лекции / TsOS_Uchebnoe_posobie_2018
.pdfТаким образом, все параметры оконной функции Кайзера определяются исходя из требований к фильтру.
1.4.4Процедура синтеза КИХ-фильтров методом окон
Вобщем случае синтез ЦФ заключается в расчете передаточной функции. Согласно (105), синтез КИХ-фильтра сводится к расчету его импульсной характеристики.
Процедура синтеза КИХ-фильтра методом окон является итерационной и включает в себя следующие шаги:
1.Задание требований к АЧХ.
2. Оценка порядка фильтра R и расчет окна.
Окном называют весовую функцию w(n) – вещественную неотрицательную последовательность длины N = R+1, максимальную в центре и монотонно спадающую к границам.
Оценкой порядка R называют начальное значение порядка в итерационной процедуре синтеза фильтра. Для окна Кайзера порядок фильтра определяется по (128), а само окно рассчитывается по (127).
3.Расчет импульсной характеристики идеального фильтра hи n (по (116)
;что приводит, например, для ФНЧ к (119)), симметрично усеченной до длины N = R +1 (выделенной окном Дирихле).
Импульсная характеристика hи n может быть только симметричной и
рассчитывается автоматически по известным для идеальных ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ аналитическим формулам. Обязательным параметром усеченной ИХ hи n является частота разрыва (отсечки), на которой нормированная АЧХ
равна 0.5. |
|
|
|
Для ФНЧ и ФВЧ указывается одна частота разрыва, равная: |
|
||
F |
F1 Fз |
; |
(132) |
|
|||
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
а для ПФ и РФ – две (левая и правая), равные:
F |
|
|
F1 |
Fз |
; |
(133) |
||
|
|
|
||||||
c1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
F 1 |
F з |
; |
(134) |
|||
|
|
|||||||
c2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Расчет импульсной характеристики реального фильтра с симметричной h n длины N в виде произведения:
81
h n hи n w n . |
(135) |
5. Проверка выполнения требований к АЧХ.
Проверка заключается в сравнении фактических максимальных по модулю отклонений АЧХ от идеальной АЧХ в ПП и ПЗ с заданными максимально допустимыми отклонениями.
Возможны две ситуации.
Требования к АЧХ не выполняются.
Вэтом случае следует увеличить порядок R и вернуться к пп. 3–5.
Требования к АЧХ выполняются.
Вэтом случае следует уменьшить порядок R и вернуться к пп. 3–5.
Вобоих случаях увеличение/уменьшение порядка R продолжается до тех пор, пока не будет найден минимальный порядок, при котором выполняются требования к АЧХ.
6.Выбор структуры КИХ-фильтра.
1.4.5Структуры КИХ-фильтров
Структура (структурная схема) ЦФ отображает алгоритм вычисления реакции по разностному уравнению и определяется видом передаточной функции. Запишем разностное уравнение для КИХ-фильтра длины N = R+1
N 1 |
N 1 |
|
y(n) b(k)x(n k) h(k)x(n k) . |
(136) |
|
k 0 |
k 0 |
|
Положим N нечетным (порядок R четный) и разобьем (136) на три слагаемых:
N 1
y(n) b(k)x(n k)
k 0
( N 1)/2 1
h(k)x(n k)
k 0
|
N 1 |
|
|
N 1 |
|
|
||
h |
|
|
x n |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
N 1 . (137)h(k)x(n k)
k N 1 1 2
Заменим в третьем слагаемом индекс суммирования на m N 1 k ,
тогда
82
|
|
N 1 |
|
N 1 |
|
N 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
y(n) b(k)x(n k) h |
|
|
|
x n |
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
. |
(138) |
|||
|
( N 1)/2 1 |
( N 1)/2 1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
h(k)x(n k) |
|
h N 1 m x n N 1 m |
|
|||||||
|
k 0 |
|
