Добавил:

chrysler_a57_mltbnk Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Цифровая обработка сигналов

Файл:

лекции / TsOS_Uchebnoe_posobie_2018

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2026

Размер:

7.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 177 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

6.В чём заключается преимущество преобразования Константинидиса для перехода от аналогового ФНЧ в цифровой ФВЧ перед классическим методом перехода?

7.Необходимость проведения каких действий исключает преобразование Константинидиса?

8.Меняется ли форма преобразования при изменении постоянного множителя или при отказе от него?

9.Как экспериментально проверялась целесообразность метода Константинидиса в рамках данной лабораторной работы?

10.Преимущества билинейного z - преобразования с внесением предыскажений.

1.3.4Задачи

1.Методом билинейного z - преобразования с внесением предыскажений перейти от операторной передаточной функции нормированного аналогового фильтра прототипа нижних частот к передаточной функции цифрового фильтра нижних частот. Операторная передаточная функция

аналогового фильтра имеет вид: H p	1	. Значение нормированной

	p 4
	p 4
	ˆ		рад, T - интервал
частоты среза цифрового фильтра равна T / 2			рад, T - интервал

дискретизации.

2. Методом билинейного z - преобразования с внесение предыскажений перейти от операторной передаточной функции нормированного аналогового фильтра прототипа нижних частот к передаточной функции цифрового фильтра нижних частот. Операторная передаточная функция

1
аналогового фильтра имеет вид: H p		. Значение частоты среза
	p 2
цифрового фильтра равна / 24 рад/с,		интервал дискретизации

T7 с.

3.Методом билинейного z - преобразования с внесение предыскажений перейти от операторной передаточной функции нормированного аналогового фильтра прототипа нижних частот к передаточной функции цифрового фильтра верхних частот. Операторная

передаточная функция аналогового фильтра имеет вид: H p 1 . p 1

Значение частоты среза цифрового фильтра равна / 18 рад/с, интервал дискретизации T 3с.

1.3.5Примеры решения задач

1.Методом билинейного z - преобразования с внесением

предыскажений перейти от операторной передаточной функции аналогового фильтра прототипа нижних частот к передаточной функции цифрового фильтра нижних частот. Операторная передаточная функция нормированного аналогового фильтра имеет

вид: H p

. Значение нормированной частоты среза цифрового

p 10

фильтра равна T / 2 рад, T - интервал дискретизации.

Решение

Данная задача решается с помощью подстановки в H p

выражения (78):

H z

1 z 1

ctg

10 ctg

1 z

10 ctg

По условию задачи T / 2 рад, следовательно,

H z

1 z 1

9z 1 11

ctg

z 10 ctg

10 ctg

ctg

В итоге передаточная функция цифрового фильтра с внесение

предыскажений равна:

H z

1 z 1

9z 1 11

Методом

билинейного

преобразования

внесением

предыскажений перейти

от

операторной

передаточной функции

аналогового фильтра прототипа нижних частот к передаточной функции цифрового фильтра верхних частот. Операторная передаточная функция нормированного аналогового фильтра имеет

вид: H p	1	. Значение нормированной частоты среза цифрового

	p 7
	p 7

фильтра равна ˆ T / 2 рад, T - интервал дискретизации.

Решение

Данная задача решается с помощью подстановки в H p выражения (82):

H z			1						1 z 1						.
H z		T	1 z 1					T			1			T	.
	tg	1			7	tg		1	7	z		7	tg	1
	tg	1	1 z	1	7	tg		1	7	z		7	tg	1
	2		1 z				2						2
								62

рад, следовательно,

По условию задачи T / 2

H z

1 z 1

8 6z 1

7 tg

7 z

В итоге передаточная функция цифрового фильтра с внесение

предыскажений равна:

H z

1 z 1

8 6z 1

1.4 Расчет цифровых КИХ-фильтров методом окон

1.4.1 Типы КИХ-фильтров

КИХ-фильтр описывается передаточной функцией H z :

N 1	N 1
H z b z i h n z n .		(105)
i 0	i
	n 0
Длиной и порядком КИХ-фильтра называют соответственно число
коэффициентов N и порядок R передаточной функции, равный:
R N 1.		(106)

КИХ-фильтры характеризируются следующими особенностями:

возможностью обеспечить строго линейную ФЧХ (ЛФЧХ);

устойчивостью по определению.

