лекции / TsOS_Uchebnoe_posobie_2018

4.Частота фильтра прототипа равна 500 кГц, частота дискретизации Fд 250 кГц. Определите нормированную частоту цифрового фильтра,

если известно, что переход от фильтра прототипа к цифровому фильтру был осуществлён с помощью билинейного z - преобразования.

5.Значение нормированной частоты некоторой точки АЧХ цифрового фильтра равна ˆ / 2 рад, частота дискретизации Fд 100 кГц. Определите соответствующую частоту фильтра прототипа, если известно, что переход от фильтра прототипа к цифровому фильтру был осуществлён с помощью билинейного z - преобразования.

1.2.7Примеры решения задач

1.Методом билинейного z - преобразования перейти от

операторной передаточной функции аналогового фильтра прототипа к передаточной функции цифрового фильтра. Операторная передаточная функция аналогового фильтра имеет

передаточной функции цифрового фильтра H z , получим:

2.Частота фильтра прототипа равна 1500 кГц, частота дискретизации Fд 750 кГц. Определите нормированную

51

частоту цифрового фильтра, если известно, что переход от фильтра прототипа к цифровому фильтру был осуществлён с помощью билинейного z - преобразования.

Решение

Для решения данной задачи подставим заданные значения и Fд в выражение (67) и произведём расчёт:

52

1.3 Расчет цифровых БИХ-фильтров с внесением предыскажений

1.3.1Внесение предыскажений

Вобщем случае, билинейное z -преобразование, заключается в подстановке в передаточную функцию аналогового фильтра прототипа выражения

где T – интервал дискретизации сигналов, обрабатываемых фильтром, z – комплексный параметр Z-преобразования.

В ходе проведения билинейного z - преобразования происходит искажение (деформация) частотной оси. Частоты АФП и ЦФ связаны соотношениями:

где - частота ЧХ аналогового фильтра, - частота ЧХ цифрового фильтра. Из-за этой деформации для получения передаточной функции цифрового фильтра с требуемой частотой среза (граничной частотой полосы пропускания) 1 необходимо использовать передаточную функцию аналогового фильтра, имеющего специально подобранную граничную частоту полосы пропускания 1 . Однако мы располагаем таблицами нормализованных передаточных функций аналоговых фильтров, т.е. имеющих 1 1 рад/с. Кайзер и Гоулден преодолевают эту трудность, используя преобразование нижних частот (т.е. заменяя нормализованную переменную p на p / 1 перед

выполнением преобразования (70)).

Относительно билинейного преобразования (70) можно сделать два следующих замечания:

1.действительный постоянный множитель 2 / T , как отметили Рейдер и Голд, можно опустить;

2.процесс двукратного преобразования (от нормализованного аналогового фильтра нижних частот к аналоговому фильтру нижних частот с частотой среза 1 и затем билинейное преобразование)

удваивает объём вычислений.

Рейдер и Голд учли, что константу 2 / T можно опустить и использовали преобразование в виде

53

частот. С точки зрения преобразования (73) это означает, что если аргумент p

аналогового фильтра нижних частот заменить на 1 z 1 / 1 z 1 , то получим

выражение для передаточной функции цифрового фильтра верхних частот. Итак, в общем случае преобразование аналогового фильтра нижних

частот в цифровой фильтр верхних частот описывается формулой

где k - действительная положительная константа, значение которой таково, что частоты среза аналогового фильтра нижних частот 1 и цифрового фильтра верхних частот 1 связаны соотношением

В каждом из двух рассмотренных случаев преобразования имеют форму, исключающую необходимость:

1. предварительной деформации (эта операция включена в действительную константу k );

2. преобразование передаточной функции аналогового фильтра нижних частот в передаточную функцию аналогового фильтра верхних частот.

Таким образом, преимущества этого преобразования с точки зрения минимизации вычислений очевидны.

