Добавил:

chrysler_a57_mltbnk Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Цифровая обработка сигналов

Файл:

лекции / TsOS_Uchebnoe_posobie_2018

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2026

Размер:

7.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

			j		3							j		21							3					3	cos 3
			j			e j3 e j9 e						j									3					3
X (6)	1 e				2								2					1 cos					j sin
X (6)	1 e				2								2					1 cos					j sin
																					2					2
j sin 3 cos 9 j sin 9																			21					21
												cos								j sin					1
												cos								j sin					1
																			2					2
Для k 7
			j		7		j	7	j	21			j		49						7					7			7
			j				j		j				j								7					7			7
X (7)	1 e				4	e		2 e		2 e						4	1 cos							j sin			cos
X (7)	1 e				4	e		2 e		2 e						4	1 cos							j sin			cos
																					4					4			2
		7					21				21								49						49
		7					21				21								49						49
j sin				cos					j sin								cos					j sin					1	2	2.414
j sin				cos					j sin								cos					j sin					1	2	2.414
		2					2					2								4						4

Выпишем отдельно получившиеся коэффициенты ДПФ:

X (k) 5, 1			.
X (k) 5, 1	2, 1, 1-	2, 1, 1- 2, 1, 1 2	.

На этом расчёт дискретного преобразования Фурье по общей формуле окончен.

1.5.5.2Расчёт коэффициентов ДПФ с помощью быстрого преобразования Фурье с прореживанием по времени

На рисунке 46 показан алгоритм БПФ «бабочка» с прореживанием по времени. Найдём коэффициенты ДПФ, воспользовавшись этим алгоритмом.

Рисунок 46. Алгоритм БПФ Кули-Тьюки с прореживанием по времени

Для нахождения восьмиточечного ДПФ необходимо проредить последовательность по времени 3 раза, причем одноточечные ДПФ, получившиеся в конце прореживания, равны значениям исходной

111

последовательности (одноточечные последовательности являются результатом двоичной инверсной перестановки исходной последовательности см. п. 1.5.4.5)

Выполним алгоритм БПФ пошагово, пользуясь рисунком 46.

Найдём коэффициенты ДПФ промежуточных двухточечных последовательностей x20 (n) , x21 (n) , x22 (n) , x23 (n) :

X 20 (0) X30 (0) W80 X31(0) x(0) x(4) 1 X20 (1) X30 (0) W80 X31(0) x(0) x(4) 1 X21(0) X32 (0) W80 X33 (0) x(2) x(6) 2 X21(1) X32 (0) W80 X33 (0) x(2) x(6) 0 X22 (0) X34 (0) W80 X35 (0) x(1) x(5) 1 X22 (1) X34 (0) W80 X35 (0) x(1) x(5) 1 X 23 (0) X36 (0) W80 X37 (0) x(3) x(7) 1 X23 (1) X36 (0) W80 X37 (0) x(3) x(7) 1

Поворачивающий множитель W80 равен единице.

Теперь, вычислим коэффициенты ДПФ последовательностей x10 (n) и x11 (n) :

X10 (0) X 20 (0) W80 X 21(0) 3

X10 (2) X 20 (0) W80 X 21(0) 1

X10 (1) X 20 (1) W8 2 X 21(1) X 20 (1) e j 2 X 21(1) 1

X10 (3) X 20 (1) W8 2 X 21(1) X 20 (1) e j 2 X 21(1) 1 X11(0) X 22 (0) W80 X 23 (0) 2

X11(2) X 22 (0) W80 X 23 (0) 0

X11(1) X 22 (1) W8 2 X 23 (1) X 22 (1) e j 2 X 23 (1) 1 j

X11(3) X 22 (1) W8 2 X 23 (1) X 22 (1) e j 2 X 23 (1) 1 j .

Последний шаг – нахождение коэффициентов ДПФ исходной последовательности x(n) .

X (0) X10 (0) W80 X11(0) 5

X (4) X10 (0) W80 X11(0) 1

X (1) X10 (1) W8 1 X11(1) X10 (1) e j 4 X11(1) 1 2 2.414

						(1) e j
X (5) X	10	(1) W 1 X	11	(1) X	10	(1) e j	4 X	11	(1) 1	2 0.414
	10	8	11		10			11

X (2) X10 (2) W8 2 X11(2) X10 (2) e j 2 X11(2) 1 112

																					(2) e j
X (6) X				10	(2) W 2 X							11	(2) X					10			(2) e j				2 X		11		(2) 1
				10				8				11						10									11
																				(3) e j				3
X (3) X				10	(3) W 3 X						11		(3) X				10			(3) e j					4	X		11		(3) 1		2 0.414
				10			8				11						10											11
																				(3) e j				3
X (7) X				10	(3) W 3 X						11		(3) X				10			(3) e j					4	X		11		(3) 1		2 2.414 .
				10			8				11						10											11
Выпишем отдельно результат, полученный по алгоритму БПФ:
			5, 1
X (k)			5, 1			2, 1, 1-								2, 1, 1- 2, 1, 1 2

