Добавил:

chrysler_a57_mltbnk Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Цифровая обработка сигналов

Файл:

лекции / TsOS_Uchebnoe_posobie_2018

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2026

Размер:

7.87 Mб

Скачать

☆

1 / 171 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Московский государственный университет им. М.В Ломоносова Физический факультет

Е.М. Лобов, Е.О. Лобова, М.В. Терешонок, Ю.В. Рауткин

Анализ и синтез цифровых фильтров

Учебно-методическое пособие

Москва, 2018 г.

Аннотация

В учебно-методическом пособии приводится материал, наглядно демонстрирующий методы анализа линейных дискретных систем, а также методы синтеза цифровых фильтров.

Книга разделена на две части. В первую часть книги входит теоретический материал, охватывающий основной математический аппарат описания линейных дискретных систем, методы расчета цифровых БИХфильтров с учетом предыскажений оси частот и без них, метод расчета цифровых КИХ-фильтров с помощью оконных функций, а также основные сведения, касающиеся дискретного преобразования Фурье и вычислительно эффективного алгоритма быстрого преобразования Фурье. По каждому теоретическому вопросу приводится набор задач с примером решения.

Вторая часть книги посвящена иммитационному моделированию цифровых фильтров и спектральному анализу в среде «Спектр-2». Вторая часть изложена в форме методических рекомендаций к выполнению лабораторных работ на базе среды «Спектр-2», включающих задание на домашний расчет с примером его выполнения и указания по проведению имитационного моделирования в «Спектр-2».

Книга предназначена для студентов бакалавриата и магистратуры физического факультета МГУ, желающих расширить свои знания в теоретической части цифровой обработки сигналов и методах моделирования цифровых фильтров.

Оглавление
Введение...........................................................................................................		6
1 Основные теоретические сведения........................................................		7
1.1 Линейные дискретные системы.......................................................		7
1.1.1 Основные понятия и определения .............................................		7
1.1.2 Описание ЛДС во временной области.......................................		8
1.1.3 Описание ЛДС в z-области .........................................................		9
1.1.4 Описание ЛДС в частной области ...........................................		11
1.1.5 Структуры звеньев 2-го порядка ..............................................		12
1.1.6	Проектирование цифровых фильтров .....................................	14
1.1.7 Пример анализа линейной дискретной системы второго
порядка	......................................................................................................	15
1.1.8	Контрольные вопросы ...............................................................	27
1.1.9	Задачи..........................................................................................	27
1.1.10	. Примеры решения задач .......................................................	29

1.2Расчет цифровых БИХ-фильтров на основе билинейного z-

преобразования..................................................................................................		34
1.2.1 Общая структура расчета коэффициентов фильтра, методика
расчета	......................................................................................................	34
1.2.2	Билинейное z-преобразование..................................................	34
1.2.3 Пересчет аналогового фильтра прототипа в цифровой фильтр
методом билинейного z- преобразования...................................................		39
1.2.4 Примеры расчета цифровых БИХ-фильтров ..........................		39
1.2.5	Контрольные вопросы ...............................................................	49
1.2.6	Задачи..........................................................................................	50
1.2.7	Примеры решения задач ...........................................................	51

1.3Расчет цифровых БИХ-фильтров с внесением предыскажений 53

1.3.1	Внесение предыскажений .........................................................	53
1.3.2 Примеры расчета цифровых БИХ-фильтров с внесением
предыскажений..............................................................................................		55
1.3.3	Контрольные вопросы ...............................................................	60
1.3.4	Задачи..........................................................................................	61
1.3.5	Примеры решения задач ...........................................................	62
	3

