Добавил:

daner270 Зам Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный экономический университет (бывш. ФИНЭК, ИНЖЭКОН)

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

АлгебраИГеометрия1семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2026

Размер:

8.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

правильная дробь разлагается в сумма правильных дробей, каждая из которых имеет знаменателем степень некоторого неприводимого многочлена.

Вывод:

Если

( )

- разложение на неприводимые

множители с

( ) = 1

( ) * 2

( ) *... *

( ) ≠ ( )

при

≠

, то тогда

( )

1( )

2( )

+... +

( )

- сумма правильных дробей.

( ) =

11( )

22( )

( )

2. Рассмотрим правильную дробь вида

, где Q(x) - неприводимый многочлен и

виде суммы простейших дробей. Если

докажем, что

она

представляется в ( )

degU(x)<degQ(x), то это уже простейшая дробь, в противном случае можно поделить

U(x) на Q(x) с остатком:																					( ) = ( )							(1)		( ) +		(1)		( )			, где			(1)
( )						(1)	( )									( ) .					( ) = ( )									( ) +				( )						( ) < ( )
						(1)								(1)							Первое слагаемое - простейшая дробь.
( )				= ( )							+ −1( )										Первое слагаемое - простейшая дробь.
Теперь					(1)		( ) = ( )													(2)			( ) +		(2)	( )			, где				(2)		( ) < ( )
	(1)	( )						(2)	( )								(2)	( )					и так далее,							пока не придём к правильной дроби												( −1)	( )	,
−1			( ) =				−1			( )			+				−2		( )				и так далее,							пока не придём к правильной дроби												( )		,
			( ) =							( )			+						( )
которая является простейшей.
Таким образом,														( )					=			(1)( )			(2)( )					+... +	( )( )					, где		( )	( ) =		( −1)
3.			Докажем												( )				=					( ) +			( )			+... +	( )								( ) =		( )
																									−1						( )
												единственность.													Предположение:												правильная дробь может					быть

представлена в виде суммы простейших дробей двумя способами. Вычтем из одного равенства другое и приведём подобные члены, тогда получим сумму простейших дробей, тождественно равных нулю. Знаменатели этих простейших дробей будут

некими степенями различных неприводимых многочленов											1( ), 2( ),..., ( )				. Пусть
наивысшая степень многочлена ( ) равна , то есть											1( ), 2( ),..., ( )
									знаменателем этой дроби будет
	,	где				. Умножим обе части на	1−1		2				все слагаемые
	,	где	= 1,			. Умножим обе части на	1−1	( ) *	2	( ) ...		( )	все слагаемые
	( )		= 1,				1	( ) *	2	( ) ...		( )	( )
							1		2
нашей суммы, кроме одного, превратятся в многочлены, а слагаемое														- в дробь
													1	- в дробь
	2												1
	2												1 ( )
( )* 2		( )...		( )	.
	1( )

Числитель этой дроби не делится на знаменатель, так как многочлен 1( ) неприводим, а все множители числителя взаимно просты с ним. Выполняя деления с остатком числителя на знаменатель получим, что равна нулю сумма многочлена и отличной от нуля правильной дроби, что невозможно. Что и требовалось доказать.

Примечание автора: Идеи доказательства: 1. Тождество Безу - представляем 1 как линейную комбинацию взаимно простых знаменателей. 2. Деление с остатком - уменьшаем степень числителя. 3. Сравнение степеней - обеспечиваем правильность дробей после преобразований. 4. Многократное разложение - повторяем процесс для каждого множителя знаменателя. 5. Разложение на дроби с неприводимыми степенями - получаем сумму дробей с простыми знаменателями. 6. Делим числитель на знаменатель. 7. Последовательно понижаем степень знаменателя. 8. Приходим к искомому разложению. 9. Предположение о неединственности - вычитаем два возможных разложения. 10. Умножение на общий множитель - обнуляем все слагаемые кроме одного. 11. Противоречие - сумма многочлена и ненулевой правильной дроби не может быть нулём.


