Добавил:

chrysler_a57_mltbnk Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Цифровая обработка сигналов

Файл:

лекции / TsOS_Uchebnoe_posobie_2018

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2026

Размер:

7.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Ap 10lg(1 2T 2 (1 )) ap max , T (1 ) T(1) 1

10lg(1 2 ) ap max ,

100.1ap max 1.

Подставив численное значение aр max , получаем 0.32867 .

Порядок фильтра можно определить через значения граничной частоты полосы задержания и коэффициента минимального ослабления в полосе задержания.

nArch			Arch		100.1ap min 1			,
nArch		3	Arch			2		,
		3				2

			100.1ap min 1
	Arch
	Arch			2
				2
n							.
n							.
		Arch 3

Порядок фильтра может быть только целым числом, тогда справедливо:

A 10lg(1 2T 2 (					)) a		p min		,
p				з			p min
10lg 1 2ch2 nArch 3 ap min ,

ch nArch 3			10		0.1ap min		1
			10				1	,
						2		,

		100.1ap min				1
	Arch
	Arch
			2
n							,			(58)
n		Arch 3					,			(58)
		Arch 3

где x – операция округления в сторону ближайшего целого значения,

превышающего x .

Проведя арифметические операции с учетом заданных требований к фильтру, получим n 4 . Теперь мы имеем все данные для нахождения корней знаменателя квадрата модуля АЧХ.

Корни находятся по формуле:

Arsh

2k 1

Arsh

2k 1

p sh

sin

jch

cos

где sh(x) - гиперболический синус.

, k 1,2,...,2n.

Из рассчитанных корней выбираем отвечающие соображениям устойчивости (система устойчива, если полюсы её передаточной функции лежат в левой полуплоскости её p -плоскости, т.е. имеют отрицательную

вещественную часть).

С учетом изложенного, отобранные корни равны: p1 -0.43804-j0.42352,

p2 -0.18144-j1.0225,

(59)

p3 -0.18144+j1.0225, p4 -0.43804+j0.42352.

В результате расчетов получены 2 пары комплексно-сопряжённых корней, которые мы относим к H ( p) . Последним шагом в формировании

низкочастотного АФП Чебышёва является запись аналитического выражения его операторной передаточной функции, которая имеет вид:

			Н ( p)		1		1			,

					2n 1			n
					2n 1			n
								( p pk )
								k 1
где	1		– коэффициент усиления.

	2n 1
	В нашем случае H ( p) принимает вид:
			Н ( p)			0.38032					,	(60)

				( p p )( p p )( p p )( p p )
			1				2		3	4
где	1	0.38032 .
где		0.38032 .
	23

Дальнейшие действия синтеза аналоговых фильтров рассматриваться не будут, так как в них нет необходимости при получении передаточной функции цифрового БИХ-фильтра.

Для перехода от передаточной функции АФП к передаточной функции ЦФ используется билинейное z - преобразование, которое заключается в подстановке в передаточную функцию выражения

p 2F	1	z 1	,	(61)
		z 1
д 1
42

где Fд – частота дискретизации сигналов, обрабатываемых фильтром, z – комплексный параметр Z-преобразования.

Перед использованием билинейного Z-преобразования, преобразуем передаточную функцию Н ( p) (60) в удобном для этого виде:

Н ( p)				0.38032

		( p2 p( p p ) p p )( p2				p( p p ) p p )
1			4	1	4	2	3	2	3		(62)
				0.38032
										.

	( p2 0.87608 p		0.37124)( p2 0.36288 p 1.0784)

В (62) проведено перемножение множителей, содержащих комплексносопряжённые корни полинома знаменателя ПФ (60) (см. значение корней (59) ).

Теперь можно проводить

билинейное

z -

преобразование,

предварительно нормировав частоту дискретизации (примем Fд 17000Гц )

Fд

1.424 ,

2 F1

тогда замена примет вид

p 2F

1 z 1

2.848

1 z 1

(63)

z 1

s 1 z 1

В результате подстановки в Н ( p) выражения (62)

проведение

математических преобразований получаем:

Н (z)

0.0033888(1 z 1)4

(64)

(1 1.4101z 1 0.54542z 2 )(0.79781z 2

1.3759z 1

Последний пункт задания – получение

Н (z)

в форме биквадратных

звеньев. Разобьём операторную функцию на множители не выше 2 порядка:

	0.0033888(1 z 1)2	(1 z 1)2
Н (z)
	(1 1.4101z 1 0.54542z 2 )	(1 1.3759z 1 0.79781z 2 )

Тем самым мы привели наше выражение к виду Н (z) H1 (z)H2 (z) и

получили два каждого звена:

H1(z)

H2 (z)

звена второго порядка. Выпишем отдельно выражения

0.0033888(1 z 1 )2			0.0033888(1 2z 1 z 2 )

(1 1.4101z 1 0.54542z 2 )			(1 1.4101z 1 0.54542z 2 )
(1 z 1)2			(1 2z 1 z 2 )

(1 1.3759z 1 0.79781z 2 )			(11.3759z 1 0.79781z 2 )

для

(65)

(66)

Выпишем отдельно коэффициенты каждого звена в таблицу, без учета общего коэффициента усиления фильтра.

