АлгебраИГеометрия1семестр
.pdf
14.10.2025
= 2, = 2 = 4 у двойки образ четыре Определение: Значение функции - образ аргумента, прообраз - наоборот. Порядок столбцов в подстановке не важен Сколько здесь инверсий? Это сумма для каждого элемента
Определение: Транспозиция - в подстановке меняются два элемента
Нужно нечётное количество перестановок При любой транспозиции инверсия поменяет чётность Теорема: Половина перестановок - чётная, половина нечётная.Доказательство:
Пусть есть множество чётных и нечётных перестановок. Поменяем чётность первого множества | | ≤ | |, затем рассмотрим случай, если поменять чётность второго | | ≥ | |, значит | | = | |, что и требовалось доказать.
15.10.2025
Определение: Базисный минор - это любой минор порядка r, отличный от нуля (r - ранг матрицы).
Свойства ранга матрицы:
1.При транспонировании ранг не меняется
2.Если из матрицы вычеркнуть нулевую строку, то ранг этой матрицы не изменится
3.При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется
41
Методы вычисления ранга матрицы
1. Метод окаймляющих миноров.
Пусть в матрице A найден минор k-го порядка, который отличен от нуля. Рассмотрим все ( + 1) × ( + 1) матрицы, которые содержат в себе (окаймляют) матрицу × (которой соотнесён данный ненулевой минор k-го порядка).
Утверждение: Если все миноры (k+1)-го порядка, которые соответствуют окаймляющим матрицам, равен 0, то тогда ранг матрицы равен k. В противном случае (если найдена невырожденная окаймляющая матрица ( + 1) × ( + 1)), то тогда процедура продолжена (уже для данной невырожденной ( + 1) × ( + 1) матрицы).
Пример: Найти r(A)
Ранг равен двум (не найти фрагмент 3 на 3, где ранг не равен нулю, так как 1 и 3 строчки равны). Ответ: 2
2. Метод элементарных преобразований
матрицы равны нулю. Число r ( |
11, 22,..., ≠ 0 |
, |
все остальные |
элементы |
|
|
|
||
|
количество ненулевых |
диагональных |
элементов) |
|
соответствует рангу матрицы A.
42
Пример: Найти r(A) 
17.10.2025
Собственные числа и собственные столбцы квадратной матрицы
Пусть A - квадратная матрица n-го порядка. X - столбец высоты n, значит имеет смысловое равенство (*) = λ , где λ - число.
Определение: Число λ называется собственным числом квадратной матрицы A, если существует ненулевой столбец X, такой что выполняется неравенство = λ . Почему ненулевой? = 0 удовлетворяет при всех λ.
Определение: Если λ - собственное число матрицы A, то существует столбец X (в том числе нулевой), который называется собственным столбцом или вектором матрицы A соответствующим собственному числу λ.
|
|
( |
11 |
... |
1 |
) |
( |
1... |
) |
|
0... |
|
|
|
|
|
Пусть |
= |
|
, = |
|
|
, 0 = |
− |
λ = 0 |
, то есть |
( − λ ) = 0 |
(**) |
|||||
|
|
1 |
... |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||
Равенство ** - система однородных алгебраических( ) |
уравнений |
|
|
|||||||||||||
43
Эта система имеет нетривиальное решение ( − λ ) = 0
Определение: Пусть t - переменная. Рассмотрим многочлен от t φ1( ) = ( − λ ). Такой многочлен называется характеристическим многочленом матрицы A.
Вывод: Собственные числа квадратной матрицы A совпадают с корнями её характеристического многочлена.
Пример: Найти собственные числа и отвечающие им собственные столбцы матрицы.
Собственные числа λ1 = 1, λ2 = 2. Найдём отвечающие им собственные столбцы.
