Добавил:

chrysler_a57_mltbnk Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Цифровая обработка сигналов

Файл:

лекции / TsOS_Uchebnoe_posobie_2018

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2026

Размер:

7.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 172 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

где z k – простой (не кратный)	k-й полюс передаточной функции (5);						Ak
коэффициент разложения при k-м полюсе;			Ak	и z k всегда числа одинакового
типа, комплексные или вещественные.
При одинаковых порядках числителя и знаменателя N 1 M 1 в (5)
будем иметь в (10) целую часть – вещественную константу C:
M 1	M 1		Ak
H z Hk	z					C.	(11)
		1	z		z 1
k 1	k 1
			k

1.1.4 Описание ЛДС в частной области

Основной характеристикой ЛДС в частотной области является частотная характеристика (ЧХ) H e j ˆ – Фурье-изображение ИХ h n :

H e j

h n e j n ,

n 0

где – нормированная частота:

(12)

T рад .

Частотная характеристика

связана с передаточной функцией

H z

H e j

соотношением:

H z

(13)

H e j

j ˆ

z e

что позволяет путем подстановки z e j в (5) получить ее в виде:

N 1

H z

bi e ji

i 0

(14)

M 1

1 ak

e jk

k 1

Частотную характеристику

(14) можно представить в

H e j

показательной форме:

j arg H e j

(15)

H e j

A ˆ e

Модуль A и аргумент частотной характеристики соответствуют

амплитудно-частотной и фазочастотной характеристикам ЛДС.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) отображает частотную зависимость отношения амплитуды реакции к амплитуде гармонического воздействия в установившемся режиме (по окончанию переходных процессов).

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) отображает частотную зависимость разности фаз реакции и гармонического воздействия в установившемся режиме.

АЧХ и ФЧХ – периодические функции с периодом 2π в шкале частот ˆ или f Д в шкале частот f (Гц).

АЧХ – четная, а ФЧХ – нечетная функция частоты.

АЧХ и ФЧХ рассчитываются в основной полосе частот [0; π] в шкале частот ˆ или [0; f Д 2 ] в шкале частот f (Гц).

По карте нулей и полюсов можно определить местоположение максимумов, минимумов и нулей АЧХ в основной полосе частот [0; π], а

именно:				, где				в	(7),
	частота комплексно сопряженного полюса
		ˆ	k		ˆ	k	k

	соответствует частоте максимума АЧХ (приблизительно);						k	в	(7),
	частота комплексно сопряженного нуля	k ,		где	k
		ˆ			ˆ
	соответствует частоте минимума АЧХ (приблизительно),						если	r k	1,
	или нуля АЧХ, если r k 1 (комплексно сопряженные нули на единичной
	окружности); в точке нуля АЧХ наблюдается скачок ФЧХ на π;

вещественным нулям z k 1 и/или z k 1 (на единичной окружности) соответствует нуль АЧХ на границе основной полосы частот 0 и/или π.

1.1.5 Структуры звеньев 2-го порядка

Структура (структурная схема) ЛДС отображает алгоритм вычисления реакции по РУ и определяется видом передаточной функции.

Для рекурсивных звеньев 2-го порядка с передаточной функцией

H z	b b z 1		b z 2
	0	1	2	.	(16)
	1 a z 1 a z 2			.	(16)
	1 a z 1 a z 2
		1	2
и разностным уравнением
y n b0 x n b1 x n 1 b2		x n 2 a1 y n 1 a2 y n 2			(17)

поддерживаются следующие структуры:

прямая форма первого типа– Direct-Form I (рисунок 1);

прямая транспонированная – Direct-Form I Transposed (рисунок 2);

прямая каноническая – Direct-Form II (рисунок 3);

прямая каноническая транспонированная – Direct-Form II Transposed (рисунок 4).

Рисунок 1.Прямая форма первого типа для звена ЛДС второго порядка

Рисунок 2.Прямая транспонированная форма первого типа для звена ЛДС второго порядка

Рисунок 3.Прямая каноническая форма звена ЛДС второго порядка

Рисунок 4.Прямая каноническая транспонированная форма звена ЛДС второго порядка

1.1.6 Проектирование цифровых фильтров

Цифровой фильтр (ЦФ) представляет собой линейную дискретную систему (ЛДС), выполняющую преобразование входной последовательности в выходную по алгоритму, описываемому разностным уравнением, который отображается заданной структурой, реализованной аппаратно, программно или аппаратно-программно.