m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Суммирование в двух суммах осуществляется в одинаковых пределах, поэтому можно их объединить, переименовав один из индексов суммирования:
|
N 1 |
N 1 |
N 1 |
|
|
|
|||||
y(n) b(k)x(n k) h |
|
|
x n |
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
k 0 |
2 |
|
|
|
|
. |
(139) |
|||
|
( N 1)/2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
h(k)x(n k) h N 1 |
k x n |
N |
1 k |
|
|||||
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая свойства симметрии (107) и антисимметрии (108) соответственно получаем:
|
N 1 |
N 1 |
|
|
N 1 |
|
|
|||
y(n) b(k)x(n k) h |
|
|
x n |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|||||||
|
k 0 |
2 |
|
|
|
(140) |
||||
|
( N 1)/2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
h(k) x(n k) x n N 1 k |
|
|
|
|||||||
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– для симметричной ИХ, и
N 1
y(n) b(k)x(n k)
k 0
|
( N 1)/2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
(141) |
h(k) x(n k) x n N 1 |
k |
|||
|
k 0 |
|
|
|
–для
|
N 1 |
|
|
||
h |
|
|
|
h N |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
||
|
N 1 |
|
0 . |
||
h |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
||
антисимметричной
1 N 1 h N 1 ,
2 2
ИХ, |
для |
которой |
что может |
быть |
только если |
Таким образом, свойства симметрии ИХ позволяет сократить вдвое количество умножений и упростить схему фильтра. Рассмотрим пример для N 7 . Тогда в соответствии с (140) для фильтра с симметричной ИХ РУ будет выглядеть в следующем виде:
6 |
2 |
|
k) x n |
6 |
|
|
|
|
|
||||
y(n) b(k)x(n k) h 3 x n 3 h(k) x(n |
k |
|||||
k 0 |
k 0 |
|
|
|
|
|
h 3 x n 3 h(0) |
x(n) x(n 6) h(1) x(n 1) x(n 5) |
|
|
|||
h(2) x(n 2) x(n 4)
(142)
Для фильтра с антисимметричной ИХ будет справедливо:
83
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
y(n) b(k)x(n k) h(k) x(n k) x n 6 |
k |
|||
k 0 |
k 0 |
|
|
|
h(0) x(n) x(n 6) h(1) x(n 1) x(n 5) h(2) x(n 2) x(n 4)
(143)
Структурные схемы КИХ-фильтров с ЛФЧХ приведены на рисунке 29.
Рисунок 29. Структурные схемы КИХ-фильтров с ЛФЧХ: прямая приведенная с симметричной ИХ (Direct-Form Symmetric FIR) для КИХ-фильтра 1-го типа
84
длины N=7 (а): прямая приведенная с антисимметричной ИХ (Direct-Form Antisymmetric FIR) для КИХ-фильтра 3-го типа длины N=7
Учитывая широкую сферу использования КИХ-фильтров с линейной ФЧХ, а значит со свойствами симметрии и РУ типа (140) и (141), ведущие производители (например, Xilinx) современных программируемых интегральных логических схем (ПЛИС) снабдили внутренние арифметические блоки дополнительным предсумматором (см. рисунок 30), который позволяет сложить два входных отсчета сигнала, а затем произвести уже умножение результата на отсчет ИХ фильтра.
Рисунок 30. Упрощенная структурная схема арифметического блока DSP48E1 ПЛИС 7-й серии, производства Xilinx
Это позволяет существенно снизить количество арифметических блоков при проектировании КИХ-фильтров с линейной ФХЧ в ПЛИС.
1.4.6 Контрольные вопросы
1.Дайте определение цифрового фильтра.
2.Перечислите основные этапы проектирования цифрового фильтра.
3.Запишите передаточную функцию КИХ-фильтра.
4.Дайте определение длины и порядка КИХ-фильтра.
5.Назовите основные особенности КИХ-фильтров.
6.При каком условии КИХ-фильтр будет иметь строго линейную ФЧХ?
7.В каких точках ФЧХ фильтра имеет скачок на π?
85
8.Назовите признаки, по которым различают четыре типа КИХ-фильтров с ЛФЧХ.
9.Что входит в требования к АЧХ КИХ-фильтра?