Пусть λ1 = 1 ( − λ1 ) = 0:
44
Значит, собственный столбец, отвечающий собственному числу λ1 = 1: (α 0 0 0) Пусть λ2 = 2:
|
|
|
|
λ = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Собственный столбец |
|
отвечающий |
||||||||||
собственному числу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 = 1 (α 0 0 0) , λ2 = 2 (− β β − α α) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Обозначим |
|
- матрица из элементов комплексно-сопряжённых |
с |
|
элементами |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
матрицы A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ясно: матрица A вещественна |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
матрица A называется симметричной, если |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Определение: Квадратная |
|
= |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определение: |
Многочлен |
|
|
|
|
|
|
|
|
от |
|
квадратной |
||||||||||||
|
порядка: ( ) = 0 |
|
+ 1 |
|
|
+... + −1 + |
= |
|
|
- |
||||||||||||||
матрицы A n-го |
|
|
|
|
, |
|
где |
|
||||||||||||||||
единичная матрица n-го |
|
|
( ) = 0 |
|
+ 1 |
−1 |
+... + −1 + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определение: Полиномиальная матрица - матрица, элементами которой являются многочлены от одной и той же переменной (t).
45
Ясно: Любая |
полиномиальная матрица может быть представлена в виде |
0 + 1 + 2 2 |
+... + , где 0, 1, ..., - числовые матрицы. |
Примечание автора: Другое название многочлена - полином.
Пример: 
Две полиномиальные матрицы равны, соответственно в ( ) равны коэффициенты при одинаковых степенях t.
Теорема: Все собственные числа вещественной симметричной матрицы вещественны.
Доказательство: |
|
Пусть A |
- |
|
вещественная |
симметричная |
матрица (то |
есть |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
), λ |
|
- |
её произвольное число, |
значит по |
определению существует |
|||||||||||||||||
= , |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
1, 2,..., |
|
|
||||||||
ненулевой |
столбец |
X: |
, причём |
|
и |
элементы |
столбца |
X - |
||||||||||||||||||||
комплексные числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Возьмём столбец |
|
|
с элементами |
|
|
|
|
|
|
|
и получим число |
|
|
двумя способами |
||||||||||||||
|
1, 2,..., |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1.= ( ) = (λ ) = λ( )
2.= ( ) = ( ) = ( λ) = λ( )
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Так как |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
| |
> 0, ( ≠ 0) |
|||||||||||||||
|
|
, то |
λ( ) = |
λ( ) |
|
= |
|
+... + |
|
=| |
|
+... + | | |
|
|
|||||||||||||
λ = λ |
|
есть |
λ |
. Что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
24.10.2025 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема: Если собственные столбцы X и Y симметричной матрицы A соответствуют разложению различным собственным числам λ и μ, то = 0.
Доказательство: AX=λX, AY=μY. Получим число двумя способами:
46
1.= ( ) = (µ ) = µ( )
2.= ( ) = (λ ) = λ( )
Значит, µ( ) = λ( ). Так как λ ≠ µ по условию, то = 0, что и требовалось доказать.
Примечание автора: = ( ) размера n×n взаимной (присоединённой) называется матрица adj(A), элементы которой - алгебраические дополнения элементов исходной матрицы,
расположенные транспонированно: |
( ) = ( )× |
где |
|
- алгебраическое дополнение |
||||||||||||||
элемента |
. Свойство: |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
Теорема ( |
|
|
* ( ) = ( ) * = ( ) * |
|
||||||||||||||
|
Гамильтона-Кэли): Если |
φ(, |
) |
- характеристический многочлен квадратной |
||||||||||||||
матрицы A n-го порядка, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где 0 - нулевая матрица n-го порядка. |
|||||||||
Для |
n=2: |
Пусть |
|
φ( ) = 0 |
|
|
( |
|
− |
) |
= |
|
− ( + ) + ( − ) |
|||||
|
|
|
|
= |
|
|
φ( ) = |
|
||||||||||
φ( ) = 2 − ( + ) + ( ( |
− )) = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Доказательство: |
Рассмотрим полиномиальную матрицу |
= − ∆ ≡ = |
||||||||||||
, где |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Составим= φ ( ) = для0 +B 1взаимную+... + матрицу |
= (− 1)элемент матрицы |
|
с точностью до знака - |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
так как все элементы в B содержат t в степени |
|||||||
это минор (n-1) порядка матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(n-1)-го порядка является многочленом степени |
||||||||
1, то любой минор матрицы B |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
≤ − 1 |
все |
элементы |
|
- |
многочлены |
степени |
≤ − 1 |
. Следовательно, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
представление |
= 0 + 1 +... + −1 −1 |
, где |
- числовая матрицы. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Но * = * = φ ( ) * .