Проектирование ЦФ выполняется в три этапа:

1. Синтез ЦФ, включающий следующие основные шаги:

1.1.Выбор типа ЦФ.

Двум типам ЛДС – нерекурсивная (КИХ) и рекурсивная (БИХ) – соответствуют два типа ЦФ:

КИХ-фильтр (FIR Filter – Finite Impulse Response Filter);

БИХ-фильтр (HR Filter – Infinite Impulse Response Filter).

1.2.Задание требований к характеристикам ЦФ.

Требования к характеристикам ЦФ зависят от его типа (КИХ или БИХ) и назначения ЦФ (частотно-избирательный, преобразователь Гильберта, дифференциатор, амплитудный или фазовый корректор и т. д.).

По умолчанию подразумевают частотно-избирательные ЦФ, выполняющие селекцию спектральных составляющих входной последовательности.

Выделяют четыре основных типа избирательности ЦФ:

ФНЧ – фильтр нижних частот (Lowpass Filter);

ФВЧ – фильтр верхних частот (Highpass Filter);

ПФ – полосовой фильтр (Bandpass Filter);

РФ – режекторный фильтр (Bandstop Filter).

1.3.Выбор метода синтеза.

Метод синтеза зависит от типа ЦФ (КИХ или БИХ), а в рамках одного типа – от специфики дополнительных требований (простоты метода, оптимальности проектируемого фильтра и др.).

1.4.Расчет передаточной функции ЦФ.

1.5.Выбор структуры ЦФ.

2.Моделирование структуры ЦФ с учетом эффектов квантования.

3.Реализация структуры ЦФ.

Структура ЦФ может быть реализована на базе цифрового устройства – цифрового процессора обработки сигналов (ЦПОС), программируемой логической интегральной схеме (ПЛИС) и т. п.

1.1.7 Пример анализа линейной дискретной системы второго порядка

1.1.7.1Формирование основных характеристик линейной дискретной системы второго порядка.

Зададим линейную дискретную систему (ЛДС) её передаточной (системной) функцией H (z) и разностным уравнением с коэффициентами:

b0 1,	b1 0.7 , b2 0.49 , a1 0.7 , a2 0.49 .
Общий вид разностного уравнения (18) и передаточной (системной)
функции (19):
	M 1		N 1
	y(n) bk x(n k) ak y(n k) .			(18)
	k 0		k 1
			M 1
		Y (z)	bk z k
	H (z)		k 0	(19)

		X (z)	N 1
			1 ak z k
			k 1
Порядок ЛДС определяется наибольшим из значений M 1 и				N 1, в
нашем	случае M 1 N 1 2	(ЛДС второго порядка). Тогда разностное

уравнение и передаточная функция будут выглядеть следующим образом:

y(n) b0 x(n) b1x(n 1) b2 x(n 2) a1 y(n 1) a2 y(n 2)						(20)
x(n) 0.7x(n 1) 0.49x(n 2) 0.7 y(n 1) 0.49 y(n 2)
H (z)	b	b z 1	b z 2	1 0.7z 1	0.49z 2
	0	1	2			(21)
	1 a z 1 a z 2			1 0.7z 1	0.49z 2	(21)
	1 a z 1 a z 2			1 0.7z 1	0.49z 2
		1	2
			15

На этом будем считать ЛДС заданной.

1.1.7.2 Определение устойчивости ЛДС ЛДС считается устойчивой, если ограниченное по амплитуде воздействие

на входе системы порождает ограниченную по амплитуде реакцию системы на выходе.

Одним из критериев устойчивости является нахождение полюсов передаточной (системной) функции внутри единичной окружности с центром в начале координат z -плоскости.

Полюса - это корни полинома знаменателя системной функции. Для их нахождения нужно приравнять знаменатель передаточной (системной)

функции к нулю и решить получившееся уравнение.

