АлгебраИГеометрия1семестр
.pdf
Определение: Отрезок строки - выбранная упорядоченная часть элементов строки выбранной длины. Строки линейно-зависимые так же отрезки линейно-зависимые,
но в обратную сторону не работает. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теорема: Пусть |
1,..., |
- линейно-независимые строки. Добавим линейно-зависимую |
|||||||||||
b: |
1,..., , |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Тогда b - линейная комбинация других строк. |
|||||||||||
|
|
|
α1 1 +... + α + |
β = 0 |
|
β |
|
|
|
||||
Доказательство: |
|
|
|
|
. |
|
не равно нулю, так как в противном |
||||||
случае все α были бы нулями. |
=− |
α1 |
|
|
α |
|
, что и требовалось доказать. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
β 1 −... − |
β |
|
||||
31.10.2025 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: Поделить с остатком многочлен 4 − 2 3 + 4 2 − 6 + 8 на x-1
Ответ: 4 − 2 3 + 4 2 − 6 + 8 = ( − 1)( 3 − 2 + 3 − 3) + 5
Работает только с первой степенью и даже с комплексными числами.
Определение: ( ) ( ) (многочлен делится нацело без остатка), если многочлен
R(x)=0, то есть справедливо такое равенство: ( ) = ( ) * ( ).
Теорема (Безу): Остаток при делении любого многочлена ( ), где его степень ≥ 1 на двучлен x-α равен P(α).
Доказательство: Так как ( ) = ( − α) * ( ) + ( ), = , так как степень
R<1. Отсюда (α) = 0 + . Что и требовалось доказать.
51
Следствие: ( ): − α (α) = 0
Пример: Пусть ( ) = 4 + 2 2 + |
10 + 1, ( ) = + 2 = (− 2) = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
4 |
+ 2(− 2) |
2 |
+ 10(− 2) + 1 = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= (− 2) |
|
|
|
|
|
|
32 ) = (2/3)4 − 2 * 2/3 + 1 =− 8111 |
|
|
|||||||||||||||||||
Пусть |
( ) = 4 − |
2 + 1, ( ) = 3 − 2, = ( |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Теорема (Основная теорема высшей алгебры): |
Всякий многочлен ( ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
≥ 1 |
имеет хотя бы один комплексный корень. |
|
|
степени |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
≥ 1 ( ) = ( − 1) * −1( ) |
|
|||||||||||||
Следствие: Пусть |
- корень многочлена |
, где |
; |
|||||||||||||||||||||||||
если |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
− 1 ≥ 1 |
|
то существует |
2: −1( ) = ( − 2) * −2( ) |
и так далее, значит |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
( ) = ( − 1)( − 2)... ( − ) * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
α |
|||||||||
Определение: Если среди корней многочлена |
|
|
|
|
|
число |
|
встречается k раз, то |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При k=1 |
называется простым корнем. |
|
|
||||||||||||||
называется k-кратным корнем многочлена. |
|
|
1,..., α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Вывод: (*) |
( ) = |
|
|
1 |
|
2 |
... ( − α ) |
, причём |
1 |
+ 2 +... + = |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
( − α1) |
( − α2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Рассмотрим многочлены с вещественными коэффициентами ( ).
Лемма: Если 0 - корень уравнения ( ) = 0, где ( ) - многочлен с вещественными коэффициентами, то 0 (сопряжённое) также является корнем этого уравнения.Доказательство: (для уравнения 2 + + = 0, где , )
Пусть 0 = + - корень уравнения 2 + + = 0( + )2 + ( + ) + = 0, то есть ( 2 − 2 + + ) + (2 + ) = 0
|
|
|
, но |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
2 |
|
2 |
|
0 |
= − ( −, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
) + ( − ) + = |
|||||||||
= ( − + + ) − (2 + ) = 0 |
что и требовалось доказать. |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
. Рассмотрим |
|
|
|
||
0 |
= + 0 = − |
( − 0)( − 0) = |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
52
= ( − ( + ))( −. |
( − )) =(( − ) − )(( − ) + ) =( − ) |
2 |
+ |
2 |
= |
|
|
|||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
2 |
Обозначим |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
, |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= − 2 + , |
|
+ |
|
− 2 = , + = |
( − |
|
)( − |
) = |
||||||||||||||||
2 |
где |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
, так как |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|||||
= + + |
= − 4 = 4 − 4( + ) < 0 |
≠ 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Вывод: Произведение линейных |
|
множителей |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вещественными коэффициентами можно |
||||||||||||||||
соответствующее сопряжённым корням с |
|
|
|
|
( ) = ( − α1) |
|
... ( − α ) |
|||||||||||||||||
заменить квадратным трёхчленом с соответствующими коэффициентами, имеющим отрицательный дискриминант.