Таблица 1. Коэффициенты звеньев ФНЧ Чебышева

Звено №	b0	b1		b2				a0		a1		a2
1	1	2		1				1		-1.4101		0.54542
2	1	2		1				1		-1.3759		0.79781
Определим искажение частот, получившееся в ходе проведения
билинейного z -преобразования. Частоты АЧХ									АФП и ЦФ			связаны
соотношениями:
		ˆ 2arctg			2arctg			F				(67)
		ˆ 2arctg			2arctg							(67)
				2Fд				Fд
		2F tg ˆ , F				Fд	tg ˆ ,					(68)
		2F tg ˆ , F					tg ˆ ,					(68)
			д	2				2
				2				2
ˆ	- нормированная частота АЧХ цифрового фильтра,										2 f –
где / Fд	- нормированная частота АЧХ цифрового фильтра,										2 f –

угловая частота АЧХ цифрового фильтра.

Подставляя в выражение для нахождения частоты АЧХ цифрового фильтра, значения граничных частот полосы пропускания и полосы задержания аналогового фильтра, получим граничные частоты ЦФ:

f		Fд	arctg F1	1827.2311 Гц,

1			Fд
				(69)

f		Fд	arctg Fз 4003.8081 Гц.
	з
			Fд

На этом домашний расчёт БИХ-фильтра Чебышёва окончен.

1.2.4.2 Пример расчёта домашнего задания для ФНЧ Баттерворта Требования к фильтру и, соответственно, значения нормированных

частот такие же, как и для ФНЧ Чебышёва (см. пункт 1.1 домашнего расчёта) Квадрат модуля АЧХ фильтра Баттерворта имеет вид:

Н (j )	2	1	,

		2 2n
	1

где ( ) 2n - функция фильтрации фильтра Баттерворта.

Квадрат модуля передаточной функции АФП можно записать виде:

Н ( p)	2 H ( p)H ( p)	1	,

		2 ( jp)2n
	1

где H ( p) - операторная передаточная функция АФП, p j .

Коэффициент неравномерности рабочего ослабления в полосе пропускания и порядок фильтра для фильтра Баттерворта определяется по формулам:

100.1ap max 1 , 44

100.1ap min 1

100.1ap min

lg 3

2lg 3

где

– операция округления в

сторону

ближайшего целого значения,

превышающего x .

Проведя несложный арифметический расчёт, учитывающий выдвинутые к фильтру требования, получим значения 0.32867 , n 6 .

Все данные для нахождения корней знаменателя квадрата модуля АЧХ получены.

Корни найдём по формуле для чётных значений порядка фильтра Баттерворта:

2k 1

cos

j sin

, k 1, 2,..., 2 n .

Из рассчитанных корней, выбираем те, которые отвечают соображениям

устойчивости:

p1 -1.1657-j0.31235,

p2 -0.85335-j1.85335,

p3 -0.31235-j1.1657,

-0.31235+j1.1657,

-0.85335+j1.85335,

-1.1657+j0.31235.

В результате расчетов получены 3 пары комплексно-сопряжённых корней, которые мы относим к H ( p) .

Последний шаг в формировании аналогового ФНЧ Баттерворта - запись аналитического выражения его операторной передаточной функции в виде дробно-рациональной функции:

			Н ( p)	1		1	,
			Н ( p)		n		,
					n
					( p pk )
					k 1
1	- коэффициент усиления.


	В нашем случае H ( p) принимает вид:
	Н ( p)			3.0893					,

		( p p )( p p )( p p )( p p )( p p )( p p )
	1		2		3	4	5	6
			45

где 1 3.0893.

Объединяя множители, содержащие комплексно-сопряжённые корни получим окончательное выражение для операторной передаточной функции АФП Баттерворта:

Н ( p)	3.0893

	( p2 2.3314 p 1.4564)( p2 1.7067 p 1.4564)( p2 0.6247 p 1.4564)

Для перехода от АФП к ЦФ, как и при синтезе ФНЧ Чебышёва, используется билинейное z - преобразование.

