лекции / TsOS_Uchebnoe_posobie_2018

В равенстве (43) можно выделить Z-изображения входной и выходной последовательностей в явном виде:

Следует обратить внимание, что коэффициенты линии задержки входного сигнала формируют полином числителя, а коэффициенты линии задержки ветки обратной связи, взятые с обратным знаком (кроме a0 ), формируют полином знаменателя (см. рисунок 12). Выражение (49) можно переписать в форме:

Индекс коэффициента в (50) соответствует совокупной задержке, которую претерпевает сигнал, прежде чем быть умноженным на него (см. рисунок 12). Коэффициенты b и a с другими индексами равны нулю. С учетом изложенного

31

РУ рассматриваемой ЛДС может быть получено из РУ общего вида, путем подстановки значений коэффициентов:

Выражение полученной ПФ (50) также можно рассматривать как частный случай ПФ общего вида с конкретными коэффициентами b и a:

k1

В(51) и (52) предполагается, что M = 14 и N = 9 (см. рисунок 12).

Рисунок 12. Структурная схема ЛДС с коэффициентами b и a

Порядок рассматриваемой ЛДС равен максимальной длине линии задержки

zR zM и запишем результат в форме:

32

дробно-рациональной форме, т.е. в форме отношения двух многочленов комплексной переменной z. Порядок многочлена знаменателя (максимальная степень z) определяет порядок ЛДС и порядок разностного уравнения.

33

1.2Расчет цифровых БИХ-фильтров на основе билинейного z- преобразования

1.2.1 Общая структура расчета коэффициентов фильтра, методика расчета

Известны три класса методов расчета передаточных функций рекурсивных цифровых фильтров:

1.Методы преобразования аналоговых фильтров в цифровые (методы билинейного z-преобразования, инвариантной импульсной характеристики).

2.Прямые методы расчета РЦФ (рекурсивных цифровых фильтров) в Z- плоскости.

3.Методы, использующие алгоритмы оптимизации.

Для расчета частотно-избирательных РЦФ (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ) наиболее подходит метод билинейного z-преобразования передаточной функции аналогового фильтра прототипа H ( p) в соответствующую

передаточную функцию H (z) , т.к. он является наиболее простым методом, хорошо поддающимся алгоритмизации. Таким образом, первоначально требуется найти передаточную функцию H ( p) аналогового фильтра прототипа, затем провести обобщенное билинейное преобразование.

1.2.2 Билинейное z-преобразование

Билинейное преобразование представляет собой конформное отображение точек p-плоскости в точки z-плоскости и использует замену переменной вида:

где 2Fд – удвоенное значение частоты дискретизации.

Из данной подстановки, можно найти обратное преобразование:

Использование такой подстановки обеспечивает однозначное преобразование передаточной функции H ( p) аналогового фильтра прототипа в передаточную функцию H (z) цифрового фильтра :

плоскости внутри единичного круга (|z| < 1). Действительно, при Re(p)<0

имеем < 0. Тогда можно получить:

z ( ) j . ( ) j

Теперь выделив модуль и аргумент, получим: z r exp( j ( )) ,

где

1.Поскольку все полюсы устойчивого аналогового фильтра расположены в левой половине p-плоскости, он при преобразовании к цифровому фильтру будет давать устойчивый фильтр.

2.Т.к. мнимая ось p-плоскости отображается на единичную окружность z-

плоскости, то все максимумы и минимумы АЧХ H ( j) аналогового фильтра сохранятся и в АЧХ H (e j T ) цифрового фильтра. Сохранится

также и неравномерность АЧХ для соответствующих диапазонов частот. Таким образом, избирательные аналоговые фильтры преобразуются в

соответствующие цифровые фильтры.

При билинейном преобразовании мнимая ось плоскости p переходит в единичную окружность на плоскости z, причем левая полуплоскость плоскости p отображается внутрь единичной окружности плоскости z, а правая полуплоскость плоскости p отображается вне единичной окружности. Отображение плоскости p в плоскость z при билинейном преобразовании показано на рисунке .

