АлгебраИГеометрия1семестр

2.Прибавление к элементу одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число

3.Поменять строки местами

4.Те же 3 действия, только с столбцами

Теорема: При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется.

Пример: Замечание: В последнем примере 3 линейно-независимые строки, и r(A)=3

Ранг матрицы и линейная зависимость её строк

Понятие ранга матрицы A размером m*n связано с понятием линейной зависимости и независимости её строк и столбцов. Далее рассмотрим только строки. Для столбцов аналогично.

Обозначим = ( , ,..., ),..., = ( , ,..., )

1 11 12 1 1 2

31

Определение: Две строки называются равными, если они равны поэлементно, то есть

32

λ−1 ∆ = 0, так как последняя строка будет нулевой. Строки 1,..., называются базисными

2. Покажем: для любых (r+1) строк матрицы линейно-зависимы

Рассмотрим минор (r+1)-го порядка, который получается из последнего минора r-го порядка добавлением i-строки и j-столбца

=0, так как r(A)=r

Разложим этот минор по элементам последнего столбца:

Примечание автора: Идеи доказательства: 1. Выбираем r независимых строк - те, которые соответствуют ненулевому минору размера r×r 2. Любую другую строку можно выразить через них, потому что при добавлении новой строки минор (r+1)×(r+1) всегда равен нулю 3. Больше r независимых строк быть не может, иначе ранг был бы больше r.

03.09.2025

Ранг - размер квадратной матрицы. Наибольшее k не равное 0, но миноры которого равны 0, число нулевых строк (столбцов) в матрице.

Исследование систем из линейных уравнений с n неизвестными

33

Определение: Система линейно-независимых решений 1,..., называется фундаментальной, если любое решение системы является линейной комбинацией этих решений этих решений 1,...,

Теорема: Если система r(A)<n, то любая фундаментальная система решений состоит из n-r решений, где r=r(A), значит общее решение системы будет такое:

λ1 1 + λ2 2 +... + λ , где k=n-r

1,..., - любая фундаментальная система решений λ1 + λ2 +... + λ - произвольные числа

Пример: Написать фундаментальную систему решений однородной системы

5 = α, 4 = β, 3 = γ 2 =− 6α − 2β − 2γ, 1 = 5α + β + γ

37

Примечание автора: Идеи доказательства: 1. Берём частное решение неоднородной системы и все решения однородной 2. Показываем, что их сумма даёт решение неоднородной системы (проверка подстановкой) 3. Доказываем, что любое решение неоднородной системы можно представить в таком виде (через разность с частным решением).

Обратная матрица

Определение: Матрица −1 называется обратной матрицей по отношению к квадратной матрице n-го порядка, если * −1 = −1 * = если существует −1, то −1 - квадратная матрица n-го порядка.

Теорема: Пусть A - квадратная матрица n-го порядка. Тогда существует−1 ≠ 0, то есть A - невырожденная (неособенная) матрица.

Доказательство:

Пусть существует −1 так как −1 * = , то −1 * = = 1

1

= −1 ≠ 0

С другой стороны, пусть ≠ 0. Рассмотрим присоединённую матрицу с

элементами = - алгебраическими дополнениями

39

Тогда имеет элементы

То есть, = ( , ,..., ) = 1 = −1 = 1 (*)

Единственность −1: предположим: существует * = * * = * −1 = −1, то есть * = −1, аналогично: если существует **: * = что и требовалось доказать.

diag - диагональ

Свойства обратной матрицы:

1.−1 = 1

2.Если ≠ 0, ≠ 0, то ( )−1 = −1 −1

3.(−1)−1 =

4.( )−1 = (−1)

Обратную матрицу можно найти и методом Гаусса: (|)~(| −1)

Решение системы из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными с помощью обратной матрицы

Умножим слева обе части уравнения (**) на −1: −1 = −1 , то есть = −1

40