Значения коэффициентов ДПФ, посчитанные по общей формуле и по
алгоритму БПФ совпадают.
На этом расчёт дискретного преобразования Фурье по алгоритму быстрого
преобразования Фурье окончен.
1.5.5.3 Расчёт коэффициентов ДПФ																									промежуточных								последовательностей
			x10 (n) и x20 (n)										по общей формуле
Рассчитаем по общей формуле коэффициенты ДПФ промежуточной
последовательности													x10 (n) (см.(199)),																	где x10 (n) -			результат				разбиения
исходной временной последовательности x(n) , включающий в себя только
четные				коэффициенты										x(n)									(нулевой, второй,									четвёртый				и		шестой):
10
x (n) 1101 .
Длина последовательности x10 (n) N 4 .
				3																														3
X10 (k) x10 (n)e j										2 nk			x10 (0) x10 (1)e j													2 k		x10 (2)e j k x10 (3)e j								k
X10 (k) x10 (n)e j										2 nk			x10 (0) x10 (1)e j													2 k		x10 (2)e j k x10 (3)e j						2		k
				n 0
		(0) x (1)e j								x (3)e j								3
x								2 k														k ,
x								2 k										2				k ,
	10				10								10
k 0...N 1 0...3 .
Для k 0
X (0) x10 (0) x10 (1) x(3) 3 .
Для k 1
								j								j			3														3					3
								j								j																	3					3
X10 (1) 1 x10 (1)e									2 x10 (3)e												2 1 cos									j sin			cos					j sin		1
X10 (1) 1 x10 (1)e									2 x10 (3)e												2 1 cos									j sin			cos					j sin		1
																												2				2	2					2
Для k 2
X	10	(2) 1 x (1)e j								x (3)e j3												1 cos j sin cos 3 j sin 3 1.
	10				10								10
Для k 3
							j								j			3							3						3		9					9
							j								j										3						3		9					9
X10 (3) 1 x10 (1)e									2	x10 (3)e								2				1 cos								j sin			cos		j sin				1
X10 (3) 1 x10 (1)e									2	x10 (3)e								2				1 cos								j sin			cos		j sin				1
																									2							2	2					2
Последовательность X10 (k) имеет вид: X10 (k ) 3, 1, -1,																																	1 , который совпадает

с результатами промежуточных вычислений БПФ.

113

Рассчитаем аналогичным образом коэффициенты ДПФ последовательности

x20 (n) , включающей в себя каждый второй член последовательности x10 (n) ,
	20			20
начиная	x (n)	1 0	. Длина последовательности x		(n) N 2 .
	1
X 20 (k) x20 (n)e j nk x20 (0) x20 (1)e j k x20 (0) .
	n 0
В данном случае коэффициенты				X 20 (0) и X 20 (1)	равны меду собой и равны
единице	X 20 (0) 1,		X 20 (1) 1,	что также соответствует промежуточным
расчетам БПФ.

1.5.6 Контрольные вопросы

1Для чего используется дискретное преобразование Фурье?

2Запишите и поясните формулы ДПФ и ОДПФ.

3Что такое поворачивающий множитель и почему он так называется?

4Перечислите основные свойства ДПФ и поясните их.

5Нарисуйте схему реализации ОДПФ на базе ДПФ и поясните её.

6Каковы причины применения БПФ вместо обычного алгоритма ДПФ?

7Расскажите об алгоритме БПФ с прореживанием по времени.

8Расскажите об алгоритме БПФ с прореживанием по частоте.

9Сравните между собой алгоритмы БПФ с прореживанием по времени и с прореживанием по частоте.

1.5.7 Задачи

1. Вычислить ДПФ от последовательности x(n) [ 2; 1; 2; 2] .

2.Найти коэффициенты ДПФ X (k) для последовательности x(n) 0;0;1;1;1;0 .

Найти коэффициенты ОДПФ x n , если

X k

4;0;4;0 .

Найти коэффициенты ОДПФ x

, если

3;1;3;1 .

Дан дискретный сигнал в форме: x(n) A1 cos 2 f1nT A2 cos 2 f2nT

, n 0,1,2,... , где

A1 1, A2

4 ,

15кГц ,

f2 7.5 кГц .

Частота

дискретизации сигнала составляет

Fs 60кГц .

От первых

N 4096

отсчетов сигнала вычисляется дискретное преобразование Фурье X (k) . Вопрос: сколько коэффициентов ДПФ будут отличны от нуля, чему будут равны их индексы k и чему будут равны их модули X (k) ?