1.4 Расчет цифровых КИХ-фильтров методом окон .........................		64
1.4.1	Типы КИХ-фильтров .................................................................	64
1.4.2 Задание требований к АЧХ фильтра........................................		65
1.4.3 Синтез КИХ-фильтров методом окон......................................		68
1.4.4 Процедура синтеза КИХ-фильтров методом окон .................		81
1.4.5	Структуры КИХ-фильтров........................................................	82
1.4.6	Контрольные вопросы ...............................................................	85
1.4.7	Задачи..........................................................................................	86
1.4.8	Примеры решения задач ...........................................................	87
1.5 Дискретное и быстрое преобразования Фурье ............................		88
1.5.1	Основные формулы ...................................................................	88
1.5.2 Повторение сигнала во времени. Дискретное преобразование
Фурье	......................................................................................................	89
1.5.3	Свойства ДПФ ............................................................................	90
1.5.4	Быстрое преобразование Фурье ...............................................	97
1.5.5 Примеры расчёта ДПФ и БПФ ...............................................		109
1.5.6	Контрольные вопросы .............................................................	114
1.5.7	Задачи........................................................................................	114
1.5.8	Пример решения задач ............................................................	115
2 Имитационное моделирование в среде «Спектр-2» ........................		118

2.1Исследование характеристика линейных дискретных систем . 118

2.1.1	Цель работы..............................................................................	118
2.1.2	Домашний расчёт .....................................................................	118
2.1.3 Подготовка к лабораторной работе........................................		119
2.1.4	Лабораторное задание .............................................................	121
2.1.5	Содержание отчёта ..................................................................	128
2.1.6 Приложение. Исходные таблицы для заполнения ...............		129
2.1.7	Контрольные вопросы .............................................................	132
2.2 Имитационное моделирование цифровых БИХ-фильтров.......		133
2.2.1	Цель работы..............................................................................	133
2.2.2	Домашний расчёт .....................................................................	133
2.2.3 Подготовка к лабораторной работе........................................		134
	4

2.2.4	Лабораторное задание .............................................................	135
2.2.5	Содержание отчёта ..................................................................	141
2.2.6	Контрольные вопросы .............................................................	141

2.3Имитационное моделирование цифровых БИХ-фильтров с

внесением предыскажений.............................................................................		142
2.3.1	Цель работы..............................................................................	142
2.3.2	Домашний расчёт .....................................................................	143
2.3.3 Подготовка к лабораторной работе........................................		143
2.3.4	Лабораторное задание .............................................................	143
2.3.5	Содержание отчёта ..................................................................	147
2.3.6	Контрольные вопросы .............................................................	148

2.4Синтез цифровых КИХ-фильтров методом окон с применением

окна Кайзера в «Спектр-2».............................................................................		149
2.4.1	Цель работы..............................................................................	149
2.4.2	Домашний расчёт .....................................................................	150
2.4.3	Лабораторное задание .............................................................	150
2.4.4 Подготовка к лабораторной работе........................................		154
2.4.5	Содержание отчёта ..................................................................	154
2.4.6	Контрольные вопросы .............................................................	154
2.5 Спектральный анализ дискретных сигналов в «Спектр-2» ......		155
2.5.1	Цель работы..............................................................................	155
2.5.2	Домашний расчёт .....................................................................	156
2.5.3	Лабораторное задание .............................................................	157
2.5.4 Подготовка к лабораторной работе........................................		160
2.5.5	Содержание отчёта ..................................................................	160
2.5.6	Контрольные вопросы .............................................................	161
Заключение ..................................................................................................		162
Список литературы .....................................................................................		163

Введение

Цифровая обработка сигналов подставляет собой наиболее динамически развивающуюся область науки и техники за счет стремительного развития базы алгоритмов цифровой обработки сигналов (ЦОС), развития элементной базы и вычислительных устройств, совершенствования программного обеспечения моделирования систем ЦОС и математических пакетов для ЭВМ, включающих алгоритмы ЦОС. Цифровая обработка сигналов является одной из классических устоявшихся дисциплин технических университетов широкого профиля. В государственных университетах классического образования элементы цифровой обработки сигналов преподаются в рамках физических, инженерно-физических и физико-технических факультетов, имеющих в своем составе кафедру радиофизики или иную кафедру, в область интересов которой входит обработка и формирование радиосигналов (см., например, СПбГУ, ВГУ, НГУ, ОмГУ и др. университеты).

На физическом факультете МГУ элементы ЦОС затрагиваются в рамках практикума «Импульсные процессы» и курса «Радиофизика» кафедры физики колебаний, в рамках практикума по цифровой электронике кафедры фотоники и физики микроволн и в рамках курсов лаборатории инженерной физики. Настоящая книга предназначена для расширения знаний студентов в теоретической части цифровой обработки сигналов в частности в области анализа и синтеза цифровых фильтров и методах их иммитационного моделирования. Предполагается, что читатель знаком с основами математического аппарата описания линейных цепей и методами спектрального анализа.