1.3.2 Примеры расчета цифровых БИХ-фильтров с внесением предыскажений

1.3.2.1 Пример расчёта домашнего задания для ФВЧ Чебышёва и Баттерворта. Требования к фильтрам Чебышёва и Баттерворта остались такими же, как

впредыдущей лабораторной работе, - для ФНЧ это:

1.значения граничных частот полосы задержания и полосы пропускания ( Fз и F1 соответственно);

2.значение коэффициента максимального ослабления в полосе пропускания aр max , дБ;

3.значение коэффициента минимального ослабления в полосе задержания aр min , дБ;

55

4. частота дискретизации сигналов, обрабатываемых фильтром, Fд . Примем значения граничных частот и коэффициентов aр max , aр min

низкочастотного аналогового фильтра прототипа равными:

высокочастотного аналогового фильтра равны:

F1 4940Гц, Fз 1900Гц

ap max 0.4455дБ, ap min 40дБ

Fд 17000 Гц

Синтез фильтров верхних частот производится на основе рассчитанных в предыдущей лабораторной работе фильтров нижних частот Чебышёва и Баттерворта, путём проведения преобразования Константинидиса. Благодаря

этому преобразованию возможен переход от аналогового ФНЧ сразу к цифровому ФВЧ с внесением предыскажений.

Преобразование Константинидиса состоит в подстановке в операторную передаточную функцию выражения:

где 1 - граничная частота полосы пропускания ФВЧ в рад/с, T - интервал дискретизации в с. В рассматриваемом случае

Проведём данную подстановку сначала в операторную передаточную функцию ФНЧ Чебышёва ( H ( p) взята с домашнего расчёта лабораторной работы № 3 «Синтез цифровых БИХ – фильтров методом билинейного z -

математических операций получаем передаточную (системную) функцию цифрового ФВЧ Чебышёва:

Таблица 6. Коэффициенты звеньев ФВЧ Баттерворта

На этом домашний расчёт БИХ-фильтров верхних частот Чебышёва и Баттерворта окончен.

1.3.2.2 Пример расчёта домашнего задания для ФВЧ Чебышёва и Баттерворта. Требования к фильтрам Чебышёва и Баттерворта остались такими же, как

впредыдущей лабораторной работе, - для ФНЧ это:

1.значения граничных частот полосы задержания и полосы пропускания ( Fз и F1 соответственно);

2.значение коэффициента максимального ослабления в полосе пропускания aр max , дБ;

3.значение коэффициента минимального ослабления в полосе задержания aр min , дБ;

4.частота дискретизации сигналов, обрабатываемых фильтром, Fд .

Примем значения граничных частот и коэффициентов aр max , aр min низкочастотного аналогового фильтра прототипа равными:

высокочастотного аналогового фильтра равны:

F1 4940Гц, Fз 1900Гц

ap max 0.4455дБ, ap min 40дБ

Fд 17000 Гц

Синтез фильтров верхних частот производится на основе рассчитанных в предыдущей лабораторной работе фильтров нижних частот Чебышёва и Баттерворта, путём проведения преобразования Константинидиса. Благодаря

этому преобразованию возможен переход от аналогового ФНЧ сразу к цифровому ФВЧ с внесением предыскажений.

Преобразование Константинидиса состоит в подстановке в операторную передаточную функцию выражения:

где 1 - граничная частота полосы пропускания ФВЧ в рад/с, T - интервал дискретизации в с. В рассматриваемом случае

работы № 3 «Синтез цифровых БИХ – фильтров методом билинейного z - преобразования»).

математических операций получаем передаточную (системную) функцию цифрового ФВЧ Чебышёва:

Разобьём операторную функцию на множители не выше 2 порядка, т.е. получим Н (z) в форме биквадратных звеньев и выпишем отдельно выражения

Тем самым мы привели наше выражение к виду Н (z) H1 (z)H2 (z) и получили два звена второго порядка.

Выпишем отдельно коэффициенты каждого звена в таблицу, без учета общего коэффициента усиления фильтра.

Таблица 7. Коэффициенты звеньев ФВЧ Чебышева