Линейная ФЧХ (с точностью до скачков на π в точках, где ФЧХ равна нулю) КИХ-фильтра обеспечивается в том случае, если для его импульсной

характеристики (ИХ) h n выполняется одно из условий:
	симметрии:
	h n h N 1 n ;		(107)
	антисимметрии:
	h n h N 1 n ,		(108)
где ось симметрии/антисимметрии ИХ h n проходит через точку n R 2 .
	По двум признакам	– симметрии/антисимметрии	ИХ	и
четности/нечетности порядка		R выделяют четыре типа КИХ-фильтров		с

ЛФЧХ (см. таблицу 9).

Таблица 9. Типы КИХ-фильтров

ЛФЧХ (с

Тип КИХ-фильтра

точностью до

ЦФ

скачков на π)

Тип 1 (Type-1):

ФНЧ, ФВЧ,

порядок R – чётный (длина N нечетная);

ИХ h n – симметричная

ПФ, РФ

Тип 2 (Type-2):

ˆ R

порядок R – нечётный (длина N четная);

ФНЧ, ПФ

ИХ h n – симметричная

Тип 3 (Type-3):

ПФ,

порядок R – чётный (длина N нечетная);

ˆ R

ЦПГ,

ИХ h n – антисимметричная h

ЦД

Тип 4 (Type-4):

ˆ R

ФВЧ, ПФ,

порядок R – нечётный; (длина N четная);

ЦПГ,

ИХ h n – антисимметричная

ЦД

Помимо частотно-избирательных ЦФ, в таблицу 9 включены два специальных КИХ-фильтра – цифровой преобразователь Гильберта (ЦПГ) и цифровой дифференциатор (ЦД).

1.4.2 Задание требований к АЧХ фильтра

Методы синтеза частотно-избирательных КИХ-фильтров изначально предполагают ЛФЧХ, поэтому требования задаются к нормированной АЧХ

ˆ					Д
A		f		в основной полосе частот 0; f	2	и включают в себя:

частоту дискретизации f Д ;

граничные частоты полос пропускания (ПП) и полос задерживания (ИЗ), для которых введены условные обозначения:

-f – граничная частота ПП для ФНЧ и ФВЧ;

-fk – граничная частота ПЗ для ФНЧ и ФВЧ;

- f , f – левая и правая граничные частоты ПП для ПФ и РФ;

-f k , fk – левая и правая граничные частоты ПЗ для ПФ и РФ;

максимально допустимые отклонения АЧХ от идеальной, для которых введены условные обозначения:

-1 – от единицы в ПП (для ФНЧ, ФВЧ и ПФ);

-2 – от нуля в ПЗ (для ФНЧ, ФВЧ и РФ);

-11 – от единицы в левой полосе пропускания – ПП1 (для РФ);

-12 – от единицы в правой полосе пропускания – ПП2 (для РФ);

-21 – от нуля в левой полосе задерживания – П31 (для ПФ);

-22 – от нуля в правой полосе задерживания – П32 (для ПФ).

На рисунке 15–18 приведены примеры идеальной АЧХ и требований к АЧХ для фильтров различного типа избирательности.

Рисунок 15. Идеальная АЧХ ФНЧ (а), требования к АЧХ ФНЧ (б) Требования могут задаваться к АЧХ в децибелах – к характеристике

ослабления:

ˆ			ˆ
A f			20 lg A f
	дБ
или к характеристике затухания:
ˆ			ˆ
A f		20 lg A f .
дБ

(109)

(110)

Рисунок 16. Идеальная АЧХ ФВЧ (а), требования к АЧХ ФВЧ (б)

Рисунок 17. Идеальная АЧХ ПФ (а), требования к АЧХ ПФ (б)

Рисунок 18. Идеальная АЧХ РФ (а), требования к АЧХ (б) РФ (б)