Книга безусловно может быть использована для проведения спецкурса по цифровой обработке сигналов студентам физического факультета МГУ, углубленно изучающих радиофизику или иную область физики, предполагающую обработку сигналов различной природы.

1 Основные теоретические сведения

1.1 Линейные дискретные системы

1.1.1 Основные понятия и определения

Системой обработки сигналов (системой) называется объект,

выполняющий требуемое преобразование входного сигнала (воздействия) в выходной (реакцию).

В соответствии с определением, системой можно называть как физическое устройство, так и математическое преобразование. По умолчанию под системой будем понимать математическое преобразование.

Математической моделью системы называют ее соотношение вход/выход, которое устанавливает связь между входным и выходным сигналами.

Систему называют линейной, если она удовлетворяет принцип суперпозиции (реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на данные воздействия) и однородности (воздействию, умноженному на весовой коэффициент, соответствует реакция, умноженная на тот коэффициент).

Систему называют дискретной, если она преобразует дискретное

воздействие x n в дискретную реакцию				y n , где n – порядковый номер
отсчета	(индекс	элемента	входной	или	выходной	числовой

последовательности), отмеряющий момент времени в интервалах дискретизации T .

Систему называют стационарной, если ее реакция инвариантна по отношению к началу отсчета времени (свойство инвариантности во времени). Параметры стационарной системы неизменны во времени; задержке воздействия соответствия такая же задержка реакции.

По умолчанию будем рассматривать стационарные линейные дискретные системы (ЛДС).

Нулевые начальные условия (ННУ) означают, что все значения воздействия и реакции, которые может помнить ЛДС в моменты времени, предшествующие началу воздействия1 n 0 , равны нулю:



x n k	n k 0,k 1,2,... 0;
		0,
y n k		0,
		n k 0,k 1,2,...
		n k 0,k 1,2,...

т.е. воздействие и реакция в области отрицательного времени n 0 равны нулю.

1 Здесь и далее используется дискретное нормированное время n nT T .

Под моделированием ЛДС понимают вычисление ее реакции в соответствии с соотношением вход/выход, а под анализом ЛДС – анализ ее характеристик во временной, z- и частотной областях.

1.1.2 Описание ЛДС во временной области

Основной характеристикой ЛДС во временной области является импульсная характеристика (ИХ).

Импульсной характеристикой h n ЛДС называют ее реакцию на цифровой единый импульс n при ННУ


1, n 0,
(nT )	(1)
0, n 0.

Соотношение вход/выход ЛДС, однозначно связанное с его основной характеристикой во временной области – ИХ, имеет вид линейного математического преобразования в виде формулы свертки:


y n h n k x k h k x n k ,		(2)
k 0	k 0
где k – задержка последовательностей.

Соотношение вход/выход ЛДС, однозначно связанное с его основной характеристикой в z-области – передаточной функцией, имеет вид линейного математического преобразования в виде разностного уравнения (РУ):

N 1	M 1	y n k
y n bk	x n k ak	y n k	(3)
k 0	k 1

где bk , ak – вещественные коэффициенты РУ – параметры ЛДС; k – значения задержек воздействия и реакции; N 1 , M 1 – константы, определяющие

максимальные задержки.

В отличие от линейных аналоговых систем, где соответствующие соотношения вод, выход имеют вид интеграла свертки или линейного дифференциального уравнения, вычисление реакции по формуле свертки (2) или РУ (3) выполняется методом прямой подстановки при ННУ, т. е. эти соотношения непосредственно описывают алгоритмы вычисления реакции системы.

По виду РУ различают два типа ЛДС:

рекурсивная ЛДС, реакция которой зависит от текущего и предшествующих отсчетов воздействия и предшествующих отсчетов реакции, т. е.:

ak 0 хотя бы для одного значения k из [1 M-1];

нерекурсивная ЛДС, реакция которой зависит только от текущего и предшествующих отсчетов воздействия, т. е.:

ak 0 для всех k из [1 M-1].

