лекции / TsOS_Uchebnoe_posobie_2018
.pdfh(0)x(3) h(1)x(2) h(2)x(1) h(3)x(0) 3.38
n 4
n 4
y(4) h(k)x(n k) h(0)x(4) h(1)x(3) h(2)x(2) h(3)x(1) h(4)x(0) 1.8998
k 0
Здесь умножение h(0)x(4) 0 из-за равенства нулю пятого отсчёта воздействия x(4) 0 (см. (29)). Далее расчётные формулы будут приведены
без равных нулю множителей. n 5
n 5
y(5) h(k)x(n k) h(2)x(3) h(3)x(2) h(4)x(1) h(5)x(0) 0.1637
k 0
n 6
n 6
y(6) h(k)x(n k) h(3)x(3) h(4)x(2) h(5)x(1) h(6)x(0) 0.8163
k 0
n 7
n 7
y(7) h(k)x(n k) h(4)x(3) h(5)x(2) h(6)x(1) h(7)x(0) 0.6516 .
k 0
Продолжая считать таким же образом и учитывая, что, начиная с 11 отсчёта, ИХ полагается равной нулю, получим следующие значения оставшихся пяти отсчётов реакции ЛДС на прямоугольный единичный импульс:
y(8) 0.0561 y(9) 0.28 y(10) 0.28 y(11) 0.1153 y(12) 0
На этом расчёт выходного сигнала ЛДС по формуле свёртки считается оконченным.
1.1.7.6 Вычисление реакции ЛДС по разностному уравнению
Операция вычисления реакции ЛДС y(n) на прямоугольный единичный
импульс (см.(29)) по разностному уравнению (см.(18)) производится аналогично с вычислением импульсной характеристики в пункте 1.1.7.3 (при замене воздействия (26) на воздействие (29)).
Приведём пример расчёта (отсчёты равные нулю по причинам, описанным в
пункте 1.1.7.3, сразу исключены из примера). n 0
y(0) b0 x(0) 1
21
n 1
y(1) b0 x(1) b1x(0) a1 y(0) 2.4 n 2
y(2) b0 x(2) b1x(1) b2 x(0) a1 y(1) a2 y(0) 3.38 n 3
y(3) b0 x(3) b1x(2) b2 x(1) a1 y(2) a2 y(1) 3.38 n 4
y(4) b1x(3) b2 x(2) a1 y(3) a2 y(2) 1.8998 n 5
y(5) b2 x(3) a1 y(4) a2 y(3) 0.1637 n 6
y(6) a1 y(5) a2 y(4) 0.8163 n 7
y(7) a1 y(6) a2 y(5) 0.6516
Значения, начиная с y(6) и до y(12) считаются по формуле
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) |
(32) |
Полученные по этому выражению значению y(n) представлены ниже: y(8) 0.0561
y(9) 0.28 y(10) 0.2235 y(11) 0.0193 y(12) -0.0960
Последние три значения отсчётов реакции ЛДС, рассчитанные двумя способами расходятся из-за усечения импульсной характеристики, которая используется в формуле свертки. Реальная импульсная характеристика рассматриваемой ЛДС является неограниченной во временной области. ЛДС при этом является рекурсивной с бесконечной импульсной характеристикой
(БИХ).
1.1.7.7 Экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ АЧХ и ФЧХ ЛДС второго порядка имеют вид:
|
H e j T |
|
|
|
|
b b cos T |
b cos 2T |
2 |
b sin T |
b sin 2T |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 a cos T |
a cos 2T |
|
2 |
a sin T |
a sin 2T |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(33) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a sin T a sin 2 T |
|
|
|
|
|
|
b sin T b sin |
2 T |
|
||||||
e j T arctg |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
arctg |
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||||
1 |
a cos T a cos 2 T |
b |
b cos T b cos 2 T |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(34) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где T - интервал дискретизации, с; - угловая частота, рад/с. Экспресс анализ АЧХ и ФЧХ осуществляется в положительной области основного диапазона частот, т.е. в области
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(35) |
|
|
|
|
|
0 |
|
s |
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
где |
|
2 F |
2 |
- угловая частота дискретизации, |
рад/c. Произведение |
||||||
s |
|
||||||||||
|
s |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ T |
|
|
|
|
|
(36) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Fs |
|
|
|||
называется нормированной частотой. С учетом (35), диапазон анализа АЧХ и ФЧХ в нормированных частотах составит
|
s |
|
0 |
. |
|
|
ˆ 0 |
|
(37) |
||||
|
||||||
|
2Fs |
|
|
|
||
Для оценки АЧХ звена второго порядка достаточно построить её график по пяти точкам:
1.двум – на границах основной полосы 0 и ,
2.одной (уточняющей) – посередине основной полосы / 2,
3.двум – внутри основной полосы, соответствующим максимуму и минимуму (либо нулю) АЧХ.