( ) = ( − α )β1( − α )β2... ( − α )β *( 2 + + )λ1( 2 + + )λ2... *
1 2 1 1 2 2
* ( 2 + + )λ (**), где β1 +... β + 2λ1 +... + 2λ = , + 4 < 0, ( = 1,..., )
Алгоритм Евклида
Примечание автора: Алгоритм Евклида - это последовательное деление с остатком, где на каждом шаге делитель и остаток становятся новой парой чисел, а последний ненулевой остаток является наибольшим общим делителем исходных чисел.
Определение: Наибольшим общим делителем многочленов P(x) и Q(x) называется такой многочлен D(x), который является и делителем P(x), и делителем Q(x) [нацело] и при этом сам D(x) делится на любой общий делитель этих многочленов: D(x)=НОД(P(x),Q(x)).
Чтобы найти НОД можно разложить на множители многочлены P(x) и Q(x), а затем (смотрите * и **), а затем D(x) составить из этих множителей по аналогии с нахождением НОД целых чисел.
Но можно (по аналогии с целыми числами) использовать алгоритм Евклида.
07.11.2025
Неприводимый вид множителей - (x-α)
53
Чтобы найти НОД, можно 1) разложить на многочлены P(x),Q(x) (вида для
комплексных |
( − α) |
β или для вещественных |
( − α) |
β для |
( |
2 |
+ + ), |
2 |
− 4 < 0 |
), |
|
а затем |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
составить D(x) от этих множителей 2) использовать алгоритм Евклида |
|
|||||||||
Пусть даны ненулевые многочлены P(x),Q(x), где степень P(x) степень Q(x).
(*) [Пока нацело один остаток не поделится на другой] Из последнего равенства: ( −1)( ) ( )( )
Из предпоследнего равенства: ( −2)( ) ( )( ) и так далее. Тогда ( ) ( )( ), а из первого равенства: ( ) ( )( ). Таким образом, ( )( ) - общий делитель для P(x) и Q(x).
Пусть теперь φ(x) - произвольный общий делитель многочленов P(x) и Q(x) Из первого равенства: (1)( ) φ( ), Из второго: (2)( ) φ( )
Из предпоследнего: ( )( ) φ( ), значит ( )( ) = НОД( ( ), ( )).
Замечание: Если P(x) D(x), то P(x) c*D(x), то есть НОД определён с точностью до постоянного множителя. Поэтому будет считать, что у многочлена D(x) коэффициент при старшем члене равен 1.
Определение: Многочлены P(x) и Q(x) взаимно просты, если НОД( ( ), ( )) = 1.
Пример: Найти НОД для ( ) = 4 + 3 3 − 2 − 4 − 3, ( ) = 3 3 + 10 2 + 2 − 3
54
1 способ [буквально]
Ответ: 19 (2)( ) = + 3
2 способ [экономно]
Чтобы избежать дробных коэффициентов вместо P(x) рассмотрим 3P(x). При этом исказится только частное, но на НОД это не повлияет
3 ( ) = 3 4 + 9 3 − 3 2 − 12 − 9, ( ) = 3 3 + 10 2 + 2 − 3
55
Так как (1)( ) = (2)( ) = ( )( + 2), то НОД( ( ), ( )) = (2)( ) = + 3
Теорема: Если ( ) = НОД( ( ), ( )), то существуют многочлены U(x) и V(x), что выполняется равенство: ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) (**). При этом, если степень P(x)>0, степень Q(x)>0, то степень U(x)< степень Q(x), степень V(x)< степень P(x).
Доказательство: (основано на равенствах (*) из алгоритма Евклида) Из предпоследнего равенства (*):
( )( ) = ( −2) * 1 + ( −1)( ) * (− ( )), ( )( ) = ( ),1 = (1)( ), (− ( )) = (1)( )
Подставим сюда выражение ( −1)( ) через ( −3)( ) и ( −2)( ) из предыдущего равенства: ( ( −3)( ) = ( −2)( ) * ( −1)( ) + ( −1)( )).