Рекурсивные и нерекурсивные ЛДС имеют соответственно бесконечную

иконечную ИХ, отсюда их тождественные названия2:

БИХ ЛДС (IIR – Infinite Impulse Response);

КИХ ЛДС (FIR – Finite Impulse Response).

Импульсная характеристика КИХ ЛДС совпадает с коэффициентами bk

РУ (3):

h(n) bk , n k

(4)

1.1.3 Описание ЛДС в z-области

Основной характеристикой ЛДС в z-области является передаточная функция (ПФ) H z – z-изображение ИХ h n :

H z h n z n .

n 0

Передаточной функцией ЛДС называют отношение z-изображения

реакции к z-изображению воздействия при ННУ:

H z Y z X z .

Данное отношение легко получить, выполнив Z-преобразование РУ (3). Передаточная функция рекурсивной ЛДС имеет вид дробно-рациональной функции:

	N 1
H z	bi z k	.
H z	k 0	.
	k 0
	M 1		(5)
	1 ak z k
	k 1
Показатель степени z k соответствует			задержкам воздействия и

задержкам реакции; коэффициенты ak	передаточной функции и РУ (3) имеют
противоположные знаки.
Для нерекурсивных ЛДС передаточная функция, с учетом (4), принимает
вид:
N 1	N 1
H z bk z k h n z n .			(6)
k 0	n 0
Порядок рекурсивной ЛДС равен порядку знаменателя передаточной
функции (5) M 1 , при соблюдении условия		N 1 M 1	(по

умолчанию). В общем случае порядок ЛДС равен R max N 1 , M 1

Порядок нерекурсивной ЛДС всегда равен N 1 .

2 Строго говоря, рекурсивные ЛДС могут иметь и конечную ИХ, т.е. быть не БИХ, а КИХ системами. Например, ЛДС, построенная путем последовательного соединения фильтра интегратора и гребенчатого фильтра. Такая ЛДС известна как CIC фильтр первого порядка.

Нулями передаточной функции называют значения z на комплексной плоскости, при которых она равна нулю, а полюсами (особыми точками) – значения z, при которых ее знаменатель равен нулю.

Картой нулей и полюсов называют z-плоскость с нанесенной единичной окружностью и символически изображенными нулями и полюсами.

По карте нулей и полюсов можно сделать вывод об устойчивости ЛДС: полюсы устойчивой ЛДС располагаются внутри единичного круга с центром в начале координат.

Комплексно-сопряженные нули z k1,2 и полюсы z k 1,2 представляют в

показательной форме, где аргументы – углы (в радианах) на комплексной z- плоскости:

z	k 1,2	r	k	e j 0 k ;
	k 1,2		k					(7)
		r k		e	j			(7)
z k 1,2		r k		e	k .

Помимо общего вида (5), передаточная функция рекурсивных ЛДС может
быть представлена следующими своими разновидностями3:
произведение простейших множителей:
H z b0		1 z k z				1	,	(8)
		M 1

k 1 1 z k z 1

где z k , z k – соответственно k-е нуль и полюс передаточной функции (5).

В общем случае нули и полюсы – попарно комплексно-сопряженные

числа (как для аналоговых систем). Тогда, вычисляя попарные произведения скобок, содержащих соответствующие нули и полюса, в (8) можно перейти ко второму виду записи ПФ.

произведения множителей второго порядка:

L	b	b		z 1 b			z 2
H z	0k	1k			2k			,	(9)
	1 a			1	a		2
k 1			z			z
		1k			2k

где b0k , b1k , b2k , a1k , a2k – вещественные коэффициенты рекурсивных звеньев

2-го порядка, называемых также биквадратными; L – количество звеньев равное

Lint M 1 ,

где int – функция округления до ближайшего целого в сторону увеличения.сумма простых дробей:

M 1	M 1		Ak
H z Hk z					.	(10)
		1	z	z 1
k 1	k 1
			k

1 / 171 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке лекции

#
13.05.20267.87 Mб0TsOS_Uchebnoe_posobie_2018.pdf
#
13.05.2026279.61 Кб0Лекция №.mhtml
#
13.05.20264.92 Mб0Солонина_А_И_Основы_цифровой_обработки_сигналов_2_е_издание,_2005.djvu