих общим свойством. Способы задать множество:

= {1, 2, …, }

X={x|p(x)} (вторая часть - это свойство)

Пример: X={x|x^2+2x-3=0}={1,3}

N={1,2,3…}

Определение: Натуральное число - то общее, чем обладает множество, состоящее из соответствующего числа объектов.

Z={0;1;-1;2;-2…}

Q={m/n|m Z;n N} числа, которые можно представить в виде дроби

11 = 22 , 1 2 = 1 2

A B является подмножеством

Определение: Счётное множество - если есть взаимно однозначные соответствия между этим множеством и N.

U={x|x x} парадокс Рассела

Определение: Аксиоматическая теория множеств - математическая конструкция,

позволяющая строить множества без парадоксов.

1. Теория множеств Цермело-Френкеля 2. Система аксиом фон Неймана-Бернайса-Гёделя

Операции над множествами: A∩B, A B, A\B, Ā=U\A

Свойства операций:

1

1.(A B) C=A (B C) ассоциативность

2.A B=B A коммутативность

3.A =A нейтральный элемент

4.(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

5.A∩B=B∩A

6.A∩U=A

7.A∩(B C)=(A∩B) (A∩C)

8.A (B∩C)=(A B)∩(A C)

Множество всех подмножеств X обозначается 2

Пример: = {1; 2}, 2 = { ; {1}; {2}; {1; 2}}

|X| - число элементов множества X

|2 | = 2| |

Прямое произведение множеств - множество упорядоченных пар

X×Y={(x,y)=x X;y Y}

Пример: X={a,b} Y={1,2} X×Y={(a;1);(a;2);(b;1);(b;2)}

2 = × множество точек на плоскости3 = × × множество точек в пространстве

Элементы математической логики

2

Определение: Пусть задано бинарное отношение R на множестве X. Называется его декартовым произведением R X×X на множестве X задано отношение R. (x,y) R xRy

x находится в отношении R к y

Отношение R на X равенства - если оно обладает свойствами для любых элементов:

1.xRx рефлексивность

2.xRy=yRx симметрия

3.xRy,yRz xRz транзитивность

Теорема: Пусть есть множество X, R - равенство, X может быть разбито на подмножества равных между собой элементов.

= {| = }

Пример: Отношение делимости , параллельность, равенство

Отношение порядка

Определение: Отношение R на множестве X называется полным или совершенным, если любые 2 элемента сравнимы по этому отношению, в противном случае называется частичным.

Если оно полное и транзитивное, то называется полным и упорядоченным Частично транзитивное отношение - частично упорядоченное

Полное упорядоченное называется линейным или строгим, если оно антисимметрично Частичные - множество вещественных чисел

Частичный порядок - не любые 2 набора можно сравнить Множество упорядоченных наборов, у которых первая компонента принадлежит первому набору, вторая второму и так далее

Примечание автора: Вариант от ИИ с объяснением - Отношение порядка Определение: Бинарное отношение R на множестве X называется:

4

Отношением частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношением линейного (полного) порядка, если оно является частичным порядком и любые два элемента множества X сравнимы.

Ключевые понятия:

-Частичный порядок: не все элементы множества обязательно сравнимы между собой.

-Линейный порядок: любые два элемента можно сравнить (либо a b, либо b a).

Пример:

Пусть набор товаров = ( 1, 2, 3), = ( 1, 2, 3) x<y, если каждый x<y x=(1,2) y=(3,4) x<y

z=(2,1) x=(1,2) несравнимы

Мы можем задать метод сравнения, обозначить его и сравнивать по нему по законам

1, 2, 3

Множество A<B, если A B

Определение: Лексикографический порядок - сначала сравниваем по 1 элементу, потом по 2 и так далее.

Нахождение наибольшего множества

Если нет наибольшего, M - верхняя грань на множестве A. Для любого x принадлежащему A (x≤M)

m - нижняя грань для любого x принадлежащему A (x≥m)

Определение: X парето-оптимальный, если не существует набора большего чем X

Определение: Функция f - это правило, заданное на множествах X Y где каждому элементу X ставится в соответствие элемент Y.

F:X→Y (x,f(x)) y=f(x)

5

Взаимно однозначная функция - : →

Примечание автора: f:A→B - это подмножество F декартова произведения A×B, удовлетворяющее условию: Для каждого x A существует ровно один y B такой, что упорядоченная пара (x,y) F.

Тогда это X×Y декартово произведение.

Декартово произведение - множество упорядоченных пар для ,

N={(x;f(x))|x X} график функции

Пусть A X:f(A)={f(x)|x A} - это функция в области A, а B Y: −1(B)={y|f(y) B} -

обратная функция в области B

Пример: B=[1;4] y= 2

−1( ) = [− 2; − 1] [1; 2]

Композиция функций: → → h(x)=g(f(x)) h=f g

−1 =

( ) =

Определение: f:X→Y инъективны, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции. 1 ≠ 2 (1) ≠ (2)

Определение: ( ( ) = ) сюръективны, если каждому значению y существует x такой что f(x)=y.