47
Левая часть |
|
( − ) * ( 0 + 1 +... + −1 −1) = 0 + 1 |
+... + −1 −1 − |
||||||||||||||||||
0 |
−... − |
−2 |
|
−1 |
− |
−1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
) +... + ( |
|
− |
−2 |
) |
−1 |
− |
−1 |
|
|
− |
|
|
|
|
= + ( |
|
− |
|
|
|
|
|
|||||||||
Значит, |
φ ( ) * = 0 + 1 +... + −1 −1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Правая часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Что и требовалось доказать.
Примечание автора: Идеи доказательства: Характеристический многочлен матрицы возникает при вычислении определителя det(A-tE). Если рассмотреть присоединённую матрицу для (A-tE), её элементы оказываются многочленами от t. Основная идея: при перемножении (A-tE) с её присоединённой матрицей получается тождество, где справа стоит характеристический многочлен, умноженный на единичную матрицу. Когда мы подставляем саму матрицу A вместо переменной t в это тождество, левая часть зануляется, а правая становится P(A) - значением характеристического многочлена на матрице. Так матрица зануляет свой собственный характеристический многочлен.
Многочлены
Определение: Многочленом степени n от переменной x называется выражение вида
0 |
|
|
1 |
|
−1 |
+... + |
−1 |
+ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
≡ ( ) |
|
|
|
|||||
Определение: |
называется |
старшим членом, а |
- свободным членом, n - |
|||||||||||
степень числа. 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
48
Пример: 1. |
( ) = 0. 5 |
5 |
− 3 |
3 |
+ |
3 |
2 |
− 5 − 6 |
- многочлен 5 степени. 0.5 - |
коэффициент |
|
|
|
|
|||||
|
при старшем члене |
|
|
|
|
|
|||
2.Число 4 - многочлен 0 степени
3.2x²+1/x+7 - не многочлен из-за x^(-1)
( ) |
многочлен можно рассматривать и как функцию аргумента x. |
|||||
|
|
α |
|
|
||
Определение: Число |
|
(вещественное или комплексное) называется корнем |
||||
многочлена |
, если |
(α) = 0 |
. |
|||
Во |
|
|
( ) |
|
||
|
множестве многочленов допустимы сложение, вычитание, умножение и деление с |
|||||
остатком.
Определение равенства двух многочленов, суммы, разности и произведения даются в
школьном курсе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение: |
Многочлен |
делится |
с остатком на многочлен |
|
, если |
|||
|
многочлены ( )S(x) |
|
|
|
|
R(x)<m): |
||
существуют |
и |
R(x) |
(причём |
степень ( ) |
|
|||
( ) = ( ) * ( ) + ( ). Это возможно тогда и только тогда, когда ≤ .
Пример: 
49
Схема Горнера
Используется при делении многочлен степени (n-1) при x-α
0 |
|
+ 1 |
−1 |
+... + −1 + = ( − α)( 0 |
−1 |
+ 1 |
−2 |
+... + −1) + |
(r - число), |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
значит |
|
0, то есть |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
: |
0 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
−2: 1 |
|
|
|
|
|
|
1 = 1 + α 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= 1 − α 0, то есть |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
: 2 = 2 − α 1 |
|
|
|
|
2 = 2 + α 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0: =− α −1 + , то есть = + α −1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
28.10.2025 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
α |
|
,..., α |
|
= 0 |
|
|
Линейная зависимость и независимость |
|
|||||||||||||||||||
|
|
(нулевая строка) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример: |
α1(1, 0, 0) + α2(0, 0, 1) = (0, 0, 0), (α1, 0, α2) = (0, 0, 0) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Единственное решение |
α1 |
= 0, α2 = 0 |
. Независимы |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
α1(1, 1, 1) + α2(3, − 1, 2) + α3(4, 0, 3) = (0, 0, 0) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
α1 + 3α2 + 4α3 = 0, α1 − α2 = 0, α1 + 2α2 + 3α3 = 0 α1 = α2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
4α2 + 4α3 = 0, α1 = α2, 3α2 + 3α3 = .0 α2 =− α3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(1, 1, 1) + (3, − 1, 2) − (4, 0, 3) = 0 |
Зависимы |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Определение: |
|
- Необходимо и достаточно. |
|
- B необходимый признак для |
|||||||||||||||||||||||
A, а A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
достаточный признак для B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Если есть множество независимых строк, то подмножество тоже независимо. Если есть множество зависимых строк, то уже нельзя сказать, будет подмножество зависимым или независимым.
50