( ) = ( −2)( ) (1)( ) + ( ( −3)( ) − ( −2)( ) * ( −1)( )) (1)( ) = = ( −3) * (1)( ) + ( −2)( ) * ( (1)( ) − ( −1)( ) * (1)( ))
(1)( ) = (2)( ), ( (1)( ) − ( −1)( ) * (1)( )) = (2)( )
56
Продолжая двигаться вверх по неравенствам (*), получим требуемое равенство.
Для доказательства второго утверждения предположим степень U(x) степень Q(x), значит делим U(x) на Q(x): ( ) = ( ) * ( ) + ( ), где степень R(x)< степень Q(x).
Подставим это в (**): ( ) * ( ) + ( ) * [ ( ) * ( ) + ( )] = ( ) (***)
Здесь степень P(x)< степень Q(x), степень [...]< степень P(x), так как иначе степень
(Q(x)*[...]) степень (Q(x)*P(x)) степень левой части (***) степень (P(x)*Q(x)), а этого не может быть из-за степени D(x). Что и требовалось доказать.
Примечание автора: Идеи доказательства: 1. Обратный ход алгоритма Евклида - выражаем НОД через остатки, поднимаясь от последнего шага алгоритма к исходным многочленам. 2. Последовательная подстановка - на каждом шаге заменяем остатки их выражениями через предыдущие остатки из алгоритма Евклида. 3. Повторяющееся построение U(x) и V(x) - коэффициенты выражаются через коэффициенты с предыдущих шагов. 4. Контроль степеней (от противного) - предполагаем, что степень U(x) слишком большая, делим с остатком и получаем противоречие со степенью D(x).
11.11.2025
Полиномы
, +. Скаляр (P - поле)
Определение: - одночлен.
∑ - многочлен. deg(a) - степень.
=0
Полиномы и векторы изоморфны, 1, , 2..., - естественный базис для них.
( ) = 0 + 1 + 2 2 +... + , ( ) = 0 + 1 + 2 2 +... +
При умножении свободный член - 0 = 0 0
( ) = ( ) ( )
= ∑
−
=0
57
17 = 5 * 3 + 2, − 17 = 5 * (− 4) + 3 
Остаток не может быть отрицателен.
= + , 0 ≤ ≤ | |,( ) = ( ) ( ) + ( ), ( ( )) < ( ( ))
Полином степени ноль - константа.
Есть разные школы для определения P(x)=0: 1) ( ( )) =− ∞ 2) не определено.
У полинома |
( ) |
ровно n корней. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объяснение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
леммы о сопряжённом: сопряжённое корню является корнем уравнения, |
||||||||||
так как комплексно-сопряжённое нулю - ноль. |
+... + 1 0 + 0 = |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
|||||||
0 , 0 = α + β, ( 0) = 0, ( ) = 0 |
+ −1 0 |
|||||||||||
|
|
−1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+... + 1 0 + 0 |
= 0 |
|||||||
0 + −1 0 |
+... + 1 0 + 0 = 0 0 |
+ −1 0 |
|
|
||||||||
−1
+ +... + + = 0
0 −1 0 1 0 0
Свойства комплексно-сопряжённых чисел:
1 + 2 = 1 + 2
* = *, , =
14.11.2025
Дробно-рациональные функции
Определение: Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется выражение вида (( )) , где P(x) и Q(x) - многочлены, причём Q(x) - ненулевой многочлен. Определение: Рациональная дробь называется несократимой, если многочлены P(x) и Q(x) взаимно просты.
58
Теорема: Любая рациональная дробь равна несократимой дроби (она определяется однозначно с точностью до постоянного множителя, общего для числителя и знаменателя).