Подставляя в H ( p) выражение

p 2F 1 z 1 ,

s 1 z 1

где Fs - нормированная частота дискретизации (такая же, как у фильтра Чебышёва, см. (63)) и проведя математические преобразования получим:

Н (z)

0.0011642(1 z 1 )6

(1 0.8212z 1 0.18064z 2 )(1 0.92246z 1 0.32623z 2 )(1 1.173z 1

0.68641z 2 )

Запишем Н (z) в

форме

биквадратных

звеньев (в данном случае три

биквадратных звена, так как порядок фильтра шестой):

Н (z) H1 (z)H2 (z)H3 (z)

H1(z)

0.0011642(1 z 1)2

0.0011642(1 2z 1 z 2 )

(1 0.8212z 1 0.18064z 2 )

0.8212z 1 0.18064z 2 )

(1 z 1)2

(1 2z 1 z 2 )

H2 (z)

(1 0.92246z 1 0.32623z 2 )

(z)

(1 z 1)2

(1 2z 1 z 2 )

1.173z 1 0.68641z 2 )

Выпишем отдельно коэффициенты каждого звена в таблицу, без учета

общего коэффициента усиления фильтра.

Таблица 2. Коэффициенты звеньев ФНЧ Баттерворта

Звено №

-0.8212

0.18064

-0.92246

0.32623

-1.173

0.68641

Значения граничных частот полосы пропускания и полосы задержания цифрового фильтра Баттерворта совпадают со значениями граничных частот цифрового фильтра Чебышёва (см. (69) в п. 1.2.4.1).

На этом домашний расчёт БИХ-фильтра Баттерворта окончен.

1.2.4.3Пример расчёта домашнего задания для ФВЧ Чебышёва и ФВЧ Баттерворта

Значения

граничных

частот

коэффициентов aр max , aр min

высокочастотного аналогового фильтра прототипа равны:

F1 4940Гц, Fз 1900Гц,

ap max 0.4455дБ, ap min 40дБ, Fд 17000 Гц.

Нормированные значения частот имеют значения:

	2 F1	2.6,		2 Fз	1.
			з
1	2 Fз			2 Fз

Синтез фильтров верхних частот производится на основе рассчитанных выше аналоговых фильтров прототипов нижних частот Чебышёва (см п. 1.2.4.1) и Баттерворта (см п. 1.2.4.2). Для этого вначале синтезируется

аналоговый	прототип ФНЧ с граничной частотой полосы пропускания
Fз 1900 Гц	и граничной частотой полосы задержания F1 4940Гц (ФНЧ,

наоборот, пропускает нижние частоты, подавляет верхние). Синтез таких ФНЧ был продемонстрирован в п. п. 1.2.4.1 (ФНЧ Чебышева 4-го порядка) и 1.2.4.2 (ФНЧ Баттерворта 6-го порядка). Далее в операторной передаточной функции ФНЧ осуществляется замена в форме:

p 1		, где	1	2.6 - нормированная граничная частота полосы
нч	pвч		1
	pвч

пропускания ФВЧ.

Произведём данную операцию сначала над ФНЧ Чебышёва (см. п.

1.1.7.1):

Н ( p)							0.38032

		( p		2 0.87608 p			0.37124)( p		2 0.36288 p			1.0784)
			нч			нч		нч		нч
							0,38032							.

	1		2		1			1		2	1


			0.87608				0.37124			0.36288			1.0784


	pвч				pвч			pвч			pвч

Проведя математические операции, преобразуем выражение к виду:

Н ( p)			0.95 p4
			вч			.
	( p2	6.1356 p	18.209)( p2	0.87494 p	6.2688)	.
	вч	вч	вч	вч
			47

Получена операторная передаточная функция аналогового ФВЧ

Чебышёва. Далее, с помощью			билинейного z -	преобразования
осуществляется переход от АФП к ЦФ.
При подстановке вида p 1		,	с рассчитанными	выше значениями
нч	pвч
	pвч

граничных частот, нормировка частотной оси сохраняется и можно использовать уже готовое билинейное z - преобразование (использовалось при расчёте ФНЧ):

1		z 1			F
p 2Fs			,	Fs	д	1.424 .
p 2Fs	1	z 1	,	Fs	2 F	1.424 .
					з
После подстановки в Н ( p) выражения p 2F							1 z 1		и проведения
После подстановки в Н ( p) выражения p 2F								z 1	и проведения
						s 1		z 1

арифметических операций получим передаточную (системную) функцию цифрового фильтра верхних частот Чебышёва:

Н (z)

0.08459(1 z 1 )4

(1 0.46114z 1 0.20199z 2 )(1 0.21841z 1 0.79781z 2 )

Разобьём Н (z) на отдельные биквадратные звенья:

H1(z)

0.08459(1 z 1)2

0.08459(1 2z 1 z 2 )

0.46114z 1

0.20199z 2 )

0.46114z 1 0.20199z 2 )

(z)

(1 z 1)2

(1 2z 1 z 2 )

(1 0.21841z 1

0.79781z 2 )

0.21841z 1 0.79781z 2 )

Выпишем отдельно коэффициенты каждого звена в таблицу, без учета

общего коэффициента усиления фильтра.