Пример:		( ) = 5	4	+	3	− 11	2	− 6 − 8			,	( ) =		3	− 4			( )
1)		( ) = 5		+		− 11		− 6 − 8				( ) =			− 4
	Представим неправильную дробь								( )	в виде						( )	, где S(x) - многочлен, а
	Представим неправильную дробь								( )	в виде			( )		+ ( )		, где S(x) - многочлен, а	( )
- правильная рациональная дробь.									( )				( )		+ ( )			( )

5 4+ 3−11 2−6 −8	= (5 + 1) +	9 2−2 −8
3−4	= (5 + 1) +	3−4

2)	Разложим	( )		в сумму простейших, а затем запишем исходную дробь				( )	в виде
		( )				3		( )
многочлена и простейших рациональных дробей. Так как						3	− 4 = ( − 2)( + 2)			,
то	9 2−2 −8	=					− 4 = ( − 2)( + 2)
	( −2)( +2)	=		+ −2	+ +2 \| * ( − 2)( + 2)		( )
	2		= ( − 2)( + 2) + ( + 2) + ( − 2)
9 − 2 − 8			= ( − 2)( + 2) + ( + 2) + ( − 2)

I способ (метод неопределённых коэффициентов)

Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x

II способ (метод частных значений)

В Ответ:

5 4+ 3−11 2−6 −8	= 5 + 1 +	2	+	3	+	4
3−4	= 5 + 1 +		+	−2	+	+2

Замечание: Эти два способа удобно иногда комбинировать.

Пример: Разложить в сумму простейших дробь 2 2−3 +1 ,

3+1

2 −3 +1

, тогда

+ 1 = ( + 1)(

− 2 + 1)

3+1

+ 2− +1

= +1

2 2 − 3 + 1 = 1( 2 − + 1) + ( + )( + 1): =− 1 2 + 3 + 1 = (1 + 1 + 1) 1 = 22: 1 + = 2, 2 + = 2 = 00: 1 + = 1, 2 + = 1 =− 1

Ответ:	2 2−3 +1	=	2	−	1
	3+1	=	+1	−	2− +1

19.11.2025

Векторная алгебра

Определение: Вектор - направленный отрезок прямой.

Пусть дана декартова система координат в пространстве 3. ( , , ), (1, 1, 1)

Векторы складываются по правилу треугольника. = +

, - радиусы векторы. (Соответствие точкам B и A начала координат)

Определение: Орты в пространстве 3 - это векторы , , (| | = 1, | | = 1, | | = 1), направленные из (0,0,0) вдоль осей x,y,z.

Любой радиус - вектор можно разложить (однозначным образом) по векторам , , .

Определение:

Векторы

называются

линейно-независимыми, если

α + β + γ = (0, 0, 0)

α = β = γ = 0

Определение:

Три линейно-

зависимых вектора

называются компланарными.

быть представлен в виде линейной

Это означает, что один из этих векторов может , ,

комбинации двух других.

Пример:

= β + γ ; β, γ

Тройка

компланарных векторов параллельна некоторой плоскости.

Определение: Модуль вектора

называется число

| | =

α - угол между

и осью x (орта

β - угол между

и осью y (орта

γ - угол между

и осью x (орта

α =

2+ 2+ 2

, β =

2+ 2+ 2

, γ =

2+ 2+ 2

2α + 2β + 2γ = 1

Определение: Векторы , называются коллинеарными, если линейно-зависимы, то есть один их них может быть представлен в виде = α (или наоборот = α ).

Обозначение для коллинеарных векторов , : ||

Определение: Скалярным произведением векторов , называется

( , ) = 1 2 + 1 2 + 1 2.

Свойства скалярного произведения:

1.( , ) = ( , )

2.( + , ) = ( , ) + ( , )

3.(α , ) = α( , ), α

4.( , ) ≥ 0

Геометрический смысл скалярного произведения: ( , ) = | | * | | * ( , ). Определение: Векторное произведение векторов называется вектор [ , ], который

имеет вид:

Свойства векторного произведения:

1.[ , ] =− [ , ]

2.[ + , ] = [ , ] + [ , ]

3.[α , ] = α[ , ]

4.Если , ≠ 0 и [ , ] = 0, тогда || ( , коллинеарные)

5., , ортогонален плоскости, в которой лежат ,

6., , образуют правую тройку векторов

7.|[ , ]| = | | * | | * ( , )

Пример:

26.11.2025

Определение: Некомпланарные векторы называются правой тройкой, если чтобы вектор a наложить на b, надо вести по часовой, а если против часовой, то они называются левой тройкой.