Умножим числитель и знаменатель (21) на z2

и получим H (z) в дробно-

рациональной форме (в форме отношения полиномов от z):

H (z)

0.7z 0.49

(22)

0.7z 0.49

Приравняем к нулю полином знаменателя:

z2 0.7z 0.49 0 ,

(23)

и найдем его корни:

0.7

0.72 4 * 0.49 *1

0.7

1.47

0.7 j1.2124

0.35 j0.6062 ,

1,2

2 *1

(24)

где

- мнимая единица. Полюсы передаточной функции (21) равны

0.35 j0.6062 ,

причем

z* , где звездочка сверху означает операцию

1,2

комплексного

сопряжения.

Модуль

полюсов

равен

0.352

0.60622

0.7 .

То есть мы

имеем два

комплексно-

сопряжённых полюса по модулю меньших единицы, – следовательно, ЛДС устойчива. Полюса ЛДС могут быть записаны в показательной форме как

z re j ,						0.6062	1.0472
	r	0.352 0.60622		0.7 ,	arctg

1,2
						0.35	3

.			(25)

Нули ЛДС (корни числителя передаточной функции) находятся аналогичным образом, приравнивая к нулю числитель дробно-рациональной функции (22). Нули ЛДС равны z01,2 0.35 j0.6062 .

Нуль-полюсная диаграмма представлена ниже на рисунке 5. Крестиками на диаграмме отмечены полюса, а кружочками – нули ЛДС. Как видно из диаграммы, полюса лежат внутри единичной окружности с центром в начале

координат. ЛДС устойчива. Положение нулей на устойчивость ЛДС не влияет.

Рисунок 5. Нуль-полюсная диаграмма

1.1.7.3 Вычисление импульсной характеристики по разностному уравнению Для примера возьмём длину импульсной характеристики (ИХ) равную

десяти отсчётам ( n 0,1,2,...,9 в (18)).

Как известно, импульсная характеристика – это реакция ЛДС на цифровой единичный импульс при нулевых начальных условиях. Поэтому для определения ИХ по разностному уравнению требуется принять за входной сигнал воздействие вида:


1, n 0
x(n) (n)		,	(26)
0,иначе
т.е. входной сигнал не равен нулю только при x(n) x(0) 1.
Перейдём к определению отсчётов ИХ	по формуле (20).		При этом

последовательность на выходе ЛДС будет являться ее импульсной характеристикой h(n) y(n) .

Положим n 0

h(0) b0 x(0) b1x( 1) b2 x( 2) a1h( 1) a2h( 2) b0 x(0) 1 1 1 Отсчёты входного сигнала x( 1) x( 2) 0 по форме воздействия (см.(26)), а отсчёты

реакции ЛДС h( 1) и h( 2) равны нулю исходя из нулевых начальных

условий4 и физической реализуемости ЛДС. Далее отсчёты воздействия и ИХ, равные нулю из этих соображений, будут опускаться.

Продолжим расчёт. n 1

h(1) b1x(0) a1h(0) 0.7 1 0.7 1 1.4

n 2

h(2) b3 x(0) a1h(1) a2h(0) 0.49 0.7 1.4 0.49 0.98 n 3

h(3) a1h(2) a2h(1) 0.7 0.98 0.49 1.4 0

Начиная с h(3) и далее все отсчёты воздействия будут равны нулю, поэтому реакция будет определяться только предыдущими своими отсчётами, умноженными на соответствующие им коэффициенты a1 и a2 . Поэтому дальнейшие вычисления производятся по сокращённой формуле:

h(n) a1h(n 1) a2h(n 2)	(27)
Подставляя в (27) значения отсчётов ИХ и коэффициентов a1 и a2	вычислим
оставшиеся 6 отсчётов:
n 4
h(4) a1h(3) a2h(2) 0.4802
n 5
h(5) a1h(4) a2h(3) 0.3361
n 6
h(6) a1h(5) a2h(4) 0
n 7
h(7) a1h(6) a2h(5) 0.1647
n 8
h(8) a1h(7) a2h(6) 0.1153
n 9
h(9) a1h(8) a2h(7) 0

Десять отсчётов импульсной характеристики по разностному уравнению найдены.