В требованиях к характеристике затухания (110) вместо значений максимально допустимых отклонений 1 , 2 , 11 , 12 , 21 , 22 задаются:

amax дБ – максимально допустимое затухание в ПП (для ФНЧ, ФВЧ и ПФ);

amin дБ – минимально допустимое затухание в ПЗ (для ФНЧ, ФВЧ и РФ);

a1max дБ – максимально допустимое затухание в ПП1 (для РФ);

a2 max дБ – максимально допустимое затухание в ПП2 (для РФ);

a1min дБ – минимально допустимое затухание в П31 (для ПФ);

a2 min дБ – минимально допустимое затухание в П32 (для ПФ).

На рисунке 19 приведен пример требований к характеристике затухания ФНЧ.

Рисунок 19. Требования к характеристике затухания ФНЧ Взаимосвязь между значениями максимально допустимых отклонений и

их соответствующими значениями в децибелах, например, между 1 , и 2 и

amax и amin устанавливается формулами:
amax 20 lg 1 1 дБ ;				(111)
amin 20 lg 2 дБ ,				(112)
и наоборот:
1 10 amax			20 ;	(113)
1
	2	10 amin	20 .	(114)
	2

1.4.3 Синтез КИХ-фильтров методом окон

Среди достаточного разнообразия методов синтеза КИХ-фильтров наибольшее применение в различных приложениях получили два «классических»: метод окон и метод оптимального (по Чебышеву) синтеза.

1.4.3.1 Общая характеристика задачи синтеза КИХ-фильтров методом окон Зададимся целью рассчитать коэффициенты (импульсную

характеристику) одного из частотно-избирательных фильтров, представленных на рисунках 15 – 18, например ФНЧ.

Рассматриваемый фильтр имеет идеальную АЧХ, поэтому его частотная характеристика может быть представлена только бесконечным рядом Фурье:

Hи e j T hи (n)e j nT ,

(115)

где T

– интервал дискретизации.

Импульсная характеристика такого фильтра может быть найдена по

формуле:

д /2

Hи e j T e j nT d ,

hи (n)

(116)

д д /2

где

–

угловая частота дискретизации

2T 1

рад/с. Для идеального

ФНЧ с частотой среза с 2 fc

АЧХ имеет вид:

e j T

Hи

с .

(117)

Тогда ИХ найдется в форме:

e j cnT e j cnT

sin c nT

hи

(n)

e j nT d

j дnT

cnT

д c

, (118)

2 c sinc nTд c

где sinc x sin x / x . Выражение (118) можно переписать в форме:

		ˆ	,
	2 f		,
		c
h (n)					ˆ
h (n)	sin				ˆ
и	sin		2 fcn

				n
				n
где
		ˆ			c
		fc
		fc			д
					д

– нормированная частота среза.

n 0,

(119)

n 0, n 0

fc , fд

Ясно, что это – физически нереализуемый БИХ-фильтр, поскольку импульсная характеристика бесконечна и начинается в минус бесконечности, то есть реакция будет предшествовать воздействию (см. рисунок 20). Простейший путь конструирования физически реализуемой передаточной

функции фильтра состоит в исключении всех членов ряда (115) (т.е. элементов последовательности (119)), имеющих отрицательный индекс. В результате получается импульсная характеристика, соответствующая БИХ-фильтру. Для получения импульсной характеристики КИХ-фильтра необходимо ограничить ряд (115) сверху до N+1 членов. Однако, при такой последовательности действий нарушается симметрия ИХ, а значит и линейность ФЧХ полученного фильтра (см. рисунок 21). Поэтому обычно поступают следующим образом: ограничивают ряд (115) (т.е. последовательность (119)) в симметричных пределах относительно нуля (например, от N 1 / 2 до N 1 / 2 ), а затем

полученную конечную последовательность сдвигают таким образом, чтобы первый отличный от нуля отсчеты имел индекс n = 0. Изложенное иллюстрируется рисунком 22.

ИХ идеального фильтра

0.2

0.15

0.1

hi(n)

0.05