АлгебраИГеометрия1семестр
.pdf
213 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
231 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
312 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
321 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
= 11 22 − 12 21 |
- 0 инвертных пар минус 1 инвертная пара. Считаем |
|||
21 |
22 |
|
||||
(инверсию) |
по второму индексу |
|||||
Как быстро считать при n=2 - произведение чисел на главной диагонали минус произведение на побочной
Правило треугольника для n=3
Пример:
Свойства определителя:
1.Определители матрицы и транспонированной матрицы равны
2.Если строка состоит из нулей, то определитель равен нулю
3.Если в определители две строки поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный
21
4.Если все элементы строки определителя умножить на число λ, то величина определителя умножится на λ
5.Если к 1 строке определителя прибавить какую-либо другую, умноженную на некоторое число, то величина определителя не изменится
6.Если 1 строка определителя является линейной комбинацией оставшихся, то определитель равен нулю
Примечание автора: Если все элементы матрицы A размера n×n умножить на число λ, то её определитель умножится на λ : (λ ) = λ ( ).
Алгебраическое дополнение
Определение: Алгебраическое дополнение - определитель матрицы, полученной из данной матрицы вычёркиванием i строки и j столбца и умноженный на (− 1) + .
|
11 |
... 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
Каждый= 1определитель... |
может быть разложен по любой строке или столбцу |
||||||||
(= 1 * 1) |
+ 2 * 2 +... + * |
|
|
|
|||||
Пример: A= |
|
| |
5 |
6| |
|
|
|
||
| |
4 |
6| |
11 = | |
8 |
9| * 1 = 45 − 48 =− 3 |
||||
|
| |
|
| |
| |
4 |
5| |
|||
12 = | |
7 |
9| * (− 1) =− 36 + 42 = 6 13 |
= | |
7 |
8| * 1 = 32 − 35 =− 3 |
||||
| |
|
| |
|
|
|
|
| |
|
| |
detA= |
|
|
=1 * 11 + 2 * 12 + 3 * 13 = 0 |
||||||
Определение: Верхняя треугольная матрица, если все числа, стоящие под главной диагональю квадратной матрицы равны нулю.
22
Теорема: Определитель верхней матрицы равен произведению чисел, стоящих на главной диагонали.
Доказательство:
1. Разложим матрицу по первому столбцу: 2. Разложим её снова по первому столбцу
|
| |
22 |
23 |
2 | |
|
. |
|
= 11 11 = 11 |
|
33... |
= 11 22 *... * |
|
|||
* | |
0 |
|
3 | |
|
|||
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
Воспользуемся свойствами, чтобы сводить матрицу n треугольной
Можно вычитать строки матрицы одну из другой Определитель можно считать разными способами
Обратная матрица
Определение: Квадратная матрица A называется вырожденной, если её определитель равен нулю.
При умножении невырожденных матриц получается невырожденная матрица Пусть A - невырожденная матрица. Тогда обратной будет -
23
−1 = |
1 |
|
* |
|
(C - матрица) строки и столбцы поменялись местами |
|
|
|
|
||||
* −1 = 1 * |
0, ≠ |
|||||
= 1 1 |
+... + = { , = |
|||||
≠ |
|
|
|
|
|
|
На месте j строки записана i строка |
||||||
Если |
≠ |
, то в матрице получилось 2 равные строки, значит определитель равен нулю |
||||
|
|
|
|
|||
Значит, C - единичная матрица, где на главной диагонали 1, а во всех остальных местах 0. Значит, предъявленная матрица является обратной.