Геометрический смысл векторного произведения: параллелограмма, который построен на векторах ,

параллелограмм = = ( * α) = * α

Определение: Смешанное произведение векторов , ,

Связь смешанного произведения со скалярным и векторным произведением векторов:

= ( , [ , ]) = ([ , ], )

Свойство: параллелепипед = * * - смешанное произведение.

25.11.2025

Целые числа

Пусть есть целые числа a,b,c. def - равносильно. b - делитель a.

: =

Определение:

± 1

- несобственные делители.

Теорема:

1 , 2 1 ± 2

Доказательство:

α1: 1

= α1 , α2: 2 = α2 ; 1 ± 2 = (α1 ± α2)

По определению,

Теорема:

что и требовалось доказать.

Доказательство:

= α , = β ; = αβ ; α , β.

, что и требовалось доказать.

Теорема:

, ! , : = + , 0 ≤ < | |, ≠ 0

Доказательство:

берём ближайшее меньшее (положительное).

берём

< 0

отрицательное).

ближайшее меньшее (

> 0

2. Пусть = 1 + 1, 0

≤ 1 < | |

( − 1) = 1 −

| ( − 1)| = | 1 − |

| | * |( − 1)| = | 1 − |, | − 1| ≥ 1, | | * | − 1| ≥ | |

Возьмём

1 = | |, = 0, = | |, = 1

Пришли

к противоречию, значит,

есть

единственность. Что и требовалось доказать.

Для a, b обязательно будут целые числа, которые делят и a, и b.

Теорема: Пусть d=НОД(a,b).

1. , : =

α + β . 2. , : : , :

. (НОД делится на

любой общий делитель)

Доказательство: Пусть есть целые числа a и b.

α + β

бесконечно много чисел

можно собрать в такой сумме. Рассмотрим

. Нужно доказать, что

α1 + β1 = (α2 + β2 ) +

(по

α1 + β1 , α2 + β2

предыдущей теореме, мы можем так сделать).

= (α1 + β1 ) − (α2 + β2 ) =(α1 − α2 ) + (β1 − β2 )

Возьмём самое маленькое положительное целое α + β . a будет делиться на него. Делим. Остаток меньше его, а так как меньше ничего нет, то остаток равен нулю. Значит, и b делится на эту величину. Возьмём тогда число : : , : . Поскольку= α + β для некоторых целых α,β, то α : и β : , значит, (α + β ): = . Что и требовалось доказать.

28.11.2025

Определение: Вектор - совокупность равных друг другу направленных отрезков.

↑↑ - сонаправлены. ↑↓ - противонаправлены.|| || - коллинеарны.

φ = ( , ), φ [00, 1800]. Если φ = 900, то - ортогональные векторы.

Определение: Правой тройкой называется упорядоченная тройка векторов , , ,

если кратчайший поворот к виден из конца вектора , происходящим против часовой стрелки, в противном случае это левая тройка.

( , , ) - правая тройка. ( , , ) - левая тройка.

Проекции вектора на ось

Определение: Ось - прямая, на которой выбрано направление (одно из двух), зафиксировано начало (точка на этой оси) и выбран масштаб для измерения длин, то есть поставлена другая точка на этой оси с длиной 1.

Вектор

называется ортом оси

( ↑↑ , | | = 1)

Определение: Проекцией

вектора

на

ось

называется число

Видно: = (ПР ) *

Свойства проекции:

1.ПР = | | * ( , )

2.ПР ( + ) = ПР + ПР

3.ПР λ = λПР

Определение: Пусть ≠ 0, проекция вектора на вектор . ПР - это ПР , где ↑↑ .

Видно: ПР = | | * ( , )

Линейная зависимость и независимость векторов

Четыре вектора и более всегда линейно-зависимы.

Определение: Базисом на прямой называют любой ненулевой вектор этой прямой. На плоскости называют любые два неколлинеарных вектора. В пространстве три любые некомпланарных вектора.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Алгебра и геометрия

#
01.06.20268.43 Mб1АлгебраИГеометрия1семестр.pdf
#
01.06.20267.42 Mб0АлгебраИГеометрия2семестр.pdf