АлгебраИГеометрия1семестр
.pdf
12.12.2025
Системы координат
1. Декартова система координат на плоскости. Преобразования декартовых прямоугольных координат: а) Параллельный перенос
б) Поворот на угол α
Можно показать, что любое преобразование координат сводится к операциям а и б.
81
2. Полярные координаты
Точка ( , ) (ρ, φ), где ρ = | | - полярный радиус. φ = ( , ) - полярный угол при ρ ≥ 0. φ [0; 2π) или φ (− π; π] (в роли полярной оси выступает ось Ox).
{=ρ*φ =ρ*φ
Доказательство: (*)
= ρ * φ = ρ * (α + φ') = ρ * ( α * φ' − α * φ') = = ρ * α * φ' − ρ * α * φ' = ' α − ' α= ρ * φ = ρ * (α + φ') = ρ( α * φ' + α * φ') = = ρ * α * φ' + ρ * α * φ' = ' α + ' α
3. Цилиндрические координаты в пространстве
82
4. Сферические координаты в пространстве
83
Замечание: |
Иногда. |
вместо угла θ вводят угол ψ = |
( , |
) - широта точки, тогда |
||||||
ψ − |
π2 |
; |
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямая на плоскости |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Общее уравнение прямой l на плоскости |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
+ |
2 |
> 0 |
|
|
(1): + + = 0, |
|
|
|
|||||||
Это уравнение определяет какую-либо прямую на плоскости Oxy, и любая прямая на этой плоскости задаётся уравнением этого вида.
= + = { , } и называется нормальным вектором прямой l.
Доказательство:
Пусть |
( |
, |
) ( |
=− |
|
− |
|
|
|
, ≠0 |
, |
( |
, |
) |
|
=− |
|
− |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор |
|
|
называется направляющим вектором прямой), то есть |
||||||||||||||||||||||
= 1 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
* |
|
= 0. Так как |
|
= |
2 − 1, 2 − 1 |
|
= |
|
2 − 1, − |
|
(2 − 1) |
, то |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
* |
|
= (2 − 1) − |
|
|
(2 − 1) = 0 |
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(2): Если точка |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
то |
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
уравнение прямой, |
||||||||||||||||
проходящей |
|
|
0(0, 0) |
|
|
|
: ( − 0) + ( − 0) = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
через точку |
0 |
, перпендикулярно вектору {A,B}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84
2. Уравнение прямой в форме с угловым коэффициентом (если в (1) B≠0, то есть невертикальной прямой)
3. y=kx+b, где |
|
, =− |
|
, = |
0 |
= |
0 |
= φ |
, то есть угловой коэффициент k |
прямой l равен tg=− |
|
|
0 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
угла наклона прямой.
b=y(0) - длина отрезка, отсекаемого на оси Oy, с “+”, если b>0, с “-”, если b<0.
Если |
|
точка |
0( 0, 0) |
, то |
(4): − 0 = ( − 0) |
- |
уравнение пучка прямых, |
|||||||||||||||||||
проходящих |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через точку |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19.12.2025 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. Уравнение прямой в отрезках |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= 1, || , ; (•) |
|
|
|
|
|
, то есть |
|
|
|
|
. |
||||||||||||
Из |
|
|
|
|
|
|
|
= − , = − |
||||||||||||||||||
|
|
(1): |
+ =− | *− 1/ − + − = 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
85
4. Уравнение прямой, проходящей через 2 различные точки
1) Пусть { 1≠≠ 2, наклонная прямая, так как 1 , из (4): − 1 = ( − 1) (*)
1 2
Так как |
2 |
|
, из (*): |
2− 1 |
− 1 |
− 1 |
|
|
− 1 = 2− 1 |
( − 1) 2− 1 |
= 2− 1 |
2)Если l - вертикальная прямая, то есть 1 = 2, то : = 1.
3)Если l - горизонтальная прямая, 1 = 2, то : = 1.
5. Векторное уравнение прямой Точка 0(0, 0) , - направляющий вектор прямой. ( , ) - текущая точка прямой.
0||, то есть : − 0 = , где 0 - радиус вектор-точки 0, - радиус-вектор точки = 0 +
6. Каноническое уравнение прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пусть |
0(0, 0) , ( , ) , |
|
= { , } |
- |
направляющий |
вектор так как |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то по условию коллинеарности |
− 0 |
|
|
− 0 |
(8) |
|
|
||||||||||||||||
0 = { − 0, − 0}|| |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7. Параметрические уравнения прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Из (7): |
= 0+ |
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. Нормальное{ = 0+ , уравнение |
прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10), где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
, | | = , : * α + * β − = 0 |
α = ( , ), α = ( , ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Уравнение (10) в векторной форме: |
|
|
|
|
(10’), где |
|
|
|
|
|
|
|
|
- вектор единичной |
|||||||||||||||||||
* = |
{ α, β} |
||||||||||||||||||||||||||||||||
нормали, |
|
|
|
- радиус-вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
{ , } |
|
|
|
|
текущей точки прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
86
Вывод уравнения (10):
Для любой точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
(ρ, φ) , |Пр | = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- уравнение |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пр = | | * (α − φ) = ρ * (α − φ) ρ * (α − φ) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
прямой в полярных координатах. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ρ * φ * α + ρ * φ * α − = |
0 * α + ρ * β − = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. Угол между прямыми |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
направляющие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Нормальные |
1, 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(11): |
( 1, 2) = |
|
| |
|
1 |
* |
2 |
| |
= |
|
| |
|
1 |
* |
2 |
| |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
| 1|*| 2| |
| 1|*| 2| |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
При этом ( 1, 2) [0; π2 ]
87
10. Расстояние от точки 0(0, 0) до прямой : + + = 0
(12): |
≡ (0, ) = |
| 0+ 0+ | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вывод: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
* |
|
|
( 0− 1) +( 0− 1) |
|
|
|||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то |
есть |
|
|
0 |
|
|
, так |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1(1, 1) = |Пр 1 0| |
= | |
|
|
| = | |
| |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| | |
2 |
+ |
2 |
|
|||||||||||||||||||
как |
|
1 |
|
, |
|
|
|
то |
1 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Тогда |
|||||||
|
|
|
|
|
| 0+ 0+ | |
+ =− 1 − 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
| 0+ 0− 1− 1| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
2+ 2 |
|
|
= |
|
2+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
23.12.2025
Геометрический смысл определителя матрицы - объём тела, построенного на векторах.
Аналитическая геометрия - алгебраическое представление геометрических объектов. Как алгебраически представить геометрический объект (точка, прямая, плоскость в пространстве)?
1.f(x,y,z)=0 рассмотрим множество решений этого объекта.
2.Функция многих переменных f=f(t). Геометрический объект - множество значений функции в координатах.
Гиперплоскость - 1 1 + 2 2 +... + = .
Если 1 1 + 2 2 = , то это прямая на плоскости.
Если 1 1 + 2 2 + 3 3 = , то это прямая в пространстве.
Множество многочленов можно считать векторным пространством (оно является полем).
88
89