10.Назовите основные свойства АЧХ и ФЧХ.
11.Что отображает структура ЦФ и чем определяется ее вид?
12.Назовите основные структуры КИХ-фильтров.
13.Перечислите основные этапы итерационной процедуры синтеза КИХ-
фильтров методом окон.
14.Дайте определения окна и частоты разрыва.
15.Какой вид имеет АЧХ при синтезе КИХ-фильтров методом окон?
16.Назовите основное преимущество и недостаток метода окон.
17.Поясните эффект Гиббса.
18.Каким свойством должны обладать оконные функции, чтобы снизить колебательную ошибку аппроксимации АЧХ реальным фильтром?
19.От какого параметра оконной функции зависит ширина переходной полосы АЧХ реального фильтра?
20.Почему прямоугольная оконная функция не используется для синтеза КИХ-
фильтров?
1.4.7 Задачи
1.Дана передаточная КИХ фильтра H (z) 1 0.2z 3 z 5 . Определите отсчёты импульсной характеристики КИХ-фильтра.
2.Дана передаточная КИХ фильтра H (z) 1 1.44z 2 2.3z 4 . Определите отсчёты импульсной характеристики КИХ-фильтра.
3.Дана передаточная КИХ фильтра H (z) 1 0.5z 1 0.1z 3 . Определите первые четыре отсчёта переходной характеристики КИХ-фильтра g n .
4.Дана передаточная КИХ фильтра H (z) 1 z 1 0.5z 2 0.2z 4 . Определите первые пять отсчётов переходной характеристики КИХфильтра.
86
1.4.8Примеры решения задач
1.Дана передаточная КИХ фильтра H (z) 1 0.7z 4 z 6 . Определите
отсчёты импульсной характеристики КИХ-фильтра.
Решение
Отсчёты импульсной характеристики КИХ-фильтра равны коэффициентам передаточной функции. Если H (z) b0 b1z 1 b2 z 2 ... bk z k , то
h n b0 ,b1,b2 ,...,bk . Следовательно, для передаточной данной по заданию h n 1;0;0;0;0.7;0;1 .
2.Дана передаточная КИХ фильтра H (z) 1 0.7z 4 z 6 . Определите
первые семь отсчётов переходной характеристики.
Решение
n
Переходная характеристика цифрового фильтра равна: g n h(n) .
k 0
Пользуясь результатом расчёта ИХ в предыдущем примере получим отсчёты переходной характеристики:
g 0 h 0 1, g 1 h 0 h 1 1, g 2 h 0 h 1 h 2 1,
g 3 h 0 h 1 h 2 h 3 1, g 4 h 0 h 1 h 2 h 3 h 4 1.7 , g 5 h 0 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 1.7 ,
g 6 h 0 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 0.7 .
Следовательно, g n 1;1;1;1;1.7;1.7;0.7 .
87
1.5 Дискретное и быстрое преобразования Фурье
1.5.1 Основные формулы
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) один из распространенных инструментов спектрального анализа сигналов, широко применяемый в самых разных отраслях науки и техники. При этом разработано множество быстрых алгоритмов для высокой вычислительной эффективности ДПФ.
Пара непрерывных преобразований Фурье (интегральные преобразования Фурье) имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
j x(t)e j t dt |
|
(144) |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
j e j t d |
|
|
||
x(t) |
S |
, |
(145) |
||||
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
где S j - спектральная плотность сигнала x(t) .
Выражения для прямого ДПФ и обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) имеют вид:
|
|
|
N 1 |
j |
2 |
|
|
|
||||
X (k) x(n)e |
N |
|
nk |
, |
(146) |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где k 0...N 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N 1 |
|
|
2 |
|
|
|
||
x n |
|
|
X k |
e j |
N |
nk |
, |
(147) |
||||
|
|
|||||||||||
|
|
N n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где n 0...N 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДПФ ставит в соответствие |
|
N отсчетам |
|
сигнала x(n) , |
n 0...N 1 в |
|||||||
общем случае комплексного, |
N |
|
отсчетов |
|
комплексного |
спектра X (k) , |
||||||
k 0...N 1. Здесь и далее переменная n |
индексирует временные отсчеты |
|||||||||||
сигнала, а переменная k индексирует спектральные отсчеты ДПФ. |
||||||||||||
Как и в непрерывном, так и в дискретном случаях, в выражениях для |
||||||||||||
обратного преобразования имеется нормировочный коэффициент. В случае интеграла Фурье это 1/ 2 , в случае ОДПФ – 1 / N .