Проведём экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ по следующим пяти точкам:
T ˆ 0, , 2 , ˆ*, ˆ0 ,
где ˆ* - частота максимума АЧХ внутри основной полосы, ˆ0 - частота минимума АЧХ или нуля внутри основной полосы.
Определим значение АЧХ и ФЧХ в указанных точках.
1. ˆ 0 .
|
|
H e j 0 |
|
|
|
b0 b1 b2 |
|
|
2.7722 |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 a1 a2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
e j 0 0 |
|
|
|||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
H e j |
|
|
|
|
b0 b1 b2 |
|
0.3608 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 a1 a2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
e j 0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
||
3. ˆ
2
|
j |
|
|
|
|
b b |
2 b2 |
1 |
|
||||||||
H e |
|
2 |
|
|
0 2 |
1 |
||
|
|
2 |
a12 |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 a2 |
|
|
j |
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
e |
|
2 |
|
arctg |
1 |
|
arctg |
|
1 |
|
1.8823 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 a2 |
b0 |
b2 |
|
|||
4.Нормированная частота ˆ ˆ* соответствует частоте максимума АЧХ, который находится примерно на частоте . Значение соответствует, как отмечалось ранее в пункте 1.1.7.4, аргументу полюса передаточной функции:
|
|
z re j , |
(38) |
где ˆ* |
1.0472 |
|
|
3 |
|
||
|
|
|
Найдём значение АЧХ и ФЧХ для этого случая:
j
H3.4034
j 2
e 3 1.1726
e 3
5. Частота ˆ ˆ0 соответствует частоте минимума АЧХ, который находится примерно нам частоте 0 . 0 соответствует аргументу нуля
передаточной функции. 0 2 ˆ0 .
3
Найдём значение АЧХ и ФЧХ для этого случая:
|
j |
2 |
|
|
|
0.2938 |
|||
H e |
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
j |
2 |
|
|
|
1.1726 |
|||
e |
|
3 |
||
|
|
|
|
|
АЧХ нормируется, т.е. все её значения делятся на максимальное, в данном случае оно равно 3.4034 .
Графики (частота по оси абсцисс в Гц) АЧХ (см. рисунок 6) и ФЧХ (см. рисунок 7) построенные по 5-ти точкам, вычисленным выше, имеют вид (кривые сглажены, точки отмечены зелеными маркерами):
24
Рисунок 6. Оценка АЧХ ЛДС второго порядка
Рисунок 7. Оценка ФЧХ ЛДС второго порядка
На рисунках 8 и 9 для сравнения приведены рассчитанные по формулам (33) и (34) кривые АЧХ и ФЧХ той же ЛДС с шагом 0.01 рад/с ~= 13 Гц.
25
Рисунок 8. Расчетная АЧХ ЛДС второго порядка
Рисунок 9. Расчетная ФЧХ ЛДС второго порядка
Из рисунков видно, что экспресс-анализ позволяет оценить общий характер АЧХ и ФЧХ ЛДС.
26
1.1.8Контрольные вопросы
1 Дайте определение ИХ.
2 Запишите формулу свертки.
3 Поясните, как в формуле свертки учитываются ННУ. 4 Запишите РУ общего вида.
5 Поясните, как в РУ учитываются ННУ.
6 Дайте определение рекурсивных и нерекурсивных ЛДС.
7 Поясните принципиальное отличие ИХ рекурсивных и нерекурсивных ЛДС.
8 Дайте определение передаточной функции.
9 Запишите общий вид передаточной функции рекурсивной ЛДС.
10 Приведите основные разновидности передаточной функции рекурсивной ЛДС.
11 Запишите передаточную функцию нерекурсивной ЛДС.
12 Что такое нули и полюсы ЛДС?
13 Что такое карта нулей и полюсов?
14 Дайте определение устойчивости ЛДС.
15 Как определить, является ли ЛДС устойчивой?
16 Дайте определения АЧХ и ФЧХ.
17 Поясните связь частотной характеристики с передаточной функцией
18 Перечислите основные свойства АЧХ и ФЧХ.
19 Приведите определение и поясните смысл нормированной частоты ˆ . 20 В какой полосе частот и почему рассчитывают АЧХ и ФЧХ?
21 Чем определяется местоположение максимумов АЧХ?
22 Чем определяется местоположение минимумов АЧХ?