Определение: Функции биективны (взаимно однозначны), если они инъективны и сюръективны.

Примечание автора: Инъекция - однозначность (разные X разные Y), сюръекция - всё второе множество задействовано (каждому Y свой X), биекция - взаимно однозначная перестановка.

Таблично-заданные функции задаются таблицей, где каждому y есть своё значение x. Последовательность из n чисел - перестановки.

Биективная функция всегда имеет обратную.

Пример:

6

1.Вся функция = 2 не имеет сюръективности и инъективности.

2.Если убрать часть графика под функцией, то функция становится сюръективной.

3.Если убрать левую часть графика, то функция станет биективной.

03.09.2025

Алгебраические структуры на множестве

Определение: Пусть есть X, операция φ - функция, которая к каждой паре элементов ставит в соответствие элементы того же множества. φ:X×X→X

Операция может быть не везде определена (частично). φ(a,b)=c (Для примера введём знак ) a b=c бинарная операция

Пример:

N: + и * всегда, - и / частично Q: -, + и * всегда, / частично

2 : ∩ \

Свойства операций

Определение: Множество G с введённой операцией называется коммутативной или абелевой группой, если обладает 4 свойствами:

1.(a b) c=a (b c) ассоциативность

2.a b=b a коммутативность

3.= нейтральный элемент e a=a

4.−1 = −1 = обратный элемент −1 a=e

Целые - абелева группа по сложению, но не по умножению. Натуральные нет. Рациональные - по сложению и умножению (без 0). Вещественные - по + и * (кроме 0). Замечание: Без коммутативности (1, 3, 4) являются просто группой.

Определение: Множество F с двумя операциями + * называется полем, если эти операции обладают следующими свойствами:

7

1.Коммутативность a+b=b+a

2.Ассоциативность (a+b)+c=a+(b+c)

3.Есть нулевой элемент a+e=a

4.Есть обратный элемент a+(-a)=e

5.Ассоциативность ( * ) * = * ( * )

6.Коммутативность a*b=b*a

7.Есть ненулевой нейтральный элемент a*e=a

8.Обратный элемент для ненулевых элементов * −1 =

9.Дистрибутивность * ( + ) = * + *

Конечные поля используются в кодировании. Можно создавать конечные поля. Минимальное поле содержит 2 элемента

( ) = ( )

( )

Делить рациональные функции можно, значит, множество рациональных функций является полем.

Комплексные числа

Определение: Множество C называется множеством упорядоченных пар вещественных чисел, на которой заданы операции + и * по следующим правилам:

1.1 + 2 = ( 1 + 2, 1 + 2)

2.1 * 2 = ( 1 * 2 − 1 * 2, 1 * 2 + 2 * 1)

C={(x,y)|x,y R}

Проверка свойств:

1.( 1 + 2, 1 + 2) + ( 3, 3) = (( 1 + 2) + 3, ( 1 + 2) + 3)

2.1 + 2 = 2 + 1

3.0=(0,0)

8

4.-z=(-x,-y)

5.Раскрытие скобок работает для сложения

6.1* 2= 2* 1

7.(1;0)

8.Деление выполняется

9.Раскрытие скобок работает для умножения Множество C является полем

= ( , ) = (1, 0) + (0, 1) = + , = (0, 1) * = (0, 1)(0, 1) = (− 1, 0) =− 1

ReZ реальная часть ImZ мнимая часть

2 =− 1 | | = 2 + 2

= − комплексно-сопряжённое числу z

* = ( + )( − ) = 2 + 2

| | = 2 + 2 модуль комплексного числа Деление: z=x+iy

Пример: (с домножением на сопряжённые)

= 2− = (2− )(1− ) = 1−3 1+ (1+ )(1− ) 2

ReZ=½ ImZ=-3/2

Для комплексных чисел характерны 4 аксиомы:

1. a=b, если 1 = 1, 2 = 2

9

2.Умножение ( 1 2 − 1 2, 1 2 + 2 1)

3.Сложение ( 1+ 2, 1+ 2)

4.( , 0) =

Из формы по определению к алгебраической форме:

( , ) = ( , 0) + (0, ) = (1, 0) + (0, 1) = +

Пример: (2 − )(3 + 2 ) = 8 +

2− = (2− )(3−2 ) = 4+7 3+2 13 13

Определение: Ось - прямая, на которой можно определить начало, направление и масштаб.

2 = × - множество пар.

Определение: Прямоугольная система координат - частный случай косоугольной системы координат.

Определение: Полярная система координат - первое число - расстояние до точки от центра ρ и второе число - угол φ между положительной осью абсцисс и радиусом (другими словами, другие координаты) (ρ, φ) = (| |, ).

Линии постоянного полярного угла - лучи.

Геометрическое представление комплексных чисел

Сложению по правилу параллелограмма

Угол φ считается аргументом комплексного числа arg z=φ определён на [0;2π) или

[-πi;π)

10