Рисунок 13.Отображение плоскости p в плоскость z

36

Важно отметить, что соотношение между аналоговыми частотами и цифровыми частотами , является нелинейным:

где ˆ T / Fд – нормированная цифровая частота. Таким образом, имеет

место деформация шкалы частот при переходе от аналогового фильтра к цифровому. Но деформация шкалы частот не приводит к нарушению избирательных свойств фильтра при билинейном преобразовании. Графически отображение частот при билинейном преобразовании показано на рисунке при 1.

периодическая функция, и частотная характеристика фильтра будет многократно периодически повторена с периодом 2 рад/с. Правый верхний график показывает проекцию АЧХ, обеспечивающий заданный уровень боковых лепестков. И наконец, на нижнем правом графике показана АЧХ цифрового фильтра, полученного при помощи билинейного преобразования из аналогового ФНЧ. Желтым выделен один период АЧХ цифрового фильтра.

бесконечное количество раз через 2 рад/с. Частот 1 рад/с проецируется на частоту ˆ / 2 рад/с. Таким образом, диапазон частотной характеристики аналогового фильтра от 0 до 1 рад/с полностью размещается внутри диапазона

отрицательной области частот, в силу периодичности тангенса, переносится в

вещественных коэффициентах передаточной характеристики H ( p) , то АЧХ

цифрового фильтра, полученного путем билинейного преобразования из аналогового фильтра прототипа будет симметрична относительно частоты ˆ .

37

1.2.3Пересчет аналогового фильтра прототипа в цифровой фильтр методом билинейного z- преобразования.

Пересчет аналогового нормированного ФНЧ прототипа в цифровой ФНЧ фильтр осуществляется следующей подстановкой:

p 1 z 1

1 z 1

После проведения синтеза нормированного аналогового ФНЧ прототипа имеем следующий общий вид передаточной функции:

Необходимо провести подстановку вида:

p 1 z 1

1 z 1

Опустив очевидные математические преобразования, имеем для звена второго порядка:

z2 (b0 (b1 b2 )) 2z(b0 (b0 b2 2 )) b0 (b1 b2 ) H (z) z2 (a0 (a1 a2 )) 2z(a0 (a0 a2 2 )) a0 (a1 a2 )

для звена первого порядка:

1.2.4 Примеры расчета цифровых БИХ-фильтров

1.2.4.1 Пример расчёта домашнего задания для ФНЧ Чебышёва

Спроектируем ФНЧ Чебышева I рода. Сформулируем требования к фильтру, - для ФНЧ это:

1. значения граничных частот полосы задержания и полосы пропускания ( Fз и F1 соответственно);

39

2.значение коэффициента максимального ослабления в полосе пропускания aр max , дБ;

3.значение коэффициента минимального ослабления в полосе задержания aр min , дБ;

4.частота дискретизации сигналов, обрабатываемых фильтром, Fд .

Примем значения граничных частот и коэффициентов aр max , aр min

низкочастотного аналогового фильтра прототипа равными:

F1 1900Гц, Fз 4940Гц,

ap max 0.4455дБ, ap min 40дБ,

Fд 17000 Гц.

Синтез АФП осуществляется в области нормированных частот. При этом граничная угловая частота полосы пропускания принимается равной 1 рад/с. Проведём соответствующее нормирование оси частот. Тогда нормированные граничные частоты полосы пропускания и полосы задержания будут равны соответственно

Следующим шагом синтеза является определение порядка фильтра и коэффициента неравномерности ослабления в полосе пропускания . Напомним, что данные параметры необходимы для нахождения корней знаменателя модуля квадрата амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) которая имеет вид:

гиперболический арккосинус.

С учетом (56) квадрат модуля передаточной функции АФП можно записать в форме:

фильтрации данного фильтра.

Коэффициент неравномерности рабочего ослабления найдём через коэффициент максимального подавления и значение граничной частоты полосы пропускания:

40