23 Чем определяется местоположение нулей АЧХ? 24 В каких точках ФЧХ имеет скачок на π?
25 Что отображает структура ЛДС и чем определяется ее вид?
26 Назовите четыре разновидности структур рекурсивного звена 2-го порядка.
1.1.9Задачи
1.Найти отсчёты выходного сигнала дискретной системы (посчитать свёртку), если дискретная импульсная реакция равна h(k) 1; 2;3 при воздействии на неё дискретного сигнала x(k) 2; 4 .
27
2.Найти отсчёты выходного сигнала дискретной системы при воздействии на неё дискретного сигнала x n 1;0;1 , если отсчёты импульсной характеристики равны h n 1;0.1 .
3.Записать разностное уравнение, передаточную (системную) функцию, нарисовать структуру ЛДС и проверить ЛДС на устойчивость.
Коэффициенты: b0 1,b1 0.6429,b2 0.999, a1 1.01, a2 0.8 .
4.Записать разностное уравнение, передаточную (системную) функцию, нарисовать структуру ЛДС и проверить ЛДС на устойчивость.
Коэффициенты: b0 1,b1 2,b2 1, a1 0.88, a2 0.68.
5.Дана структура линейной дискретной системы
Найти h(3) , где h(n) – отсчеты импульсной характеристики, n 0,1,2,3,.... – дискретное нормированное время.
6. Дана структура линейной дискретной системы
Найти |
g(2) , где g(n) |
– отсчеты переходной характеристики, |
n 0,1,2,3,.... |
– дискретное нормированное время. |
|
28
1.1.10. Примеры решения задач
Рассмотрим линейную дискретную систему (ЛДС) изображенную на рисунке 10.
Рисунок 10. Структурная схема ЛДС
Запишем разностное уравнение, описывающее алгоритм работы рассматриваемой ЛДС. Как видно из рисунка 10, значение отсчета на выходе ЛДС в n-й момент времени определяется результатом работы сумматора в этот же момент времени, т.е.
y(n) результат работы сумматора . |
(39) |
В данном примере в каждый момент времени на сумматор подается 7 различных чисел (см. рисунок 11), которые представляют собой: входной отсчет x(n) , задержанные входные отсчеты, умноженные на соответствующие
коэффициенты 0.2x(n 4) , 0.1x(n 7) , 0.5x(n 14) , и задержанные выходные отсчеты, подаваемые с линии задержки ветки обратной связи
0.1y(n 2) , |
0.5y(n 6) , 0.3y(n 9) . С учетом изложенного выходной |
||
отсчет y(n) |
определится в форме: |
|
|
y(n) x(n) 0.2x(n 4) 0.1x(n 7) 0.5x(n 14) 0.1y(n 2) |
(40) |
||
|
0.5y(n 6) 0.3y(n |
9) |
|
|
|
||
|
|
29 |
|
Рисунок 11. Структурная схема ЛДС с пояснениями
Выражение (40) в явном виде определяет алгоритм вычисления выходного отсчета в текущий момент времени n. Перенесем в (40) все
слагаемые |
с выходной |
последовательностью y(n) |
и ее задержанными |
||
копиями в левую часть равенства, и получим выражение в виде: |
|
||||
y(n) 0.1y(n 2) 0.5y(n 6) 0.3y(n 9) x(n) 0.2x(n 4) 0.1x(n 7) 0.5x(n |
|||||
|
|
|
|
(41) |
|
Применим прямое z-преобразование к левой и правой части равенства |
|||||
(41). Для |
этого умножим левую и правую часть |
равенства на z n и |
|||
просуммируем по n от 0 до (суммирование от 0 автоматически учитывает |
|||||
нулевые начальные условия: y(n) x(n) 0, n 0 ): |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
y(n) 0.1y(n 2) 0.5y(n 6) 0.3y(n 9) z n |
|
|||
|
n 0 |
|
|
(42) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
x(n) 0.2x(n 4) 0.1x(n 7) 0.5x(n 14) z n |
|
|||
|
n 0 |
|
|
|
|
С учетом линейности z-преобразования перепишем (42) в форме: |
|
||||
|
|
|
|
|
|
y(n)z n 0.1 y(n 2)z n 0.5 y(n 6)z n 0.3 y(n 9)z n |
|
||||
n 0 |
n 0 |
n 0 |
n 0 |
(43) |
|
|
|
|
|
||
|
|||||
x(n)z n 0.2 x(n 4)z n 0.1 x(n 7)z n 0.5 x(n 14)z n |
|
||||
n 0 |
n 0 |
n 0 |
n 0 |
|
|
30