114

1.5.8Пример решения задач

1.Дан дискретный сигнал в форме:

x(n) A1 cos 2 f1nT A2 cos 2 f2nT , n 0,1,2,... ,

где A1 10 , A2	2 , f1 30 кГц ,	f2 7.5 кГц . Частота дискретизации
сигнала составляет	Fд 120 кГц . От	первых N 4096 отсчетов сигнала

вычисляется дискретное преобразование Фурье X (k) .

Вопрос: сколько коэффициентов ДПФ будут отличны от нуля, чему будут равны их индексы k и чему будут равны их модули X (k) ?

Решение

Спектр косинуса представляет собой один дискретный ненулевой отсчёт с копией в области отрицательных частот на частотах f1 и f1 ( f2 и f2 для второго косинуса) . То есть количество ненулевых отсчётов на одном периоде будет равно четырём для дискретного сигнала x(n) . Далее с периодом N спектр сигнала будет повторяться. Диапазон первого периода можно представить как N / 2; N / 2 .

Перейдём к поиску индексов ненулевых отсчётов ДПФ.

Чтобы определить частоту дискретного сигнала в определённой точке (т.е. с определённым индексом k ) необходимо знать шаг дискретизации сигнала. Основной диапазон частот занимаемый сигналов равен Fд / 2; Fд / 2 ,

следовательно, ширина основного диапазона частот равна частоте дискретизации Fд . Зная, что в одном периоде сигала содержится N отсчётов,

определим, что шаг дискретизации равен Fд / N . Тогда частота на k -ом шаге дискретизации равна fk kFд / N . Тогда индекс k равен

k fk N / Fд .

Определим индексы для частот f1 и f2 : k1 f1N / Fд 1024 , k2 f2 N / Fд 256

. Пользуясь свойством периодичности определим положение оставшихся двух индексов, но в положительной полосе частот, соответственно, с положительными индексами. Т.е. зная, что после N / 2; N / 2 следует точная

копия спектра исходного дискретного сигнала определим первые два индекса

копии, которые	соответствуют диапазону N / 2;0 :	k3 N k1 3072 ,
k4 N k2 3840 .
Найдём модули	ненулевых коэффициентов ДПФ. Для этого разложим
дискретный сигнал x(n) по формуле Эйлера:
	115

x(n) A1	e j 2 f1nT e j 2 f1nT		A2	e j 2 f2nT e j 2 f2nT
						.
		2			2

Возьмём ДПФ от последовательности x(n) в и подставим значения частот f1

f2 :

e j 2 f1nT e j 2 f1nT

e j 2 f2nT e j 2 f2nT

X k x n

i 0

e j 2 f1nT e

e j 2 f2nT e

i 0

2 f nT

2 f

i 0

2 i 0

k n

A1 e

A2 e

i 0

2 i 0

Тогда в точке k1

k n

X k1 A1 e

i 0

N j

k1n

из

условия

2 i 0

i 0

ортогональности комплексных гармоник составляющих базис БПФ.

k n

A1N

Следовательно, X k1

20480 .

i 0

Модуль коэффициента

ДПФ

точке

k2 , опираясь, на вышеописанные

соображения равен X k2

A2 N

4096 .

2. Вычислить ДПФ от последовательности x(n) [1; 0; 0; 2].

Решение

Произведём вычисление коэффициентов ДПФ последовательности x(n) по формуле (199):

3	2	3
X (k) x(n)e j		nk x(n)e j	2 nk .
X (k) x(n)e j	4	nk x(n)e j	2 nk .
n 0		n 0

Для k 0

X (0) x(0) x(1) x(2) x(3) 3;

116

для k 1

X (1) x(0) x(1)e j 2 x(2)e j x(3)e j 32 x(0) x(3)e j 32 1 j2 ,

отсчёты x(2), x(3) равны нулю по условию и далее учитываться не будут;

для k 2

X (2) x(0) x(3)e j3 1;

k 3

X (2) x(0) x(3)e j
X (2) x(0) x(3)e j	2	1 j2 .

В итоге коэффициенты ДПФ последовательности x(n) равны:

X k 3;1 j2;1;1 j2 .

Комментарий: расчёт коэффициентов ДПФ в данном примере приведён кратко, так как подробно разобран в пункте 1.5.5 домашнего задания.