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
| |
1 |
2| |
= 4, 21 |
=− 2, 12 =− 3, 22 = 1 |
||||||
= | |
3 |
4| 11 |
||||||||||
|
−1 |
| |
|
|
| |
| |
4 |
−2| |
|
|
|
|
|
=− 0. 5 * | |
−3 |
1 |
| |
|
|
|
|||||
|
|
|
−1 |
= |
|
| |
| |
4 |
| |
|
1 |
2| |
* |
|
|
|
−2| | |
||||||||
|
|
− 0. 5 * | |
−3 |
1 |
| * | |
3 |
4| = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| | |
|
| |
16.09.2025
Формула Крамера
Пусть A - невырожденная квадратная матрица n*n Ax=b, * −1 * = −1 , = −1
−1 = 1 *
24
∆ = 1 * 1 |
+ 2 * 2 |
+( ... * |
- это есть определитель матрицы A, где столбец |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
заменён на |
строку |
то есть как будто |
транспонированная матрица, индексы |
||||||||||||
поменялись местами). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∆ - |
определитель матрицы, полученный заменой i-го столбца на свободный член |
||||||||||||||
|
∆ |
- формула Крамера для |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= 1, |
|
|
||||||||||||
|
|
= |
∆ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= −1 |
|
||||||
Удобная замкнутостью, но 1. Уже есть |
2. Сложно найти определитель. |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
Примечание автора: Пример использования формулы (метода) Крамера для системы 3 на 3:
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса Определение: Система линейных алгебраических уравнений - запись этого вида:
n - число неизвестных, m - число уравнений Определение: Верное числовое равенство - в них такие числа, что число слева равно числу справа.
Пример:
1 + 2 + 3 = 3
3 = 3 − ( 1 + 2)
( 1, 2, 3 − ( 1 + 2)) - решение
25
Определение: Система называется совместной, если она имеет хотя бы 1 решение.
Иначе она несовместная.
Определение: Система называется определённой, если она имеет ровно 1 решение.
Если более 1, то неопределённая.
Как решать системы?
Определение: Две системы называются равносильными, если множество их решений совпадает.
1~2 равносильны - это отношение равенства, значит есть идея преобразовать систему до момента решения.
Элементарные преобразования алгебраических уравнений
1.Умножить обе части уравнения на число, отличное от нуля
2.Два уравнения системы поменять местами
3.К первому уравнению прибавить другое, умноженное на некоторое число
4.Если есть равенство (0=0), то можно убрать это
Теорема: При последовательном выполнении элементарных преобразований все получающиеся системы будут равносильны.
Как записывать системы линейных алгебраических уравнений?
Запишем в следующем виде - расширенная матрица системы
(|) = |
только коэффициенты |
|
Правила преобразований расширенных матриц (две расширенные матрицы будут эквивалентны, если):
1.Умножить строку на число, отличное от нуля
2.Любые две строки можно поменять местами
26
3. К одной строку можно прибавить другую, умноженное на число
Две расширенные матрицы равносильны, если одна из другой может быть получена путём элементарных преобразований. Решать - значит преобразовывать Базисный шаг преобразования решения марицы -
Пусть у нас есть ненулевой элемент расширенной матрицы в строке r и столбце s Поделим все элементы строки r на этот элемент
Заметим: на его месте будет единица А потом вычтем полученную строку из всех остальных, умножая на соответственно для каждой строки
Так, на месте будет 1, а все элементы столбца s будут нулями.
Пример: определённая
В конце появляется единичная матрица
1 = 2, 2 =− 1, 3 = 4
Замечание: После базисного преобразования столбец из единицы и нулей. Множество решений систем сохраняется.
Пример: неопределённая, 1, 2 - базисные, 3 - свободный
27
1+(4/3)* 3=10/3 |
, |
(10/3 − (4/3) * 3; − 1/3 + (1/3) * 3; 3) |
{ 2−(1/3)* 3=−1/3 |
|
Определение: Если в результате решения системы одни переменные выражены через другие, то первые называются базисными, а вторые свободными.
Определение: Если значения свободных переменных равны нулю, то решение
базисное.
Пример: Несовместная система
В конце неверное числовое равенство
26.09.2025
Ранг Матрицы
28
= ( |
11 |
...... |
1 |
1 |
) |
Определение: Выберем произвольное в матрице A k строк и k столбцов ( ≤ , ≤ ) и составим определитель из элементов матрицы A, стоящих на пересечении. Этот определитель называется минором k-го порядка матрицы A.
Минор 1 порядка - сам элемент матрицы
Пример: 
Ясно: если в матрице A все миноры k-го порядка равны 0, то и миноры (k+1)-го порядка (если они существуют) тоже равны 0 и миноры (k+2)-го порядка (если они существуют) равны 0 и так далее.
Определение: Рангом r(A)=r матрицы A называют число {0}: среди миноров r-порядка. Существует хотя бы один не равный нулю, а все миноры (r+1)-го порядка равны 0.
det(AB)=detA*detB
29
Пример:
Элементарными преобразованиями матрицы называются 1. Умножение строки на число, отличное от нуля
30