Доказательство: Всякую рациональную дробь можно сократить на НОД(P(x),Q(x)):
если равны две несократимые дроби |
|
|
(1) |
( ) |
|
(2) |
( ) |
, то есть |
|
|
(1) |
|
|
(2) |
|
|
|
(1) |
|
(2) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( ) = |
|
( ) |
|
( ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
(1)( ) |
(2)( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
, то из взаимной простоты |
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
следует, |
что |
|
|
(2) |
( ) |
(1) |
( ) |
, |
а из взаимной |
|||||||||||||||||||||||
простоты |
|
|
|
|
|
|
|
будет |
|
|
|
|
следовать, |
что |
|
|
|
|
|
. |
|
Значит, |
|||||||||||||||||||
|
|
(2) |
|
(2) |
|
|
( ), |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
( ),, |
следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( ) |
|
|
|
|
||||||||||
(1) |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определение: Рациональная дробь |
|
|
|
|
называется правильной, если degP(x)<degQ(x). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( ) = * |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = * |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
( )
Теорема: Любая рациональная дробь представима, причём единственным способом, в |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Доказательство: Если |
( ) |
|
|
|
, то P(x)=Q(x)*S(x)+R(x), где degR(x)<degQ(x) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
где S(x) - многочлен, |
а |
|
|
|
- правильная |
||||||||||
( ) |
|
( ) ( )+ ( ) |
|
,≥ ( ) |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
рациональная дробь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|||||
( ) = |
( ) |
|
= ( ) + ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если же degP(x)<degQ(x), то это представление очевидно, если взять S(x)≡0. |
|
|
|
||||||||||||||||||
Докажем единственность. |
Если ещё |
( ) |
( ) |
, где |
( ) < ( ) |
, |
то |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
= ( ) + ( ) |
|
|
|
|||||||
тогда |
можно |
вычесть и |
|
будет |
|
|
( ) |
|
( ) |
|
( ) ( )− ( ) ( ) |
- |
|
это |
|||||||
правильная рациональная |
|
дробь, так как степень |
|
( ) |
|
|
|
|
больше |
степени |
|||||||||||
|
знаменателя |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) − ( ) = ( ) |
− |
|
= |
|
|
( ) ( ) |
|
|
|
|||
числителя, здесь многочлен равен правильной рациональной дроби. Это возможно
только если 
, что и требовалось доказать.
Примечание автора: Идеи доказательства: 1. Существование: если deg P ≥ deg Q, делим многочлены с остатком, если degP<degQ, полагаем S=0, R=P (дробь уже правильная). 2. Единственность: предположим два представления и вычитаем их друг из друга. Слева -
59
многочлен, справа - правильная дробь. Многочлен может равняться правильной дроби только если он тождественно нуль. Значит, они равны.
Определение: Правильная рациональная дробь ( )( ) называется простейшей, если
Q(x) является степенью неприводимого многочлена (это (x-α) на C и 2 + + , < 0 для многочлена с вещественным коэффициентом), а degP(x)< степень неприводимого многочлена в знаменателе.
Вывод: Для рациональной дроби с вещественными коэффициентами простейшие - это
следующие дроби: |
|
, |
|
, |
+ |
, |
+ |
|
, где |
α, , , , , , ≥ 2 |
. |
|
Теорема: Всякая |
( −α) |
|
+ + |
( + +) |
|
|
|
|||||
|
−α |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей, причём только единственным образом.
22.11.2025
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
НОД( ( ); ( )) = 1 |
||||||||||||
1. Рассмотрим правильную рациональную дробь |
, где |
||||||||||||||||||||||||||||||
существуют многочлены |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )( ) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
( ), ( ): ( ) * ( ) + ( ) * ( ) = 1| * 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*). Поделим |
|
|
|
|
на H(x) с остатком (это |
|||||||
( )[ ( ) ( )] + ( )[ ( ) ( )] = ( ) |
( ) ( ) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
возможно по предыдущей теореме о меньшей степени): |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
degU(x)<degH(x) из (*): |
|
|
|||||||||||
( ) ( ) = ( ) ( ) |
+ ( ), где |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(**) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
([ ( ) ( ) + ( )] = ( )) |
||||||||||||||||||||||||
( ) ( ) + ( ) * [ ( ) ( ) + ( )] = ( ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Так как deg(G(x)U(x))<deg(G(x)H(x)) и по условию degP(x)<deg(G(x)H(x)), то из (**) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
( ( ) ( )) < ( ( ) ( )) ( ) < ( ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Из (**) |
|
|
( ) |
|
( ) |
|
|
( ) |
- это сумма правильных дробей. |
|
|||||||||||||||||||||
|
( )( ) |
= ( ) |
|
+ ( ) |
|
||||||||||||||||||||||||||
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
G(x) или H(x) |
разлагаются в произведение взаимно простых множителей, то |
||||||||||||||||||||||||||||
можно выполнять дальнейшее разложение. Продолжая так далее получим, что всякая
60