117

2 Имитационное моделирование в среде «Спектр-2»

2.1 Исследование характеристика линейных дискретных систем

2.1.1 Цель работы

Цель работы: изучить математическое описание линейных дискретных систем (ЛДС) и овладеть программными средствами их моделирования и анализа в среде «Спектр-2»

Номер варианта выбирается студентом из следующей таблицы:

Таблица 11. Исходные данные

Переменная	Назначение							Значение

Nбр	Номер бригады		Nбр
b0	Коэффициенты	числителя	b0 0,5 0,02Nбр
	Коэффициенты	числителя	b0 0,5 0,02Nбр
b1	передаточной функции		b1 b0 ( 1)		Nбр		1	(0,9822 0, 0178Nбр )
b2			b1 b0 ( 1)					(0,9822 0, 0178Nбр )
b2			b2 b0 0,8 0, 2(Nбр mod 5)

a0	Коэффициенты	знаменателя	a0 1
a1	передаточной функции		a1 ( 1)	Nбр		(0, 7778 0, 025Nбр )
a2			a1 ( 1)			(0, 7778 0, 025Nбр )
a2			a2 0,64 0,006Nбр
			a2 0,64 0,006Nбр

N1	Длина ИХ		10

N2	Длина воздействия		4

fд	Частота дискретизации		fд 1000Nбр
	Частота дискретизации		fд 1000Nбр

Nбр 1, 2,...30

2.1.2 Домашний расчёт

Домашний расчёт состоит из следующих пунктов:

1.Формирование основных характеристик линейной дискретной системы.

2.Определение устойчивости линейной дискретной системы.

3.Вычисление импульсной характеристики по разностному уравнению.

4.Вычисление импульсной характеристики по общей формуле.

5.Вычисление реакции линейной дискретной системы по формуле свёртки.

6.Вычисление реакции линейной дискретной системы по разностному уравнению.

7.Экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ.

118

2.1.3 Подготовка к лабораторной работе

Для подготовки к лабораторной работе необходимо сделать заготовку в отчётной тетради. А именно, перерисовать и частично заполнить по результатам домашнего задания таблицы 12 - 15.

После выполнения лабораторной работы в таблицы также вносятся результаты эксперимента.

Здесь таблица полностью заполнена теоретическими данными, полученными в примере домашнего расчёта и в результате эксперимента, основанного на нём (см. раздел 1.1.7).

Таблица 12. Рассчитанные и измеренные значения ИХ

n	Значения отсчетов	Значения отсчетов ИХ h,	Значения отсчетов
	ИХ h, рассчитанные	рассчитанные по общей	ИХ h, измеренные
	по РУ	формуле	экспериментально
0	1.0000	1.0000	1.0000
1	1.4000	1.4000	1.4000
2	0.9800	0.9800	0.9800
3	0.0000	0.0000	0.0000
4	-0.4802	-0.4802	-0.4802
5	-0.3361	-0.3361	-0.33614
6	0.0000	0.0000	0.0000
7	0.1647	0.1647	0.164709
8	0.1153	0.1153	0.115296
9	0.0000	0.0000	0.0000

119

Таблица 13. Рассчитанные и измеренные значения реакции ЛДС на прямоугольный импульс

n	Значения отсчетов	Значения отсчетов	Значения отсчетов
	реакции y,	реакции y,	реакции y,
	рассчитанные по	рассчитанные по РУ	измеренные
	формуле свертки		экспериментально
0	1.0000	1.0000	1.0000
1	2.4000	2.4000	2.4000
2	3.3800	3.3800	3.3800
3	3.3800	3.3800	3.3800
4	1.8998	1.8998	1.89980
5	0.1637	0.1637	0.16366
6	-0.8163	-0.8163	-0.81634
7	-0.6516	-0.6516	-0.651631
8	-0.0561	-0.0561	-0.056135
9	0.2800	0.2800	0.280005
10	0.2800	0.2235	0.223510
11	0.1153	0.0193	0.019254
12	0.0000	-0.0960	-0.096042

Таблица 14. Значения входного воздействия и реакции ЛДС, участвующие в разностном уравнении

n	x(n)	x(n 1)	x(n 2)	y(n)	y(n 1)	y(n 2)

0	1	0	0	1.0000	0.0000	0.0000
1	1	1	0	2.4000	1.0000	0.0000
2	1	1	1	3.3800	2.4000	1.0000
3	1	1	1	3.3800	3.3800	2.400
4	0	1	1	1.8998	3.3800	3.3800
5	0	0	1	0.1637	1.8998	3.3800
6	0	0	0	-0.8163	0.1637	1.8998
7	0	0	0	-0.6516	-0.8163	0.1637
8	0	0	0	-0.0561	-0.6516	-0.8163
9	0	0	0	0.2800	-0.0561	-0.6516
10	0	0	0	0.2235	0.2800	-0.0561
11	0	0	0	0.0193	0.2235	0.2800
12	0	0	0	-0.0960	0.0193	0.2235

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке лекции

#
13.05.20267.87 Mб0TsOS_Uchebnoe_posobie_2018.pdf
#
13.05.2026279.61 Кб0Лекция №.mhtml
#
13.05.20264.92 Mб0Солонина_А_И_Основы_цифровой_обработки_сигналов_2_е_издание,_2005.djvu