Таблица 3. Коэффициенты звеньев ФВЧ Чебышева

Звено №

-2

-0.46114

0.20199

-2

-0.21841

0.79781

Определим искажение частот, получившееся в ходе проведения билинейного z - преобразования (см. формулу (67)).

Подставляя в выражение для нахождения значений граничных частот цифрового фильтра значения граничных частот полосы пропускания и полосы задержания аналогового фильтра, получим граничные частоты ЦФ:

f	Fд	arctg F1	4003.8081 Гц

1		Fд

f		Fд	arctg	Fз	1827.2311 Гц
	з
				Fд

Проведя аналогичные операции над ФНЧ Баттерворта, получим:

Н ( p)				p6
				вч				.
	( p2	4.162 p	4.6415)( p2	3.0468 p	4.6415)( p2	1.1152 p	4.6415)	.
	вч	вч	вч	вч	вч	вч

Н (z)

H1(z)

H2 (z)

H3 (z)

0.063535(1 z 1 )6

(1 0.28202z 1 0.036546z 2 )(1 0.32382z 1 0.19017z 2 )(1 0.43566z 1 0.60121z 2 )

0.063535(1 z 1)2

0.063535(1 2z 1 z 2 )

(1 0.28202z 1 0.036546z 2 )

(1 z 1)2

(1 2z 1 z 2 )

(1 0.32382z 1 0.19017z 2 )

(1 z 1)2

(1 2z 1 z 2 )

(1 0.43566z 1 0.60121z 2 )

Выпишем отдельно коэффициенты каждого звена в таблицу, без учета общего коэффициента усиления фильтра.

Таблица 4. Коэффициенты звеньев ФВЧ Баттерворта

Звено №	b0	b1	b2	a0	a1	a2
1	1	-2	1	1	-0.28202	0.036546
2	1	-2	1	1	-0.32382	0.19017
3	1	-2	1	1	-0.43566	0.60121

Значения граничных частот полосы пропускания и полосы задержания цифрового фильтра Баттерворта совпадают со значениями граничных частот цифрового фильтра Чебышёва.

f		Fд	arctg F1 4003.8081 Гц

	1			Fд

f		Fд	arctg	Fз	1827.2311 Гц
	з
				Fд

На этом домашний расчёт БИХ-фильтров верхних частот Чебышёва и Баттерворта окончен.

1.2.5Контрольные вопросы

1.На основе чего синтезируется цифровой фильтр методом билинейного z - преобразования?

2.В чём заключается метод билинейного z - преобразования?

3.В чём преимущество метода билинейного z - преобразования?

4.Основной недостаток метода билинейного z - преобразования?

5. В какую область частот цифрового фильтра отображается множество частот , аналогового фильтра?

6.Выведите выражения, связывающие частоты аналогового фильтра и частоты цифрового фильтра .

7.В чём основное отличие между фильтром Чебышёва и Баттерворта?

8.Нарисуйте структурную схему БИХ-фильтра второго порядка.

9.Какие цифровые фильтры считаются устойчивыми?

10.Как проводится моделирование цифрового БИХ-фильтра в среде «Спектр-2»?

11.Как изменяется порядок фильтра при переходе от передаточной функции АФП к передаточной функции ЦФ методом билинейного Z- преобразования?

12.Как изменяется порядок фильтра при переходе от прототипа ФНЧ к прототипу ФВЧ?

13.У какого из рассмотренных ФНЧ (Чебышева или Баттерворта) будет меньший порядок при одинаковых требованиях к избирательным свойствам?

14.В чем преимущество фильтра Баттерворта по сравнению с фильтром Чебышева?

1.2.6Задачи

1.Методом билинейного z - преобразования перейти от операторной передаточной функции аналогового фильтра прототипа к передаточной функции цифрового фильтра. Операторная передаточная функция

	1
аналогового фильтра имеет вид:	H p		. Нормированное
		p 3

значение частоты дискретизации принять Fs 12 .

2.Методом билинейного z - преобразования перейти от операторной передаточной функции аналогового фильтра прототипа к передаточной функции цифрового фильтра. Операторная передаточная функция

аналогового фильтра имеет вид: H p	1	. Нормированное

	p 5
	p 5

значение частоты дискретизации принять Fs 2 .

3.Методом билинейного z - преобразования перейти от операторной передаточной функции аналогового фильтра прототипа к передаточной

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке лекции

#
13.05.20267.87 Mб0TsOS_Uchebnoe_posobie_2018.pdf
#
13.05.2026279.61 Кб0Лекция №.mhtml
#
13.05.20264.92 Mб0Солонина_А_И_Основы_цифровой_обработки_сигналов_2_е_издание,_2005.djvu