11

Основная теорема высшей алгебры: Любое алгебраическое уравнение на поле C имеет хотя бы 1 корень.

09.09.2025

Линейная алгебра

Определение: Арифметический вектор - упорядоченный набор вещественных чисел

1.1 * =

2.λ(μ ) = (λμ)

3.( + ) + = + ( + ) ассоциативность

4.+ = + коммутативность

5.0: + 0 = нейтральный элемент (0=(0;0…0)

6.(− ): + (− ) = 0 обратный элемент

7.λ( + ) = λ + λ

8.(λ + µ) = λ + µ

= {( 1, 2... )| 1, 2… } - множество этих упорядоченных наборов Определение: Векторным пространством V называется множество, на котором определены 2 операции - сложение и умножение, обладающие свойствами. Определение: Вектор - элемент векторного пространства.

Пример: Множество направленных отрезков

12

Определение: Два направленных отрезка равны, если равны длины, лежат на параллельных прямых и сонаправлены.

Линейная зависимость и независимость векторов

Пусть есть пространство V, 1, 2… . - линейная комбинация этих векторов, а числа λ1, λ2…λ - коэффициенты этого разложения

Пример: Найти линейную комбинацию

1 = (1, 2, 3)

2 = (3, 2, 1)

3 = (4, 4, 4)

λ1=2, λ2=2, λ3=-1 ƃ=(4,4,4)

Пример:

λ1=2, λ2=1, λ3=-1=(0,0,0)

Определение: Набор 1, 2… называется линейно-зависимым, если существует ненулевой набор коэффициентов, для которого линейная комбинация равна нулю Мы предъявили такие коэффициенты, что линейная комбинация равна нулю.

(λ1, λ2…λ )≠0, λ1 1 +... λ ≠0.

Определение: Векторы линейно-независимы, если для любого ненулевого набора их линейная комбинация не равна нулю.

Определение: Векторы линейно-независимые, если из того, что их линейная комбинация равна нулю следует, что все коэффициенты равны нулю.

Пример:

1=(1,1)

13

2=(2,2)

2=2* 1 λ1=2 λ2=-1

Пример:

1=(1,0,0…0)2=(0,1,0…0)

…

=(0,0,0…1)

= λ1 1 +... + λ ≠0 линейно-независимые

λ +... + λ − = 0

1 1 −1 −1

Примечание автора: Идеи доказательства: 1. Берём нетривиальную линейную комбинацию 2. Выбираем ненулевой коэффициент 3. Выражаем вектор через остальные. Идеи обратного доказательства: 1. Записываем выражение вектора через остальные 2. Переносим все в одну сторону 3. Получаем нетривиальную линейную комбинацию.

Определение: Два вектора называются коллинеарными, если они линейно-зависимые

14

= λ = (λ 1 +... + λ ), 1 = λ 1, = λ

Базис векторного пространства

Пусть есть векторное пространство , 1, 2... - базис векторного пространства, если они:

1.Линейно независимы

2.При добавлении любого вектора к этому набору вектора становятся линейно-зависимыми Определение: Базис - максимальный набор линейно-независимых векторов.

Теорема о единственности разложения векторов по базису: Вектор имеет единственное разложение по базису.

Доказательство: Пусть 1, 2... , - линейно-зависимые, значит один из векторов - линейная комбинация оставшихся λ1 1 +... + λ + λ +1 = 0, значит - линейная комбинация:

= 1 1 +... + = 0

Предположим, что есть ещё 1 представление = 1 1 +... +

0 = ( − ) +... + ( − ) , это может быть только когда коэффициенты равны

1 1 1

нулю, то есть 1 = 1... ∞ = ∞, а это и значит, что наше разложение единственное.

Примечание автора: Идеи доказательства: 1. Предполагаем два разложения 2. Вычитаем их друг из друга 3. Получаем линейную комбинацию базиса = 0 4. Линейная независимость базиса, значит все коэффициенты нулевые 5. Вывод: разложения совпадают.

dimV - размерность пространства (число элементов в его базисе).

Теорема: В векторном пространстве число элементов во всех базисах одинаковое, таким образом, мы можем определить размерность векторного пространства.

15

= {( 1, 2,..., )| 1, 2,..., }

1=(1,0,0…0)2=(0,1,0…0)

…

=(0,0,0…1) - линейно-независимы. Это всё канонический базис.

может быть разложен по этому базису. x здесь - координаторы вектора. Размерность этого пространства n

( ) = + +... + его базис например (1, , 2,..., )

0 1

Линейные функции

Определение: V,W - векторные пространства. Функция f:V→W называется линейной, если она обладает свойствами: (V - область определения, W - R)

1.Однородность (λ ) = λ ( )

2.Аддитивность ( + ) = ( ) + ( )

,..., - базис V

1

= 1 1 +... +

( ) = ( +... + ) = * ( ) +... + * ( ) = +... +

1 1 1 1 1 1

Пример:

f(x)= 1 1+...+ стоимость набора x товара в ценах 1,...,

Определение: V,W - два векторных пространства - изоморфны, если существует взаимно однозначная линейная функция из одного множества в другое.

Это значит, что верно для V, то верно и для W.

16

Определение: Матрица - прямоугольная таблица чисел.

Определение: Если число строк и столбцов совпадают, то матрица квадратная.

Матрица-столбец - всего 1 столбец. Матрица-строка - всего 1 строка. Нулевая матрица состоит из нулей.

Пусть есть множество матриц одинакового размера. Тогда определены операции:

1. Умножение матрицы на число. Каждый элемент матрицы умножается на это число

λ

2. Две матрицы одинакового размера можно складывать. Соответствующие элементы будут складываться A+B

Пример: = ( 14 25 46) = ( 41 30 2−1)3 − 2 = ( −105 015 520)

Множество матриц одинакового размера составляют векторное пространство

= ∑

=1

При умножении строки первой матрицы умножаются на столбец второй матрицы.

Пример:

В первом примере матрица 2×2 и 2×2, во втором 2×2 и 2×1:

17

Матричная форма записи системы алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений: Определение: Решить систему уравнений - найти такой упорядоченный набор чисел1, 2, …, , при подстановке которых в уравнение обратятся в верные числовые равенства.

1 + 2 + 3 = 3

Матричная форма записи линейных пар:

AX==B - Матричная форма записи линейных уравнений

AX=B

Найти матрицу X, при подстановке которой получится верное матричное равенство Подстановка (перестановка) σ - взаимно однозначная функция

10.09.2025

Система AX=B. Допустим, есть обратная матрица:

−1 = −1

EX= −1

X= −1

Определители

19

Примечание автора: Определитель матрицы - скалярная величина, которая ставится в соответствие квадратной матрице.

Расстановка в произвольном варианте - перестановка n!(π) - чётность/нечётность подстановки/перестановки

1, 2...

Пусть < , и - инверсная пара, если >(π) - число инверсных пар Попробуем подсчитать их число

Пример: n=2 число инверсных пар - 1

n=2 (π)

1<2 0

2>1 1

20