1.1.7.4Пример расчёта домашнего задания. Вычисление импульсной характеристики по общей формуле для рекурсивного звена 2-го порядка с учетом нулевых начальных условий (ННУ)

4 Входные и выходные отсчеты с формально отрицательными значениями индекса физически хранятся в элементах памяти ЛДС. Нулевые начальные условия требуют, чтобы в начальный момент времени все элементы памяти были сброшены в нулевое состояние (хранение нулей).

Вычислим импульсную характеристику для ЛДС второго порядка по общей формуле, полученной из передаточной функции с помощью обратного z - преобразования:

	b rn		sin (n 1)	, n 0
	b rn			, n 0
		0	sin()
			sin()
			sin (n 1)
h(n)	b rn		sin (n 1)	b rn 1	sin(n )	, n 1		, (28)
h(n)	b rn			b rn 1		, n 1		, (28)
		0	sin()	1	sin()
			sin()		sin()
			sin (n 1)				sin (n 1)
				b rn 1	sin(n )	b rn 2		, n 2
	b rn				sin(n )
	b rn
		0	sin()	1	sin()	2	sin()
			sin()		sin()		sin()


где r 0.7		0.352 0.60622 - модуль			полюсов	(корней знаменателя)
				0.6062
передаточной	функции,		arctg		1.0472		- положительный
передаточной	функции,		arctg		1.0472		- положительный
				0.35		3

аргумент одного из полюсов передаточной функции (см. (25) и пункт 1.1.7.2). Также, как и в предыдущем задании вычисляем десять отсчётов ИХ начиная с нулевого:

h(0) b r0

sin( )

h(1) b r

sin 2

b 1.4

sin()

h(2) b r2

sin 3

b r

sin(2)

0.98

sin()

h(3) b r3

sin 4

b r

sin(3)

b r

sin 2

sin()

h(4) b r4

sin 5

b r3

sin(4 )

b r2

sin 3

0.4802

sin( )

h(5) b r5

sin 6

b r4

sin(5 )

b r3

sin 4

0.3361

sin( )

h(6) b r6

sin 7

b r5

sin(6 )

b r4

sin 5

sin( )

h(7) b r7

sin 8

b r6

sin(7 )

b r5

sin 6

0.1647

sin( )

h(8) b r8

sin 9

b r7

sin(8 )

b r6

sin 7

0.1153

sin( )

	sin 10			sin(9 )		sin 8
h(9) b r9			b r8		b r7		0

0	sin( )	1		sin( )	2	sin( )

Как видно из расчёта, отсчёты ИХ, рассчитанные двумя методами, совпадают.

1.1.7.5 Вычисление реакции ЛДС по формуле свёртки

В качестве воздействия x(n) примем прямоугольный импульс длины

N x 4 :
	x	1
1,0 n N		1
x(n)			(29)
0,иначе
Формула свёртки, по которой будет определяться реакция ЛДС,
представляет собой следующее выражение:
n
y(n) h(k)x(n k)			(30)
k 0
Общая длина выходного сигнала дискретной системы определяется как:
N y N Nx 1 ,			(31)

где N - длина импульсной характеристики системы h(n) , Nx -длина входного сигнала x(n) .

В рассматриваемом примере N y 10 4 1 13 отсчётов выходного

сигнала.

После определения длины последовательности выходного сигнала y(n)

необходимо рассчитать его отсчёты по формуле свёртки (см. (30)) следующим образом:

положим n 0

n 0

y(0) h(k)x(n k) h(0)x(n) h(0)x(0) 1 1 1

k 0

n 1

y(1) h(k)x(n k) h(0)x(n) h(1)x(n 1) h(0)x(1) h(1)x(0) 2.4

k 0

n 2

y(2) h(k)x(n k) h(0)x(n) h(1)x(n 1) h(2)x(n 2)

h(0)x(2) h(1)x(1) h(2)x(0) 3.38 n 3

n 3

y(3) h(k)x(n k) h(0)x(n) h(1)x(n 1) h(2)x(n 2) h(3)x(n 3)

k 0

<<< < Предыдущая 12 / 172 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке лекции

#
13.05.20267.87 Mб0TsOS_Uchebnoe_posobie_2018.pdf
#
13.05.2026279.61 Кб0Лекция №.mhtml
#
13.05.20264.92 Mб0Солонина_А_И_Основы_цифровой_обработки_сигналов_2_е_издание,_2005.djvu