Нормировочный коэффициент необходим для корректного масштабирования сигнала из частотной области во временную. Нормировочный коэффициент уменьшает амплитуду сигнала на выходе обратного преобразования для того чтобы она совпадала с амплитудой исходного сигнала. Если последовательно рассчитать прямое преобразование Фурье некоторого сигнала, а после взять обратное преобразование Фурье, то результат обратного преобразования должен полностью совпадать с исходным сигналом.
88
1.5.2 Повторение сигнала во времени. Дискретное преобразование Фурье
Для программной реализации алгоритмов цифровой обработки требуются как дискретные отсчеты сигнала, так и дискретные отсчеты спектра. Известно, что дискретный (или как еще говорят линейчатый спектр) имеют периодические сигналы, а дискретный спектр получается путем разложения в ряд Фурье периодического сигнала. Значит, чтобы получить дискретный спектр, надо сделать исходный дискретный сигнал периодическим, путем повторения данного сигнала во времени бесконечное количество раз с некоторым периодом T . Тогда спектр периодического сигнала будет содержать дискретные гармоники кратные 2 / T рад/c.
Графически процесс повторения сигнала во времени представлен на рисунке 31.
Рисунок 31. Повторение сигнала во времени
Черным показан исходный сигнал, красным его повторения через некоторый период T .
Повторять сигнал можно с различным периодомT , однако необходимо чтобы период повторения был больше или равен длительности сигнала T N t , чтобы сигнал и его периодические повторения не перекрывались во времени. При этом минимальный период повторения сигнала Tmin при котором
сигнал и его повторения не накладываются друг на друга равен
Tmin N t |
(148) |
Повторение сигнала с минимальным периодом Tmin показано на рисунке 48.
Рисунок 32. Повторение сигнала с минимальным периодом
При повторении сигнала с минимальным периодом получим линейчатый спектр сигнала, состоящий из гармоник кратных
|
2 |
|
2 |
(149) |
|
T |
N t |
||||
|
|
|
|||
|
min |
|
|
|
89
Таким образом, мы можем продискретизировать спектр дискретного сигнала x n , имеющий вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
д |
j |
|
|
|
x |
|
n t e j n t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(150) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на одном периоде повторения |
2 F |
|
с шагом |
2 |
|
и получим |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N t |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Fд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(151) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
отсчётов спектра. Учитывая вышесказанное в выражении (150) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
n t e jkn t |
2 |
N 1 |
|
|
|
e j |
2 |
kn |
|
|||||||||||
X |
|
k |
|
|
|
x |
|
n t e jk n t |
|
x |
|
N t |
|
|
x |
|
n t |
N |
, (152) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
k 0... |
N 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если опустить в выражении (152) шаг дискретизации по времени t и по частоте , то получим окончательное выражение для ДПФ:
N 1 |
j |
2 |
nk |
|
X (k) x(n)e |
N |
(153) |
||
|
|
|
n 0
j 2
Можно произвести замену e N W , тогда формулу (153) можно привезти к виду:
N 1 |
|
X (k) x(n)WN nk , |
(154) |
n 0
где WN nk - поворачивающий множитель.
ДПФ ставит в соответствие N отсчетам дискретного сигнала xд n , N отсчетов дискретного спектра X (k) , при этом предполагается, что и сигнал и
спектр являются периодическими и анализируются на одном периоде повторения.
1.5.3 Свойства ДПФ
Линейность ДПФ
ДПФ суммы сигналов равен сумме ДПФ этих сигналов. Если s(n) x(n) y(n)
90