АлгебраИГеометрия1семестр

Ортонормированный базис (ОНБ) из единичных ортогональных векторов.

Декартова прямоугольная система координат

2α + 2β + 2γ = 1

Дополнения к предыдущим темам

71

соответствующий a=0.

Деление отрезка данным отношением

есть Замечание: Формально этой формулой можно пользоваться не только для

положительных λ, но и для всех вещественных λ, кроме -1. При λ<0 точка M на прямой

1 , но вне отрезка.

72

Пример: Найти середину 1(2, − 3, 4), 2(6, 1, 0). Ответ: {4,-1,2}

03.12.2025

Аналитическая геометрия на плоскости xOy Декартова система координат

| 1 2| = ( 1 − 2)2 + ( 1 − 2)2

0 лежит на отрезке, который соединяет 1, 2. 0 = ( 0, 0)

Уравнение прямой на плоскости

1. Общее уравнение прямой: + + = 0; , ,

73

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y=kx+b, если k,b - некоторые числа.

3. Уравнение прямой с нормальным вектором: ( − 0) + ( − 0) = 0

(( ), ( −− 0))= 0

0

4. Нормальное уравнение прямой: * α + * α − = 0, где α, α - компоненты единичного вектора, который нормален данной прямой.

Параметр p - это расстояние между прямой и началом координат.

74

точка на плоскости.

= | 0 * α + 0 * α − = 0|, = ( αα)

05.12.2025

Векторное произведение геометрических векторов

Определение: Векторное произведение вектора на вектор - это вектор :

1.| | = | || | ( , ) - длина

2.,

3.Тройка векторов , , - правая

Если = 0 или = 0 или || , то × = 0

Свойства:

1.× =− × - антикоммутативность

2.× ( + ) = × + ×

3.(λ ) × = λ( × )

4.Условие коллинеарности ненулевых векторов: = 0, = 0, то × = 0 ||

5.| × | = параллелограмм, построенный на векторах

75

= | | = | || | φ

1.* = *

2.( + ) = * + *

3.* (λ ) = λ( * )

4.Если ≠ 0 и ≠ 0, то тогда * = 0 - это признак ортогональности ненулевых векторов.

5.* = Пр

76

( − 3 ) × (2 + 5 ) = × 2 + × 5 − 3 × 2 − 3 × 5 = 11 ×

Смешанное произведение векторов Определение: Смешанное произведение векторов , , - число = * ( × ).

*

Свойства:

1.При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак,

например =−

2.| | = параллелепипед, построенный на векторах , , , при этом > 0, если тройка векторов - правая, и < 0, если левая

77

1.База индукции n=2. Выполняется по теореме ( 1 , 2 1 2 )

2.Пусть выполняется для n=k: 1 2... .

3.Пусть n=k+1: 1 2... * +1 = (1 2... ) * +1

Между любыми рациональными числами найдётся хотя бы одно иррациональное число, а между любыми иррациональными числами найдётся хотя бы одно рациональное число.

Теорема: Корень любой степени от целого числа - это целое число или иррациональное число.

Доказательство:

79

По условию 1, значит = 1 * , где . Также 2, поэтому 1 * 2. Так как1 2 (взаимно просты) следует, что 2. Тогда = 2 * , где . Подставляем в исходное: = 1(2 * ) = (1 * 2) . Следовательно, 1 2.

Теорема: 1 2, 1 2

Доказательство:

Теорема: Любое целое число делится хотя бы на одно простое, если оно по модулю больше единицы.

Доказательство: По математической индукции.

1.n=2: 2 2

2.Пусть все числа меньше n делятся хотя бы на одно простое число. Если оно простое, то делится на себя. Если оно непростое, то = α1, 1 < , а по предположению

индукции оно делится хотя бы на одно простое. Теорема: Простых чисел бесконечно много.Доказательство:

Пусть есть конечное множество {1, 2,..., } простых чисел мощности n.1 * 2 *... * + 1 - целое число. По теореме (Любое целое число делится хотя бы на одно простое, если оно по модулю больше единицы) оно делится хотя бы на одно простое. На 1 не делится, так как 1 не делится на 1, с 2 так же, и так далее. Значит, делится только на себя, и предположение неверно. Теорема: Если целое число не делится на какое-то число, то они взаимно просты.

Доказательство:

Пусть = НОД( , ). p не может быть НОД, значит, НОД=1. Теорема: Два разных простых числа взаимно просты.

80